בקצרה:אריתמטיקה של גבולות היא הכלי הבסיסי לחישוב גבולות בלי לחזור בכל פעם להגדרת הגבול: אם שתי סדרות מתכנסות לגבולות סופיים, אז הסכום, המכפלה והמנה שלהן מתכנסים לסכום, למכפלה ולמנה של הגבולות (במנה, בתנאי שגבול המכנה אינו אפס). כך מפרקים ביטוי מסובך לחלקים שהגבול של כל אחד מהם ידוע ומחשבים את הגבולות בצד, למשל [math]\displaystyle{ \frac{2+\frac1n}{3-\frac1n}\to\frac{2+0}{3-0}=\frac23 }[/math]. צריך לזכור את תחום השימוש: המשפט עוסק רק בגבולות סופיים ובמספר קבוע של מחוברים או גורמים, והוא פועל בכיוון אחד בלבד, כי סכום של שתי סדרות יכול להתכנס גם כששתיהן אינן מתכנסות.
▶ ההרצאה: מבוא לחשבון גבולות
הרעיון של הוכחת סעיף (ב), כלל המכפלה, כשטחים (בציור כל המספרים חיוביים, [math]\displaystyle{ a_n>L_a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n>L_b }[/math]): המלבן הגדול, שצלעותיו [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math], הוא [math]\displaystyle{ a_nb_n }[/math], והמלבן התכול הוא [math]\displaystyle{ L_aL_b }[/math]. ההפרש [math]\displaystyle{ a_nb_n-L_aL_b }[/math] הוא האזור שצורתו כמו האות ר', והוא מורכב משתי רצועות: הרצועה האנכית, ששטחה [math]\displaystyle{ b_n(a_n-L_a) }[/math], והרצועה האופקית, ששטחה [math]\displaystyle{ L_a(b_n-L_b) }[/math]. כאשר [math]\displaystyle{ n }[/math] גדל, רוחבי הרצועות [math]\displaystyle{ a_n-L_a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n-L_b }[/math] שואפים לאפס, והאורכים [math]\displaystyle{ b_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L_a }[/math] חסומים; לכן כל רצועה היא אפסה כפול חסומה, וההפרש שואף לאפס. בסרטון מגיעים לפירוק הזה בשיטת wouldn't it be nice: מחסירים ומוסיפים את [math]\displaystyle{ L_ab_n }[/math]. הזהות נכונה לכל ארבעה מספרים ממשיים, גם כשאי אפשר לצייר אותה כך.
(ג) אם [math]\displaystyle{ L_b\ne0 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}\to\frac{L_a}{L_b} }[/math].
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: הדוגמה מהסרטון: [math]\displaystyle{ \frac{2+\frac1n}{3-\frac1n} }[/math]
חשבו את הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac1n}{3-\frac1n} }[/math], ונמקו כל מעבר לפי הסעיף המתאים במשפט אריתמטיקה של גבולות.
נפרק את הביטוי לחלקים שהגבול של כל אחד מהם ידוע, ונחשב את הגבולות בצד.
הסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ 2 }[/math] שואפת ל־[math]\displaystyle{ 2 }[/math], וכך גם [math]\displaystyle{ 3\to3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ -1\to-1 }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math] (ראינו לפי ההגדרה).
המונה: לפי סעיף (א), [math]\displaystyle{ 2+\frac1n\to2+0=2 }[/math].
המכנה: [math]\displaystyle{ -\frac1n=(-1)\cdot\frac1n }[/math], ולפי סעיף (ב) [math]\displaystyle{ -\frac1n\to(-1)\cdot0=0 }[/math] (כפל בסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ -1 }[/math]). לכן לפי סעיף (א) [math]\displaystyle{ 3-\frac1n\to3-0=3 }[/math].
המנה: גבול המכנה הוא [math]\displaystyle{ 3\ne0 }[/math], ולכן לפי סעיף (ג) [math]\displaystyle{ \frac{2+\frac1n}{3-\frac1n}\to\frac{2+0}{3-0}=\frac23 }[/math].
