גרסה מ־10:03, 28 באוקטובר 2010 (הצגת מקור) 80.74.111.178 (שיחה) (←‏תרגיל 3 שאלה 1ה': פסקה חדשה) → מעבר להשוואת הגרסאות הקודמת		גרסה אחרונה מ־15:34, 5 בפברואר 2011 (הצגת מקור) 89.139.165.59 (שיחה) (←‏שאלה קלה מדי?)
שורה 4:		שורה 4:
	*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]		*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
		+	*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 7| ארכיון 7]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 8| ארכיון 8]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 9| ארכיון 9]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 10| ארכיון 10]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 11| ארכיון 11]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 12| ארכיון 12]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 13| ארכיון 13]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 14| ארכיון 14]]
		+	*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15| ארכיון 15]]
		+
	=שאלות=		=שאלות=
−	== שאלה ==	+	== הערה בקשר למבחן ביום שני ==
−	אני ועוד כמה ילדים עברנו מהקבוצה של שיין לקבוצה של הורוביץ לפני כשבועיים. כתוצאה מכך הגשנו את תרגיל 1 ו2 מmath wiki.	+
−	כעת, נאלצנו לחזור לקבוצה של שיין. איזה תרגילים עלינו להגיש ליום ראשון הקרוב, למתרגל אדווארד?	+
		+	אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.
−	== שאלה 5א תרגול 2 ==	+	אשמח אם תתחשבו בנו.
−	שלום רב,	+	:מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.
−	הצלחתי להוכיח את שאלה 5א ללא שימוש באפסילון, למרות מה שכתוב בגוף התרגול. השתמשתי בדרך של הוכחה בשלילה ושימוש בתכונות של חסם תחתון וחסם עליון ושל חסמי מלעיל ומלרע (שוב, ללא שימוש באפסילון). האם זה בסדר? בכל אופן, לא מצאתי דרך אשר עושה שימוש באפסילון. כל פעם שניסיתי - נתקעתי. האם אתם יכולים לתת הכוונה כלשהי כיצד לעשות זאת עם אפסילון? תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]	+
−	===תשובה===
−	מהן התכונות של חסם עליון בעזרתן הוכחת? את מניח בשלילה שאחד גדול מהשני, מה הלאה? איפה הסתירה? יש להראות שיש איבר a שגדול ממש מאיבר b, עושים את זה בעזרת משפט שלמדנו בקשר לחסמים המזכיר את אפסילון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 02:22, 22 באוקטובר 2010 (IST)
−	:האם אי אפשר להגיע לסתירה על ידי הוכחה בשלילה באופן הבא: supA>infB ולכן infB לא חסם מלעיל של A ולכן קיים a ב-A עבורו a>infB אבל עפ"י נתון גם עבור ה-a הספיציפי הזה לכל b ב-B עפ"י נתון a קטן שווה ל-b ולכן a חסם מלרע של הקבוצה B אבל a>infB וזהי סתירה. בהוכחה זו אני לא רואה שום שימוש באפסילון, חוץ מזה לא זכור לי שדיברנו על המשפט המסויים שציינת, אתה יכול לצטט אותו?
−	::האמת שזה נכון מאד. המשפט עם האפסילון: תהי A קבוצה חסומה מלעיל. אזי M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל וגם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>a>M-\epsilon</math>. זה בדיוק מה שאתה אומר, רק בשימוש באפסילון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:38, 22 באוקטובר 2010 (IST)	+	מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר:
−	:::אז האם זה בסדר שבתרגול עצמו אכתוב את ההוכחה ללא אפסילון? תודה, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]	+	http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/
−	::::כן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:05, 22 באוקטובר 2010 (IST)	+
−	:::::מה המשפט הנוגע ל-A חסומה מלרע?	+
−	::::::תהי A קבוצה חסומה מלרע. אזי m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע וגם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>a<m+\epsilon</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:14, 22 באוקטובר 2010 (IST)	+
−	::::::: תודה :)- ארז אתה מתרגל אינפי1 לתיכוניסטים במחצית הזו?	+
−	:::::::: לפי מה שידוע לי הוא מתרגל רק למבוגרים בסמסטר זה (ובקורס זה).	+
−	::::::::: באסה :( :)	+
−	== שאלה 6 ==	+	אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..
