שינויים
יצירת דף עם התוכן "'''הגדרה:''' אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות <math>\int\limits_a^b f</math> שלמדנו עד עכשיו - גבול של ס..."
'''הגדרה:''' אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות <math>\int\limits_a^b f</math> שלמדנו עד עכשיו - גבול של סכומי רימן וסכומי דרבו. אם f רציפה ניתן, לפעמים, לחשב את האינטגרל לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ. השלב העיקרי בחישוב זה הוא מציאת הפונקציה הקדומה, ולכן הגדירו אינטגרל לא מסויים - ללא גבולות - <math>\int f</math>, שפתרונו פשוט <math>F(x)+c</math> עבור F פונקציה קדומה ל-f.
טבלה של אינטגרלים פשוטים:
{{left|
<math>\begin{array}{l|l}
f(x) & \int f(x)\mathrm dx\text{\color{gray}+constant}\\
\hline
c & cx\\
x^\alpha\quad(\alpha\ne-1) & \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\\
x^{-1} & \ln|x|\\
\sin(x) & -\cos(x)\\
\cos(x) & \sin(x)\\
\sec^2(x) & \tan(x)\\
e^x & e^x\\
a^x\quad(1\ne a>0) & \frac{a^x}{\ln(a)}\\
\frac1{1+x^2} & \arctan\left(\frac xa\right)\\
\frac1\sqrt{1-x^2} & \arcsin(x)\\
\frac1\sqrt{a^2-x^2} & \arcsin\left(\frac xa\right)
\end{array}</math>
}}
===בדיקות===
# נבדוק <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac1x</math> (עבור <math>x\ne0</math>): לפי ההגדרה <math>\ln|x|=\begin{cases}\ln(x)&x>0\\\ln(-x)&x<0\end{cases}</math>. לכן עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln(x)=\frac1x</math> ועבור <math>x<0</math>, <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln(-x)=-\frac1{-x}=\frac1x</math>. {{משל}}
# <math>\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dx}\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)=\frac1a\frac1{1+\left(\frac xa\right)^2\frac1a\end{align}</math>
# <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\arcsin\left(\frac xa\right)=\frac1\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}\frac1a=\frac1\sqrt{a^2-x^2}</math>
===דוגמאות חישוב===
# <math>\int\sqrt x\mathrm dx=\int x^\frac12\mathrm dx=\frac{x^\frac32}{3/2}+c=\frac23x^\frac32+x</math>
# <math>\int\frac1\sqrt{x-7}\mathrm dx=\int(x-7)^{-\frac12}\mathrm dx=2(x-7)^\frac12+c</math>
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{(3x-7)^12}=\int(3x-7)^{-12}\mathrm dx=\frac{(3x-7)^{-11}}{-11\cdot3}+c</math> (מהפיכת כלל השרשרת)
# <math>\int e^{-5x}\mathrm dx=\int\frac{e^{-5x}}{-5}+c</math>
# <math>\int\sin\left(x^2\right)\mathrm dx\ne\frac{-cos(x^2)}{2}+c</math> (למעשה, האינטגרל לא אלמנטרי)
# <math>\int3^xe^x\mathrm dx=\int(3e)^x\mathrm dx=\frac{(3e)^x}{\ln(3e)}+c=\frac{(3e)^x}{1+\ln(3)}+c</math>
# <math>\int\tan(x)\mathrm dx=\int(\sec^2(x)-1)\mathrm dx=\tan(x)-x+c</math>
# <math>\int\frac{1+\cos(x)}{1+\cos^2(2x)}\mathrm dx=???</math> (למרות שהפונקציה אלמנטרית אנו לא יודעים. המסר הוא שהאינטגרציה קשה)
# <math>\frac{\mathrm dx}{(x-3)(x-4)}=\int\frac{(x-3)-(x-4)}{(x-3)(x-4)}\mathrm dx=\int\frac1\{\mathrm dx}{x-3}+\frac{\mathrm dx}{x-4}=\ln|x-3|+\ln|x-4|+c</math>
כלל פשוט: האינטגרל לינארי, כלומר <math>\int(f+cg)=\int f+c\int g</math>.
==אינטגרציה בחלקים==
כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}f(x)g(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math>. אם f' ו-g' רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה:
<math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.