את התנאי [math]\displaystyle{ L_b\ne0 }[/math] בודקים לפני שמחלקים. כאן גם [math]\displaystyle{ 3-\frac1n\ge2>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], כך שאיברי הסדרה מוגדרים לכל [math]\displaystyle{ n }[/math].
מקור: תמליל 15 (Hf14pSb3zDM) 11:07–11:51 (t=667s): 'לסיום נראה דוגמה קלה ... סך הכל זה שואף כמובן לשני שליש' (שם גם: 'יש לנו סכום וחילוק ואפילו כפל קטן ... בסדרה קבועה'); מאגר 2.4-01 (◆, ק' 1, בוחן ✓, V15 11:07)
כלי עזר. יהי [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] קבוע. אזי [math]\displaystyle{ \frac1{n^k}\to0 }[/math]: זו מכפלה של [math]\displaystyle{ k }[/math] גורמים, שכל אחד מהם הוא [math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math], ולפי סעיף (ב), שמופעל [math]\displaystyle{ k-1 }[/math] פעמים, הגבול הוא [math]\displaystyle{ 0\cdot0\cdots0=0 }[/math]. מותר להפעיל כאן את המשפט, כי מספר הגורמים קבוע ואינו תלוי ב־[math]\displaystyle{ n }[/math].
(א) המונה והמכנה אינם מתכנסים (הם שואפים לאינסוף), ולכן אי אפשר להפעיל את סעיף (ג) ישירות. נחלק את המונה ואת המכנה ב־[math]\displaystyle{ n^7 }[/math], החזקה הגבוהה ביותר במכנה: [math]\displaystyle{ \frac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{3+\frac5{n^5}+\frac1{n^7}}{6+\frac1{n^3}} }[/math].
לפי סעיפים (א) ו־(ב) וכלי העזר, המונה החדש שואף ל־[math]\displaystyle{ 3+5\cdot0+0=3 }[/math] והמכנה החדש ל־[math]\displaystyle{ 6+0=6 }[/math]. גבול המכנה שונה מאפס, ולכן לפי סעיף (ג) הגבול הוא [math]\displaystyle{ \frac36=\frac12 }[/math].
(ב) נחלק את המונה ואת המכנה ב־[math]\displaystyle{ n^2 }[/math], החזקה הגבוהה ביותר במכנה: [math]\displaystyle{ \frac{1000n}{n^2-2}=\frac{\frac{1000}n}{1-\frac2{n^2}} }[/math].
המונה החדש שואף ל־[math]\displaystyle{ 1000\cdot0=0 }[/math] והמכנה החדש ל־[math]\displaystyle{ 1-2\cdot0=1\ne0 }[/math], ולכן לפי סעיף (ג) הגבול הוא [math]\displaystyle{ \frac01=0 }[/math].
הכלל: מחלקים בחזקה הגבוהה ביותר של המכנה, כדי שהמכנה החדש ישאף למספר שונה מאפס. כשדרגת המונה שווה לדרגת המכנה מתקבלת מנת המקדמים המובילים ([math]\displaystyle{ \frac36 }[/math]), וכשהיא קטנה ממנה מתקבל [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
מקור: (א) מערך התרגול תשע"ב (סדרות/גבול, §אריתמטיקה (חשבון) של גבולות, תרגיל עם פתרון: 'נחלק את המונה ואת המכנה ב-n^7 ... הגבול שווה 3/6=1/2'); תרגול 4 של לואי ומני עמ' 1; XI X14 (G3); מאגר 2.4-01 (◆, ק' 1, בוחן ✓, 3 דק'); (ב) מאגר 2.4-08 (רשימת הגבולות ה'רגילים', ◆) וטיוטת 'מבחנים לפי נושא' סעיף 2.4 (שם בלי תשובה; הגבול 0 חושב כאן)
דוגמה 3: הוכיחו או הפריכו: מה נובע מהתכנסות של סכום, הפרש ומכפלה
תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות. הוכיחו או הפריכו: (א) אם [math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] מתכנסת, אזי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] מתכנסות. (ב) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] מתכנסות, אזי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מתכנסת. (ג) יהיו [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb R }[/math]. אם [math]\displaystyle{ a_n+b_n\to a+b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n-b_n\to a-b }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_n\to a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to b }[/math]. (ד) אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_nb_n }[/math] מתכנסות, אזי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מתכנסת.