		+	::ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.
−	סליחה, בצורה יותר מסודרת: האם בשאלה 6 אני יכול להשתמש בפונקציות שאני מכיר וע"י כך להגדיר קבוצות ע"מ להראות דוגמא נגדית, לדוגמא: {A={ arctanx∶ ∀x∈R & x>0?	+	http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
−	===תשובה===	+	== שאלה בקשר למבחן ביום שני ==
−	אין צורך... תשתמש בקבוצות פשוטות בהרבה (קטעים פתוחים/סגורים בציר הממשיים) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:07, 22 באוקטובר 2010 (IST)	+
−	== הצעת ייעול ==	+	מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות?
		+	תודה.
		+	:תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:
		+	:יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.
		+	:תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.
		+	:כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.
		+	:[[משתמש:Gordo6|גל א.]]
		+	::לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.
−	לא עדיף לחלק את הארכיונים השונים לפי תרגולים, כלומר שארכיון 1 יהיה עבור תרגול 1 בלבד וכך הלאה?!? כך יהיה יותר נוח לחפש בין השאלות השונות. אולי כדאי להוציא את השאלות שעוסקות בתרגול 2 אל מחוץ לארכיון 1? אני בטוח שככה יהיה לרוב המשתמשים נוח יותר. שבוע טוב, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]	+	== שאלה על פתרון שאלה ==
−	== תרגול 2, שאלות 2,8 ==	+	תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!
		+	:אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)
		+	::אוקי.
−	שבוע טוב!	+	== עזרה בשאלה ממבחן ==
−	1. לגבי שאלה 2 לא כ"כ הבנתי מה צריך להוכיח ולמה זה קשור. אני יודעת שX בין אפסילון לאפס אבל איך אני יכולה לדעת אם הוא שווה ל0 או לא..	+
−	2. בשאלה 8 האם יש קשר בין ההוכחה בלי הסוגריים להוכחה של הסוגריים. יש עדיפות להוכיח קודם את אחת ההוכחות בשביל להצליח להוכיח את השניה..	+
−	תודה!	+
−	===תשובה===	+	תהי {an} כך שלכל K טבעי <math>a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0</math>, וגם ש <math>lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0</math>. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!
−	ארמוז לך לגבי שאלה 2. נתון X גדול שווה אפס ולכן אפשר שיתקיים אחד מהשניים בלבד:	+
−	1. X גדול מאפס	+	:יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)
		+	::הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?
		+	:::הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)
		+	::::אוקי..
−	2. X שווה לאפס	+	== עזרה בשאלה נוספת ממבחן ==
−	תראי מדוע ייתכן/לא ייתכן ש-X גדול מאפס. רמז, לכל אפסילון שגדול מאפס X קטן מאפסילון. האם X יכול להיות אפסילון? מה יקרה אז?	+	יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f''0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב <math>lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)</math>. תודה מראש
		+	:אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
		+	::לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.
		+	:::<math>Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}</math> כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
		+	::::נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?
		+	:::::אכן.
		+	== רציפות במ"ש ==
−	לגבי שאלה 8: אני אישית עשיתי לפי הסדר בשאלה. לי היה יותר נוח כך, אבל לא נראה לי שזה משנה.	+	מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?
		+	:<math>f(x)=xsinx</math> ו<math>x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}</math>. אזי <math>f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)
−	מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]	+	== קירוב ליניארי ==
−	== המשך שאלה על תרגול 2 שאלה 8 ==	+	היי ארז,
−	מבקשים ממני להוכיח שm חסם תחתון של A אבל זה לא תמיד אפס כי ידוע שa  גדול מאפס..? זה לא בעצם שמספיק להוכיח רק את ההוכחה שבסוגריים כי רק היא נכונה..	+	באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....