===דוגמאות חישוב===
# <math>\int \underbrace{x}_{f(x)=x}\underbrace{\cos(x)}_{g'(x)=\cos(x)}\mathrm dx=x\sin(x)-\int1\sin(x)\mathrm dx=x\sin(x)+\cos(x)+c</math>. אם ננסה לפתור אינטגרל זה בדרך הפוכה <math>\int \underbrace{x}_{g'(x)=x}\underbrace{\cos(x)}_{f(x)=\cos(x)}\mathrm dx=\cos(x)\frac{x^2}2-\int-\sin(x)\frac{x^2}2\mathrm dx</math>, ואינטגרל זה יותר קשה מהאינטגרל המקורי.
# <math>x^2e^{3x}\mathrm dx=\frac{x^2e^{3x}}3-\int\frac{2xe^{3x}}3\mathrm dx</math>. נעשה שוב אינטגרציה בחלקים: <math>\int\frac{2xe^{3x}}3\mathrm dx=\frac{xe^{3x}3-\int\frac{e^{3x}}3\mathrm dx=\frac{xe^{3x}3-\frac{e^{3x}}9+c</math> ובסה"כ <math>x^2e^{3x}\mathrm dx=\frac{x^2e^{3x}}3-\frac29xe^{3x}+\frac2{27}e^{3x}+c</math>
# <math>\int x^3\ln(x)\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\int\frac1x\frac{x^4}4\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\frac{x^4}{16}+c</math>
# <math>\int\ln(x)\mathrm dx=\int1\ln(x)\mathrm dx=x\ln(x)-\int\frac1xx\mathrm dx=x\ln(x)-x+c</math>
# <math>\int e^x\cos(x)\mathrm dx=e^x\sin(x)-\int e^x\sin(x)\mathrm dx=e^x\sin(x)+e^x\cos(x)+\int e^x (-\cos(x))\mathrm dx</math> ולכן <math>\int e^x\cos(x)\mathrm dx=\frac{e^x}2(\sin(x)+\cos(x))+c</math>
==שיטת ההצבה {{הערה|או}} שינוי משתנים==
נתחיל עם כלל השרשרת <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx} f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>, לכן אם F קדומה ל-f אז <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx} F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)</math> ולפיכך <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>
יש דרך פורמלית לפתור <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx</math> ע"י "הצבה" <math>y=g(x)</math>. אם כן <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=g'(x)</math>. נעביר אגף <math>\mathrm dy=g'(x)\mathrm dx</math>. נחזור לאינטגרל ונקבל <math>\int f(y)\mathrm dy=F(y)+c=F(g(x))+c</math>
===דוגמאות חישוב===
# <math>\int x^2 e^{x^3}\mathrm dx</math>. נציב <math>y=x^3</math> ולכן <math>\mathrm dy = 3x^2\mathrm dx</math> ולכן האינטגרל שווה ל-<math>\int e^y\frac13\mathrm dy=\frac13e^y+c=\frac13e^{x^3}+c</math>
# <math>\int\frac{\ln(x)}x\mathrm dx</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac1x\mathrm dx</math> והאינטגרל הוא <math>\int y\mathrm dy=\frac{y^2}2+c=\frac12(\ln(x))^2+c</math>
# <math>\int\frac x\sqrt{x^2+1}\mathrm dx</math>. נציב <math>y=x^2+1</math> והאינטגרל שווה ל-<math>\int\frac{\tfrac12\mathrm dy}\sqrt y=
frac12\int y^{-\frac12}\mathrm dy=y^{\frac12}+c=\sqrt{x^2+1}+c</math>
# <math>\int\tan(x)\mathrm dx=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\mathrm dx</math> ועבור <math>y=\cos(x)</math> נקבל <math>\int\frac{-\mathrm dy}y=-\ln|y|+c=-\ln|\cos(x)|+c</math>
# <math>\int\cot(x)\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\mathrm dx=\ln|\sin(x)|+c</math>
#<math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx</math>. נציב <math>y=f(x)</math> ונקבל <math>\int\frac{\mathrm dy}y=\ln|y|+c=\ln|f(x)|+c</math>. לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף <math>\int\tan(x)\mathrm dx=-\int\frac{\cos'(x)}{\cos(x)}\mathrm dx=-\ln|\cos(x)|+c</math>.