(א) לא נכון. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=(-1)^{n+1} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n+b_n=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n+b_n\to0 }[/math], אבל ל־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] ול־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] אין גבול. המשפט פועל בכיוון אחד בלבד: מהתכנסות המחוברים להתכנסות הסכום.
(ב) נכון. יהיו [math]\displaystyle{ L_a,L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L_a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n+b_n\to L }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ b_n=(a_n+b_n)+(-1)\cdot a_n }[/math]. לפי סעיף (ב) [math]\displaystyle{ (-1)\cdot a_n\to-L_a }[/math], ולכן לפי סעיף (א) [math]\displaystyle{ b_n\to L-L_a }[/math].
(ג) נכון. לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(a_n+b_n)+(a_n-b_n)}2 }[/math], ולכן לפי סעיפים (א) ו־(ב) (כפל בסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math]) [math]\displaystyle{ a_n\to\frac{(a+b)+(a-b)}2=a }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ b_n=\frac{(a_n+b_n)-(a_n-b_n)}2 }[/math] [math]\displaystyle{ \to\frac{(a+b)-(a-b)}2=b }[/math].
(ד) לא נכון. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=\frac1n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=(-1)^n }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_nb_n=\frac{(-1)^n}n\to0 }[/math] (אפסה כפול חסומה), אבל ל־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] אין גבול. הניסיון לכתוב [math]\displaystyle{ b_n=\frac{a_nb_n}{a_n} }[/math] ולהפעיל את סעיף (ג) נכשל, כי גבול המכנה הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
אם בנוסף [math]\displaystyle{ \lim a_n=L_a\ne0 }[/math], הטענה ב־(ד) נכונה: לפי הגדרת הגבול עם [math]\displaystyle{ \varepsilon=|L_a| }[/math], החל ממקום מסוים [math]\displaystyle{ |a_n-L_a|<|L_a| }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_n\ne0 }[/math]; שם [math]\displaystyle{ b_n=\frac{a_nb_n}{a_n} }[/math], ולפי סעיף (ג) [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מתכנסת (מספר סופי של איברים אינו משפיע על הגבול).
מקור: מאגר 2.4-22 (◆, ק' 1–3, בוחן ✓): ש"ב 4 של מדמ"ח תש"ף (P3), ש"ב 3 ש'1 של תיכוניסטים תשפ"א (P1), סיכום תרגול 3 של אריאל ויצמן (P1s Les3); (ג) מועד ב' תשס"ג שאלה 3 (W5b Q019), עם הפתרון בוויקי (הדף 'פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,', 'דרך טיפה יותר אלגנטית'); הדוגמה הנגדית ב-(א) מההערה למשפט 2.4.2 (remark_text); (ד) בדומה לתרגיל 'a_n→0 ולסדרה b_n אין גבול' במערך התרגול תשע"ב (סדרות/גבול §אריתמטיקה)
דוגמה 4: השלמת הלמה: המקרה [math]\displaystyle{ L_b<0 }[/math]
בסרטון הוכחה למה 2.4.1 רק במקרה [math]\displaystyle{ L_b>0 }[/math], והמקרה [math]\displaystyle{ L_b<0 }[/math] נשאר כתרגיל. תהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרה ממשית, ויהי [math]\displaystyle{ L_b\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ L_b<0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to L_b }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \frac1{b_n}\to\frac1{L_b} }[/math].
הסביבה. כמו בסרטון, נבחר סביבה של [math]\displaystyle{ L_b }[/math] שכולה בצד אחד של [math]\displaystyle{ 0 }[/math]: הסביבה ברדיוס [math]\displaystyle{ \varepsilon=-\frac{L_b}2>0 }[/math], כלומר הקטע [math]\displaystyle{ \left(\frac{3L_b}2,\frac{L_b}2\right) }[/math], שכולו משמאל ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. לפי הגדרת הגבול קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{3L_b}2<b_n<\frac{L_b}2 }[/math]. בפרט [math]\displaystyle{ b_n<0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \frac1{b_n} }[/math] מוגדר לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math].