−	(שהרי אם 0 הוא חסם תחתון של a אז 1/0 הוא חסם תחתון של A בחזקת -1 וזה בעצם אין פתרון אז זה אומר שהיא לא חסומה..)	+
−	:לדעתי, ההוכחה שבסוגריים הינה מקרה פרטי של A כאשר, כמו שציינת, החסם התחתון (שים לב שזה חסם תחתון ולא מלרע) הוא באמת 0, כאשר ההוכחה הכללית מתייחסת למקרים שבהם infA שונה מ-0.	+	איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?
−	::לא כ"כ הבנתי את הרמז ולמה האפסילון קשור בכלל. אפשר בבקשה עוד כיוון לשאלה 2 ולשאלה 8.
	תודה!		תודה!
−	===תשובה===	+	:אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)
−	לגבי שאלה 2: נתון שx קטן מ'''כל''' מספר חיובי (שקראנו לו אפסילון, השם של המשתנה הרי לא משנה את תוכן המשפט, נכון?) האם יש מספר חיובי שקטן מכל המספרים החיוביים?	+
		+	== עזרה בפתרון שאלה ==
−	לגבי שאלה 8: נתון לך שבקבוצה כל האיברים גדולים מאפס, זה לא אומר שכל המספרים שגדולים מאפס נמצאים בקבוצה. למשל הקבוצה <math>A=(1,2)=\{x\in\mathbb{R}|1<x<2\}</math> מקיימת את תנאי השאלה, והחסם התחתון שלה הינו 1 ולא אפס. שנית, אמרת שהחסם חייב להיות 1 חלקי אפס ולכן הוא לא קיים, זו לא הוכחה תקינה. על מנת להראות שקבוצה אינה חסומה יש להראות שאין לה חסם, כלומר יש בה מספרים גדולים כרצוננו.	+	שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90#.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.A4.D7.AA.D7.A8.D7.95.D7.9F_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.94]]. תודה!
−	--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 01:14, 24 באוקטובר 2010 (IST)	+	:לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, <math>\lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0</math> בסתירה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)
		+	::תודה.
−	== תרגול 3 ==	+	== מישפט היינה בורל  ==
−	שלום רב,	+	מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה
−	מתי יועלה תרגול 3?	+	:"יהי <math>K</math> קטע סגור, ויהיו <math>\{I_a\}_{a\ in\ A}</math> קטעים פתוחים ב-<math>\R</math> כך ש-<math>K</math> מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-<math>K</math> מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
−	תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]	+
−	===תשובה===	+	תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום  בצורה קצת פחות פורמלית
−	היום בערב.	+
−	== שעות קבלה ==	+	אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות
		+	:"תהי <math>S</math> קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
		+	::אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.
		+	:::בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?
		+	::::אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)
−	ארז, אפשר את המייל שלך בשביל לקבוע איתך על שאלות שיש לי באינפי?	+	== עזרה בבדיקת היתכנסות הטור ==
−	: ד"א: ארז, מהן שעות הקבלה שלך? האם אנשים שלומדים בתרגולים מקבילים אחרים בקורס זה יכולים להגיע אליהן כדי לשאול שאלות, או שכל אחד חייב להגיע למתרגל שלו? תודה מראש!	+
−	===תשובה===	+	<math>\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}</math>
−	שעות הקבלה שלי הן בתיאום מראש במייל, ואפשר להגיע אליי מכל קורס לכל נושא (שאני יודע). המייל הוא erez_sh ב hotmail.com (את המייל השני אני מעדיף לא לרשום פה כי הוא יעלה בחיפוש גוגל. אני אענה מהמייל אוניברסיטה) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:33, 24 באוקטובר 2010 (IST)	+	:{{לא מתרגל}} מתכנס, אני מיד אכתוב למה.
		+	:{{הערה|חזרתי:}}
		+	{|
		+	{{=|l=\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} }
		+	|r=\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }
		+	}}
		+	{{=|r=\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right)
		+	}}
		+	{{=|r=\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2}
		+	}}
		+	{{=|r=1\cdot e^{-2}
		+	}}
		+	{{=|r=1
		+	|o=<
		+	}}
		+	|}
		+	:והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס. {{משל}}