# <math>\int\frac{f'(x)}{f^2(x)}\mathrm dx</math>. נציב <math>y=f(x)</math> ונקבל <math>\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=-\frac1y+c=-\frac1{f(x)}+c</math>
# <math>\int\frac{x^5\mathrm dx}\sqrt{1-x^3}</math>. נציב <math>y=1-x^3</math> ואז <math>\frac{(1-y)\mathrm dy}{-3}=x^5\mathrm dx</math>. האינטגרל שווה ל-<math>\int\frac{\frac{1-y}{-3}\mathrm dy}\sqrt y=\int\left(\frac13\sqrt y-\frac1{\sqrt y}\right)\mathrm dy=\frac29\left(1-x^3\right)^{3/2}-\frac23\left(1-x^3\right)^{1/2}+c</math>
# <math>\int\arcsin(x)\mathrm dx</math> נציב <math>y=\arcsin(x)</math> ומכאן ש-<math>\mathrm dx=\cos(y)\mathrm dy</math> מכאן שהאינטגרל הוא <math>\int y\cos(y)\mathrm dy=y\sin(y)-\int1\sin(y)\amthrm dy=y\sin(y)+\cos(y)=x\arcsin(x)+\cos(\arcsin(x))+c</math>. גרף (1). דרך אחרת: <math>\int\arcsin(x)\mathrm dx=\int1\arcsin(x)\mathrm dx=x\arcsin(x)-\int\frac x\sqrt{1-x^2}\mathrm dx</math>. נגדיר <math>y=1-x^2</math> ונקבל <math>\int\frac x\sqrt{1-x^2}=\int\frac{1/2\mathrm dy}\sqrt y=-\sqrt y+c=x\arcsin(x)+\frac1\sqrt{1-x^2}+c</math>
# <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>. נציב <math>y=x^2</math> לקבל <math>\int e^y2y\mathrm dy=2ye^t-\int2e^t\mathrm dy=2\sqrt xe^\sqrt x-2e^\sqrt x+c</math>.
# <math>\int\sin(x)\cos(x)\mathrm dx</math>. נבחר <math>y=\sin(y)</math> לקבל <math>\int y\mathrm dy=\frac12y^2+c=\frac12\sin^2(x)+c</math>. שיטה אחרת: <math>y=\cos(x)</math> ו-<math>\iny-y\mathrm dy=-\frac12\cos^2(x)+c</math>. שיטה אחרונה: <math>=\int\frac12\sin(2x)\mathrm dx=-\frac14\cos(2x)+c</math>. קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: <math>-\frac12\cos^2(x)-\frac12\sin^2(x)=-\frac12(\cos^2(x)+\sin^2(x))=-\frac12</math>
טבלה של אינטגרלים פשוטים:
{{left|
<math>\begin{array}{l|l}
f(x) & \int f(x)\mathrm dx\text{\color{gray}+constant}\\
\hline
c & cx\\
x^\alpha\quad(\alpha\ne-1) & \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\\
x^{-1} & \ln|x|\\
\sin(x) & -\cos(x)\\
\cos(x) & \sin(x)\\
\sec^2(x) & \tan(x)\\
e^x & e^x\\
a^x\quad(1\ne a>0) & \frac{a^x}{\ln(a)}\\
\frac1{1+x^2} & \arctan\left(\frac xa\right)\\
\frac1\sqrt{1-x^2} & \arcsin(x)\\
\frac1\sqrt{a^2-x^2} & \arcsin\left(\frac xa\right)
\end{array}</math>
}}
===בדיקות===
# נבדוק <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac1x</math> (עבור <math>x\ne0</math>): לפי ההגדרה <math>\ln|x|=\begin{cases}\ln(x)&x>0\\\ln(-x)&x<0\end{cases}</math>. לכן עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln(x)=\frac1x</math> ועבור <math>x<0</math>, <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln|x|=\frac\mathrm d{\mathrm dx}\ln(-x)=-\frac1{-x}=\frac1x</math>. {{משל}}
# <math>\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dx}\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)=\frac1a\frac1{1+\left(\frac xa\right)^2\frac1a\end{align}</math>
# <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}\arcsin\left(\frac xa\right)=\frac1\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}\frac1a=\frac1\sqrt{a^2-x^2}</math>
===דוגמאות חישוב===