אפסה.[math]\displaystyle{ |L_b-b_n|=|b_n-L_b|\to0 }[/math] לפי טענה 2.2.1, כי [math]\displaystyle{ b_n\to L_b }[/math]; לכן לפי מסקנה 2.2.2 [math]\displaystyle{ L_b-b_n\to0 }[/math].
חסומה. לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] נכפול את אי־השוויון [math]\displaystyle{ b_n<\frac{L_b}2 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ L_b<0 }[/math], וכיוונו מתהפך: [math]\displaystyle{ b_nL_b>\frac{L_b^2}2>0 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 0<\frac1{b_nL_b}<\frac2{L_b^2} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math], כלומר הסדרה [math]\displaystyle{ \frac1{b_nL_b} }[/math] חסומה החל מהמקום [math]\displaystyle{ K }[/math].
סיום. מספר סופי של איברים ([math]\displaystyle{ n\le K }[/math]) אינו משפיע על הגבול ועל החסימות, ולכן לפי אפסה כפול חסומה (טענה 2.2.3) [math]\displaystyle{ \frac1{b_n}-\frac1{L_b}\to0 }[/math], ולפי מסקנה 2.2.2 וטענה 2.2.1 [math]\displaystyle{ \frac1{b_n}\to\frac1{L_b} }[/math].
דרך קצרה. לפי סעיף (ב) של המשפט (כפל בסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ -1 }[/math]) [math]\displaystyle{ -b_n\to-L_b>0 }[/math], ולפי המקרה שהוכח בסרטון [math]\displaystyle{ \frac1{-b_n}\to\frac1{-L_b} }[/math]. שוב לפי סעיף (ב): [math]\displaystyle{ \frac1{b_n}=(-1)\cdot\frac1{-b_n} }[/math] [math]\displaystyle{ \to(-1)\cdot\frac1{-L_b}=\frac1{L_b} }[/math]. אין כאן מעגליות: הוכחת סעיף (ב) אינה משתמשת בלמה.
מקור: תמליל 15 (Hf14pSb3zDM) 07:37–07:51 (t=457s): 'ההוכחה אם l b קטן ממש מ0 כמעט זהה לחלוטין ואני משאיר לכם ... בתור תרגיל'; 09:39–10:24 (t=579s): הסביבה בין חצי L_b לשלושה חצאים, החסם 2/L_b², 'אם l b שלילי האי שוויון הזה מתהפך'; 10:46–10:58 (t=646s): 'מספר סופי של איברים לא משפיע על הגבול וגם לא משפיע על חסימות'; לוח התרגול 5.11.20, מדמ"ח תשפ"א (R1-X11, פתרון מלא עם הסביבה (3L/2, L/2)); מאגר 2.4-23 (◆, ק' 3, בוחן ✓ 7 דק'); ה'דרך הקצרה' היא הצעה שלי (לא מהמקורות)
טעויות נפוצות
לפצל [math]\displaystyle{ \lim(a_n+b_n)=\lim a_n+\lim b_n }[/math] לפני שבודקים ששני הגבולות באגף ימין קיימים וסופיים: [math]\displaystyle{ \lim\big((n+1)-n\big)=1 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \lim(n+1)-\lim n }[/math] הוא "[math]\displaystyle{ \infty-\infty }[/math]", שאינו מוגדר; המשפט עוסק רק בגבולות סופיים.
לחלק בלי לבדוק ש [math]\displaystyle{ L_b\ne0 }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ a_n=b_n=\frac1n }[/math] המנה היא [math]\displaystyle{ 1\to1 }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ a_n=\frac1n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=\frac1{n^2} }[/math] המנה היא [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math], כלומר "[math]\displaystyle{ \frac00 }[/math]" אינו נקבע על ידי הגבולות של המונה והמכנה.
להפעיל את סעיף (א) על סכום שמספר המחוברים בו גדל עם [math]\displaystyle{ n }[/math]: הסכום [math]\displaystyle{ \frac1{n^2}+\frac2{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2} }[/math] אינו שואף ל־[math]\displaystyle{ 0+0+\cdots+0=0 }[/math], כי הוא שווה ל־[math]\displaystyle{ \frac{(n-1)n}{2n^2}=\frac12-\frac1{2n} }[/math], ולכן שואף ל־[math]\displaystyle{ \frac12 }[/math].