		+	פשש  זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה
−	== שתי שאלות ==	+	== בקשה ==
−	אני בקבוצה אחרת שלא משתמשת באתר הזה, אבל יש שתי שאלות משיעורי הבית שאני לא מצליחה לפתור, ואשמח לקבל רמז או הכוונה:	+	שלום רב,
		+	למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf
		+	תודה מראש!
		+	:{{לא מתרגל}} יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.
		+	::יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!
		+	:::{{לא מתרגל}}הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור <math>\sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!}</math> מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן <math>\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0</math> ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), <math>\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty</math>. אח"כ, מכיוון ש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1</math>, מתקיים <math>\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1</math> ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. {{משל}}
		+	::::או, זה יפה ^^
−	1. <math>S_n=arctg(1/2)+arctg(1/8)+...+arctg(1/(2n^2))</math> פתרו באינדוקציה.	+	== שאלה אלמנטרית ==
−	<math>S_n</math> לא נתון אבל תוכנה מצאה שזה <math>arctg(n/(n+1))</math>. איך מוכיחים את זה? ואיך פותרים בלי תוכנה? בכלל אף פעם לא התעסקתי עם <math>arctg</math>, יש נוסחאות? תודה!	+	המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?
−	2. צ"ל: <math>pZ2+qZ3+rZ(2/3)</math> אי רציונלי כאשר p,q,r רציונליים ולפחות אחד מהם שונה מ-0.	+	:גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.
−	כתבתי את האות Z במקום לכתוב שורש (איך כותבים שורש??).	+	::זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)
−	כלומר פי-שורש-2 ועוד קיו-שורש-שלוש ועוד אר-שורש-שני-שליש.	+	:::ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".
−	אני יודעת להוכיח ששורש a אי רציונלי, ושמכפלת רציונלי פי אי רציונלי היא אי רציונלית, וששורש אי רציונלי נשאר אי רציונלי, אבל זה לא מספיק כאן!	+	== חתכי דדקינד ==
−	תודה רבה מראש,	+	לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.
−	בדחיפות בבקשה.	+	שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!
		+	:מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)
−	===תשובה===	+	::לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה <math>A_n/A_{L-\epsilon}</math> מוכלת ב-<math>(L-\epsilon,L)</math>. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.
		+	:::התבלבלת, מה זה An/A_L-e?
		+	::::לא התבלבלתי, זה הקבוצה <math>A_n</math> בלי הקבוצה <math>A_{L-\epsilon}</math>. תיזכר בסימונים של בדידה.
		+	:::::אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך  A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..
−	1. אני לא מבין לגמרי מה השאלה בכלל, מה הכוונה פתרו באינדוקציה? לפתור את מה? נתת סדרה S_n.. מה לגביה?
−	2. צריך קצת לשחק עם זה אלגברית, עד שתבודדי את אחד השורשים. (רמז, להעביר אגף ולהעלות בריבוע). ושורש כותבים כך: '''<nowiki><math>\sqrt{2}</math></nowiki>'''	+	http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
		+	:לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.
		+	'''מי כתב את הפתרון הזה?'''
		+	::זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...
−	--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:56, 25 באוקטובר 2010 (IST)	+	== בפתרון למבחן של זלצמן 2010 ==
−	====המשך השאלה====	+	כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג
−	1. זו שאלה 4 פה: http://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxlZHVhcmRrb250b3JvdmljaHxneDo2OTFjMzMzMjdlYzQxMjFh	+	ש<<math>e^{(x^2)}</math> רציפה במ"ש.
−	2. תודה, אנסה.	+	למה זה נכון?
		+	:זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן '''ההרכבה''' רציפה במ"ש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)