# <math>\int\sqrt x\mathrm dx=\int x^\frac12\mathrm dx=\frac{x^\frac32}{3/2}+c=\frac23x^\frac32+x</math>
# <math>\int\frac1\sqrt{x-7}\mathrm dx=\int(x-7)^{-\frac12}\mathrm dx=2(x-7)^\frac12+c</math>
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{(3x-7)^12}=\int(3x-7)^{-12}\mathrm dx=\frac{(3x-7)^{-11}}{-11\cdot3}+c</math> (מהפיכת כלל השרשרת)
# <math>\int e^{-5x}\mathrm dx=\int\frac{e^{-5x}}{-5}+c</math>
# <math>\int\sin\left(x^2\right)\mathrm dx\ne\frac{-cos(x^2)}{2}+c</math> (למעשה, האינטגרל לא אלמנטרי)
# <math>\int3^xe^x\mathrm dx=\int(3e)^x\mathrm dx=\frac{(3e)^x}{\ln(3e)}+c=\frac{(3e)^x}{1+\ln(3)}+c</math>
# <math>\int\tan(x)\mathrm dx=\int(\sec^2(x)-1)\mathrm dx=\tan(x)-x+c</math>
# <math>\int\frac{1+\cos(x)}{1+\cos^2(2x)}\mathrm dx=???</math> (למרות שהפונקציה אלמנטרית אנו לא יודעים. המסר הוא שהאינטגרציה קשה)
# <math>\frac{\mathrm dx}{(x-3)(x-4)}=\int\frac{(x-3)-(x-4)}{(x-3)(x-4)}\mathrm dx=\int\frac1\{\mathrm dx}{x-3}+\frac{\mathrm dx}{x-4}=\ln|x-3|+\ln|x-4|+c</math>
כלל פשוט: האינטגרל לינארי, כלומר <math>\int(f+cg)=\int f+c\int g</math>.
==אינטגרציה בחלקים==
כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}f(x)g(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)</math>. אם f' ו-g' רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה:
<math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.
===דוגמאות חישוב===
# <math>\int \underbrace{x}_{f(x)=x}\underbrace{\cos(x)}_{g'(x)=\cos(x)}\mathrm dx=x\sin(x)-\int1\sin(x)\mathrm dx=x\sin(x)+\cos(x)+c</math>. אם ננסה לפתור אינטגרל זה בדרך הפוכה <math>\int \underbrace{x}_{g'(x)=x}\underbrace{\cos(x)}_{f(x)=\cos(x)}\mathrm dx=\cos(x)\frac{x^2}2-\int-\sin(x)\frac{x^2}2\mathrm dx</math>, ואינטגרל זה יותר קשה מהאינטגרל המקורי.
# <math>x^2e^{3x}\mathrm dx=\frac{x^2e^{3x}}3-\int\frac{2xe^{3x}}3\mathrm dx</math>. נעשה שוב אינטגרציה בחלקים: <math>\int\frac{2xe^{3x}}3\mathrm dx=\frac{xe^{3x}3-\int\frac{e^{3x}}3\mathrm dx=\frac{xe^{3x}3-\frac{e^{3x}}9+c</math> ובסה"כ <math>x^2e^{3x}\mathrm dx=\frac{x^2e^{3x}}3-\frac29xe^{3x}+\frac2{27}e^{3x}+c</math>
# <math>\int x^3\ln(x)\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\int\frac1x\frac{x^4}4\mathrm dx=\frac{x^4}4\ln(x)-\frac{x^4}{16}+c</math>
# <math>\int\ln(x)\mathrm dx=\int1\ln(x)\mathrm dx=x\ln(x)-\int\frac1xx\mathrm dx=x\ln(x)-x+c</math>
# <math>\int e^x\cos(x)\mathrm dx=e^x\sin(x)-\int e^x\sin(x)\mathrm dx=e^x\sin(x)+e^x\cos(x)+\int e^x (-\cos(x))\mathrm dx</math> ולכן <math>\int e^x\cos(x)\mathrm dx=\frac{e^x}2(\sin(x)+\cos(x))+c</math>
==שיטת ההצבה {{הערה|או}} שינוי משתנים==
נתחיל עם כלל השרשרת <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx} f(g(x))=f'(g(x))g'(x)</math>, לכן אם F קדומה ל-f אז <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx} F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)</math> ולפיכך <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>
יש דרך פורמלית לפתור <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx</math> ע"י "הצבה" <math>y=g(x)</math>. אם כן <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=g'(x)</math>. נעביר אגף <math>\mathrm dy=g'(x)\mathrm dx</math>. נחזור לאינטגרל ונקבל <math>\int f(y)\mathrm dy=F(y)+c=F(g(x))+c</math>
