קבוצה פורשת

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

קבוצה B של וקטורים במרחב וקטורי V מעל שדה F פורשת את המרחב, אם כל וקטור ב-v הוא צירוף לינארי (עם מקדמים מ-F) של וקטורי B.

כל קבוצה B פורשת את הקבוצה הנפרשת על-ידיה.

המקרה הסופי. נניח ש- B=\{v_1,\dots,v_n\} היא קבוצה סופית. אז B פורשת את V אם לכל v\in V קיימים a_1,\dots,a_n\in\mathbb F כך ש- v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n .

המקרה הכללי. כאשר B אינה סופית נדרשת הגדרה מעט יותר מורכבת: B פורשת את V אם לכל v\in V קיימים b_1,\dots,b_n\in B ו- a_1,\dots,a_n\in\mathbb F כך ש- v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n (אפשר להשתמש, כביכול, בוקטורים שונים מ-B לכל וקטור v).

דוגמאות

וקטורי היחידה e_1,\dots,e_n פורשים את מרחב הוקטורים {\mathbb F}^n . הקבוצה \{1,x,x^2,\dots\} פורשת את מרחב הפולינומים {\mathbb F}[x] .

הקשר לבסיסים

קבוצה פורשת ובלתי תלויה היא בסיס. כל קבוצה פורשת של V מכילה בסיס. כל קבוצה המכילה בסיס היא פורשת.