−	=====תשובה=====	+	== כלל לופיטל ==
−	אני מניח שזה קשור למשהו שלמדתם בשיעור. כך או כך [http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html בקישור הזה] יש נוסחאות שאולי יכולות לעזור בפתרון התרגיל (the addition formula). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:46, 26 באוקטובר 2010 (IST)	+
−	תודה רבה, הצלחתי את שניהם!	+	כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?
		+	:למדנו את זה אז כנראה שכן...
−	== תרגול 3 - שאלה 1ג' ==	+	== כלל לופיטל ==
−	שלום,	+	האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?
−	מדברים גיל ושרה. מה שלומכם? מקווה שיותר טוב מאיתנו, למה קצת הסתבכנו פה.	+
−	והנה למה:	+
−	<math>((n+1)!-n!)/((n+1)!+n!))</math>	+
−	צ"ל גבול.	+
−	אנחנו טענו שהגבול הוא 0 כי המכנה יותר גדול מהמונה ולכן הסדרה תשאף ל-0.	+
−	אז כמובן אמרנו דבר ראשון יהי אפסילון גדול מ-0 וגם צ"ל שקיים N אפסילון (ששיך לN) שמקיים עבור כל N אפסליון < n <br/>	+
−	<math>|a(n) - L|</math> < אפסילון. (ד"א אם מישהו יודע איך לכתוב אפסילון פה בצורה יותר נעימה, שיגיד בבקשה).	+
−	הגענו למצב בו אנחנו מוציאים את <math>n!</math> ומצמצמים אותו כך שישאר לנו שבר כזה:	+
−	<math>(n+1-1)/(n+1+1)</math>. מכיוון שטענו שהגבול הוא 0 אזי יוצא ש-	+
−	<math>(n+1-1)/(n+1+1) < epsilon</math>	+
−	בסופו של תהליך, יוצא ש n קטן מביטוי עם אפסילון.... מה זה אומר? האם נכשלנו איפשהו?	+
−	===תשובה===	+	:לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)
−	כנראה שנכשלתם בבחירת הגבול. עשיתם פיתוח יפה לסדרה וקיבלתם	+
−	<math>\frac{n}{n+2}</math> האם זה שואף לאפס?	+
−	'''תמיד טוב לכתוב כמה מאיברי הסדרה''' על מנת להבין מהו הגבול, לפעמים רואים מהר מאד טעויות ככה.	+	== מבחני קושי ודלמבר ==
−	באופן עקרוני המשפט "המונה גדול מהמכנה, לכן הסדרה שואפת לאפס" הוא שקרי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:27, 26 באוקטובר 2010 (IST)	+	מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!
		+	:אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.
−	(ואפסילון כותבים כך- <nowiki><math>\epsilon</math></nowiki>)	+	== חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ ==
−	::אפשר גם פשוט להציב n=99999999 ולראות מה זה יוצא במחשבון במקום לכתוב את איברי הסדרה!	+
−	:::ואם זה משתנה, כלומר הולך למעלה ולמטה וחוזר חלילה? תמיד עדיף לרשום את האיברים הראשונים של הסדרה. (אבל השיטה עם המחשבון יעילה בנוסף). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:55, 27 באוקטובר 2010 (IST)	+	צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)<br/>או שזה כתוב במבחן?
		+	:הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
−	== תרגיל 3 שאלה 1 סעיף ה׳ ==	+	== [[מדיה:10Infi1TargilFinalGrades.pdf|ציונים]] ==
−	לאחר פיתוח קיבלתי ש:	+	מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה
−	a(n) = (3/4)^n	+	:יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.
−	ה׳ניחוש׳ שלי הוא שזה שואף ל0	+	::כן, תיכוניסט. תודה
−	כשאני בא להוכיח שהגבול הוא אכן 0, באמצעות מציאת n(epsilon אני מגיע לאי השיוויון:	+	:::הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich
−	Epsilon > (3/4) ^n	+
−	בדוגמאות שראינו בכיתה, עלינו עכשיו לבודד את ה n ולהגדיר שלכל אפסילון שנקח, נבחר n(epsilon כך ש n(epsilon גדול מביטוי כלשהו התלוי רק באפסילון. כשאני בא לבודד את ה n במקרה הזה אני מקבל שלכל אפסילון שנבחר, נצטרך לקחת n קטן מ: log3/4(epsilon	+
−	N הוא טבעי וכן יש הרבה אפסילונים עבורם לא נמצא n מתאים....	+
−	השאלה שלי היא, האם טעיתי פה איפהשהו? או האם יש דרך אחרת להראות ש0 הוא הגבול	+	== איקס בריבוע ==
−	תודה	+	איך מוכיחים ש-<math>x^2</math> לא רציפה במ"ש? תודה.
		+	:{{לא מתרגל}}ראה [[מדיה:10Infi1Targil8Sol.pdf|פתרון תרגיל 8]], שאלה 9.
		+	::תודה.
		+	== שאלה קלה מדי? ==
−	===תשובה===	+	צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב ב[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15#משפט רימן|ארכיון 15]])