===דוגמאות חישוב===
# <math>\int x^2 e^{x^3}\mathrm dx</math>. נציב <math>y=x^3</math> ולכן <math>\mathrm dy = 3x^2\mathrm dx</math> ולכן האינטגרל שווה ל-<math>\int e^y\frac13\mathrm dy=\frac13e^y+c=\frac13e^{x^3}+c</math>
# <math>\int\frac{\ln(x)}x\mathrm dx</math>. נציב <math>y=\ln(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac1x\mathrm dx</math> והאינטגרל הוא <math>\int y\mathrm dy=\frac{y^2}2+c=\frac12(\ln(x))^2+c</math>
# <math>\int\frac x\sqrt{x^2+1}\mathrm dx</math>. נציב <math>y=x^2+1</math> והאינטגרל שווה ל-<math>\int\frac{\tfrac12\mathrm dy}\sqrt y=
frac12\int y^{-\frac12}\mathrm dy=y^{\frac12}+c=\sqrt{x^2+1}+c</math>
# <math>\int\tan(x)\mathrm dx=\int\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\mathrm dx</math> ועבור <math>y=\cos(x)</math> נקבל <math>\int\frac{-\mathrm dy}y=-\ln|y|+c=-\ln|\cos(x)|+c</math>
# <math>\int\cot(x)\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\mathrm dx=\ln|\sin(x)|+c</math>
#<math>\int\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm dx</math>. נציב <math>y=f(x)</math> ונקבל <math>\int\frac{\mathrm dy}y=\ln|y|+c=\ln|f(x)|+c</math>. לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף <math>\int\tan(x)\mathrm dx=-\int\frac{\cos'(x)}{\cos(x)}\mathrm dx=-\ln|\cos(x)|+c</math>.
# <math>\int\frac{f'(x)}{f^2(x)}\mathrm dx</math>. נציב <math>y=f(x)</math> ונקבל <math>\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=-\frac1y+c=-\frac1{f(x)}+c</math>
# <math>\int\frac{x^5\mathrm dx}\sqrt{1-x^3}</math>. נציב <math>y=1-x^3</math> ואז <math>\frac{(1-y)\mathrm dy}{-3}=x^5\mathrm dx</math>. האינטגרל שווה ל-<math>\int\frac{\frac{1-y}{-3}\mathrm dy}\sqrt y=\int\left(\frac13\sqrt y-\frac1{\sqrt y}\right)\mathrm dy=\frac29\left(1-x^3\right)^{3/2}-\frac23\left(1-x^3\right)^{1/2}+c</math>
# <math>\int\arcsin(x)\mathrm dx</math> נציב <math>y=\arcsin(x)</math> ומכאן ש-<math>\mathrm dx=\cos(y)\mathrm dy</math> מכאן שהאינטגרל הוא <math>\int y\cos(y)\mathrm dy=y\sin(y)-\int1\sin(y)\amthrm dy=y\sin(y)+\cos(y)=x\arcsin(x)+\cos(\arcsin(x))+c</math>. גרף (1). דרך אחרת: <math>\int\arcsin(x)\mathrm dx=\int1\arcsin(x)\mathrm dx=x\arcsin(x)-\int\frac x\sqrt{1-x^2}\mathrm dx</math>. נגדיר <math>y=1-x^2</math> ונקבל <math>\int\frac x\sqrt{1-x^2}=\int\frac{1/2\mathrm dy}\sqrt y=-\sqrt y+c=x\arcsin(x)+\frac1\sqrt{1-x^2}+c</math>
# <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>. נציב <math>y=x^2</math> לקבל <math>\int e^y2y\mathrm dy=2ye^t-\int2e^t\mathrm dy=2\sqrt xe^\sqrt x-2e^\sqrt x+c</math>.
# <math>\int\sin(x)\cos(x)\mathrm dx</math>. נבחר <math>y=\sin(y)</math> לקבל <math>\int y\mathrm dy=\frac12y^2+c=\frac12\sin^2(x)+c</math>. שיטה אחרת: <math>y=\cos(x)</math> ו-<math>\iny-y\mathrm dy=-\frac12\cos^2(x)+c</math>. שיטה אחרונה: <math>=\int\frac12\sin(2x)\mathrm dx=-\frac14\cos(2x)+c</math>. קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: <math>-\frac12\cos^2(x)-\frac12\sin^2(x)=-\frac12(\cos^2(x)+\sin^2(x))=-\frac12</math>
משתמש אלמוני