להסיק את הכיוון ההפוך של המשפט: מהתכנסות של [math]\displaystyle{ a_n+b_n }[/math] לא נובע שהמחוברים מתכנסים ([math]\displaystyle{ (-1)^n+(-1)^{n+1}=0 }[/math]), ומהתכנסות של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ושל [math]\displaystyle{ a_nb_n }[/math] לא נובע ש [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מתכנסת ([math]\displaystyle{ \frac1n\cdot(-1)^n\to0 }[/math]).
בהוכחת הלמה, להסיק מחסימות של [math]\displaystyle{ b_n }[/math] ש [math]\displaystyle{ \frac1{b_n} }[/math] חסומה: [math]\displaystyle{ \frac1n }[/math] חסומה אבל [math]\displaystyle{ n }[/math] לא, ולכן צריך את ההנחה [math]\displaystyle{ L_b\ne0 }[/math], שמרחיקה את [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מאפס החל ממקום מסוים ([math]\displaystyle{ |b_n|>\frac{|L_b|}2 }[/math]).
לתרגול
מועד ב' תשס"ג · שאלה 3: [math]\displaystyle{ a_n\pm b_n\to a\pm b }[/math] גורר [math]\displaystyle{ a_n\to a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n\to b }[/math], עם פתרון (סעיף (ג) בדוגמה 3)
מועד א' תשפ"א (החממה) · שאלה 2ב: [math]\displaystyle{ \lim\frac{6^n}{5^n+4^n} }[/math], חלוקה בחזקה של הבסיס הגדול במכנה (נדרשת גם חזקת אינסוף, סעיף 2.6) (פתרון)
מערך תרגול · מערך התרגול של ארז (תשע"ב), פרק הסדרות
אריתמטיקה של גבולות במערך התרגול · ניסוח המשפט, הגבול [math]\displaystyle{ \frac{3n^7+5n^2+1}{6n^7+n^4} }[/math] עם פתרון (דוגמה 2א), והתרגיל "[math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] ולסדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] אין גבול"
תרגול 4 (לואי ומני) · עמ' 1–2: המשפט, מנת פולינומים, והוכחה שסדרה אינה מתכנסת בעזרת אריתמטיקה (אילו התכנסה, גם הפרש של שתי סדרות מתכנסות היה מתכנס); עמ' 4: [math]\displaystyle{ a_n\to a\ne0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \frac{b_n}{a_n}\to1 }[/math] גורר [math]\displaystyle{ b_n\to a }[/math]; עם פתרונות
![הרעיון של הוכחת סעיף (ב), כלל המכפלה, כשטחים (בציור כל המספרים חיוביים, [math]\displaystyle{ a_n>L_a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n>L_b }[/math]): המלבן הגדול, שצלעותיו [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math], הוא [math]\displaystyle{ a_nb_n }[/math], והמלבן התכול הוא [math]\displaystyle{ L_aL_b }[/math]. ההפרש [math]\displaystyle{ a_nb_n-L_aL_b }[/math] הוא האזור שצורתו כמו האות ר', והוא מורכב משתי רצועות: הרצועה האנכית, ששטחה [math]\displaystyle{ b_n(a_n-L_a) }[/math], והרצועה האופקית, ששטחה [math]\displaystyle{ L_a(b_n-L_b) }[/math]. כאשר [math]\displaystyle{ n }[/math] גדל, רוחבי הרצועות [math]\displaystyle{ a_n-L_a }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n-L_b }[/math] שואפים לאפס, והאורכים [math]\displaystyle{ b_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L_a }[/math] חסומים; לכן כל רצועה היא אפסה כפול חסומה, וההפרש שואף לאפס. בסרטון מגיעים לפירוק הזה בשיטת wouldn't it be nice: מחסירים ומוסיפים את [math]\displaystyle{ L_ab_n }[/math]. הזהות נכונה לכל ארבעה מספרים ממשיים, גם כשאי אפשר לצייר אותה כך.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-08.png)