−	דרך אחת היא לקרוא את דף התרגיל כמו שצריך, ספציפית השורה הראשונה (: --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:02, 27 באוקטובר 2010 (IST)	+	:מישהו יודע?
−	== תרגיל 3 שאלה 2 איך אני ניגש אליו?  ==	+	== פתרון של הבחינות ==
−	השמח לקבל איזהשהוא כיוון?	+	הי ארז,
−	===תשובה===	+	ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?
−	צריך להעביר את הסדרה לצורה דומה לסדרה בנתון השאלה. אפשר בנוסף להשתמש בעובדה שעבור מספר ממשי <math>\alpha</math> וסדרה מתכנסת <math>a_n\rightarrow L</math>, מתקיים <math>(a_n)^\alpha = L^\alpha</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:34, 27 באוקטובר 2010 (IST)	+
−	:הצלחתי..אבל המישחקים אם המישוואה היו ממש מיגעים ..תודה!	+	אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.
−	== תרגול 3-שאלה 7 ==	+	כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?
−	האם אפשר להגיד שan ו cn שואפות שתיהן לאותו גבול L?	+	שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).
	===תשובה===		===תשובה===
−	מה הכוונה להגיד? אם רוצים להגיד את זה צריך להוכיח את זה. שים לב שאם L שונה מאפס, הרי c_n לא מתכנסת כלל (זה אחד הכיוונים שצריך להוכיח). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 23:58, 27 באוקטובר 2010 (IST)	+	שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.
−		+
−	== שאלה 1ג' - שאלה נוספת ==	+
−		+
−	שלום לכולם.	+
−	הצבתי כל מיני Nים במחשבים ואני הסקתי שהגבול הוא 1.	+
−	אבל יוצא שלי שאפסילון קטן ממספר שלילי.... האם זה אפשרי או שגם פה טעיתי?	+
−	<math>|(n/(n+2) - 1)| < \epsilon</math>	+
−	זה מביא אותי למצב (אחרי פיתוח אלגברי)	+
−	<math>(-2/(n+2)) < \epsilon</math>	+
−	ולכן עליי להסיק ש:	+
−	<math>(-2-2\epsilon)/\epsilon < n</math>	+
−	וזה ברור אז שאפסילון קטן ממספר שלילי.... טעיתי?	+
−		+
−		+
−	===תשובה===	+
−	לאן נעלם הערך המוחלט? הרי תפקידו היה לבטל את המינוס, לא יכול להיות שערך מוחלט הינו שלילי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 01:25, 28 באוקטובר 2010 (IST)	+
−		+
−	סבבה, אבל זה עדיין יוצא שלילי.	+
−	<math>|(n/(n+2))-1| < \epsilon</math>	+
−	ואז יוצא אחרי פיתוחים	+
−	<math>|-2/(n+2)| < \epsilon</math>	+
−	מכיוון ש-n שייך ל-N אז n+2 הינו ביטוי חיובי ולכן אפשר להמיר את הביטוי שבתוך הערך המוחלט	+
−	ל- <math>2/(n+2) < \epsilon</math>	+
−	ואחרי פיתוחים יוצא ש-	+
−	<math>n > ((2-2\epsilon)/\epsilon)</math>	+
−	וגם זה (יכול להיות) ביטוי שלילי מכיוון ש- <math>\epsilon</math> תמיד גדול מ-0 ואם הוא גדול מ-1 אז אני בבעיה.	+
−	השאלה היא האם אני צריך להוכיח שזה נכון לכל אפסילון או שקיים אפסילון שזה מתקיים?	+
−		+
−	:קודם כל, ברור שצריך להוכיח לכל אפסילון, זו לשון ההגדרה. שנית, מה הבעייה אם הצד השמאלי שלילי? הרי מספר טבעי תמיד גדול משלילי ואז אי השיויון מתקיים והמצב מצויין. זכור שעליך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה מקיימים את אי השיוויון. זה מאד הגיוני שכאשר אפסילון גדול מאד התנאי על המקום בסדרה הוא קל מאד, כי הדרישה היא שאיברי הסדרה יהיו קרובים לגבול עד כדי מרחק אפסילון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 02:27, 28 באוקטובר 2010 (IST)	+
−	== תרגיל 3 שאלה 1ה' ==	+	לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו <math>[0,\infty)</math> ולכן זה פתרון תקין.
−	שלום,	+	====תשובה====
−	רציתי לשאול משהו בקשר למשפט הראשון שרשום בדף התרגיל.	+	אוקי, שוב תודה :-)
−	רשום אם <math>|\alpha| < 1</math> אזי <math>lim(\alpha^n) = 0</math>	+
−	בתרגיל 1ה' אפשר לפשט את הביטוי ל-	+
−	<math>(3/2^n)^n</math> זה ברור שאם <math>n >= 2</math> אזי הביטוי בתוך הסוגריים תמיד יהיה קטן מ-1.	+
−	ואז אני יכול לסמן את הביטוי בתוך הסוגריים בתור <math>\alpha</math> ומש"ל.	+
−	הבעיה שלי היא מה קורה ב- n=1.	+
−	כלומר האם <math>|\alpha| < 1</math> אזי <math>lim(\alpha^n) = 0</math> מתייחס לכל <math>\alpha</math> או	+
−	ל-<math>\alpha</math> כאשר n שואף לאינסוף	+

---

גרסה אחרונה מ־15:34, 5 בפברואר 2011

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

• ארכיון 1
• ארכיון 2
• ארכיון 3
• ארכיון 4
• ארכיון 5
• ארכיון 6
• ארכיון 7
• ארכיון 8
• ארכיון 9
• ארכיון 10
• ארכיון 11
• ארכיון 12
• ארכיון 13
• ארכיון 14
• ארכיון 15

שאלות

הערה בקשר למבחן ביום שני

אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.

אשמח אם תתחשבו בנו.

מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.

מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/

אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..

ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.

http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

שאלה בקשר למבחן ביום שני

מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות? תודה.

תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:

יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.

תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.

כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.

גל א.

לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.

שאלה על פתרון שאלה

תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!

אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --ארז שיינר 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)

אוקי.

עזרה בשאלה ממבחן

תהי {an} כך שלכל K טבעי , וגם ש . הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!

יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --ארז שיינר 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)

הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?

הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --ארז שיינר 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)

אוקי..

עזרה בשאלה נוספת ממבחן

יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב . תודה מראש

אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, גל א.

לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.

כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, גל א.

נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?

אכן.

רציפות במ"ש

מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?

ו. אזי --ארז שיינר 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)

קירוב ליניארי

היי ארז,

באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....

איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?

תודה!

אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --ארז שיינר 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)

עזרה בפתרון שאלה

שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[1]]. תודה!

לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, בסתירה. --ארז שיינר 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)

תודה.

מישפט היינה בורל

מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה

"יהי קטע סגור, ויהיו קטעים פתוחים ב- כך ש- מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש- מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי גל א.

תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום בצורה קצת פחות פורמלית

אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות

"תהי קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, גל א.

אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.

בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?

אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --ארז שיינר 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)

עזרה בבדיקת היתכנסות הטור

(לא מתרגל/ת): מתכנס, אני מיד אכתוב למה.

חזרתי:

והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס.

פשש זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה

בקשה

שלום רב, למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf תודה מראש!

(לא מתרגל/ת): יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.

יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!

(לא מתרגל/ת): הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), . אח"כ, מכיוון ש-, מתקיים ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.

או, זה יפה ^^

שאלה אלמנטרית

המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?

גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.

זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --ארז שיינר 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)

ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".

חתכי דדקינד

לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.

שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!

מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)

לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה מוכלת ב-. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.

התבלבלת, מה זה An/A_L-e?

לא התבלבלתי, זה הקבוצה בלי הקבוצה . תיזכר בסימונים של בדידה.

אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..

http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.

מי כתב את הפתרון הזה?

זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...

בפתרון למבחן של זלצמן 2010

כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג ש< רציפה במ"ש.

למה זה נכון?

זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן ההרכבה רציפה במ"ש. --ארז שיינר 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)

כלל לופיטל

כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?

למדנו את זה אז כנראה שכן...

כלל לופיטל

האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?

לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --ארז שיינר 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)

מבחני קושי ודלמבר

מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!

אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.

חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ

צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)
או שזה כתוב במבחן?

הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. גל א.

ציונים

מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה

יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.

כן, תיכוניסט. תודה

הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich

איקס בריבוע

איך מוכיחים ש- לא רציפה במ"ש? תודה.

(לא מתרגל/ת): ראה פתרון תרגיל 8, שאלה 9.

תודה.

שאלה קלה מדי?

צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב בארכיון 15)

מישהו יודע?

פתרון של הבחינות

הי ארז,

ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?

אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.

כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?

שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).

תשובה

שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.

לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו ולכן זה פתרון תקין.

תשובה

אוקי, שוב תודה :-)