אינפי 1/טורים
ראו גם: טור הנדסי
מהו טור
תהי סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} }[/math] . נגדיר את הסדרה [math]\displaystyle{ s_k=\sum_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n }[/math] , אז [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מוגדר להיות [math]\displaystyle{ \lim_{k\to\infty} s_k }[/math] . במקרה כזה, [math]\displaystyle{ s_k }[/math] נקראת סדרת הסכומים החלקיים של הטור (או בקיצור הסס"ח). אם הגבול הזה קיים אומרים שהטור מתכנס, ואחרת אומרים שהוא מתבדר.
דוגמה: הצגה עשרונית - [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{10^n} }[/math] כש- [math]\displaystyle{ a_n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} }[/math] . זה מתכנס משום שהסס"ח היא סדרת קושי.
תכונות בסיסיות של טורים
נניח הטורים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n ,\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתכנסים אזי \begin{displaymjx}\sum_{n=1}^\infty \alpha a_n+\beta b_n = \alpha\sum_{n=1}^\infty a_n+\beta \sum_{n=1}^\infty b_n\end{displaymjx}
הוכחה.
ישירות מאריתמטיקה של גבולות
∎
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} a_n }[/math] מתכנס אם ורק אם \begin{displaymjx}\forall_{\epsilon>0}\exists_N \forall_{n>m>N}: \left |\sum_{k=m}^n a_k \right |<\epsilon\end{displaymjx}
הוכחה.
בעצם התנאי בצד שמאל זה פשוט ההגדרה ש- [math]\displaystyle{ s_n }[/math] סדרת קושי, וכידוע סדרה היא מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי.
∎
אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס אזי [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_n = 0 }[/math] (המשפט ההפוך לא נכון! ראינו שהטור ההרמוני מתבדר למרות שהאיבר הכללי שואף ל-0)
הוכחה.
נראה כי [math]\displaystyle{ a_n=s_n-s_{n-1} }[/math] ואז מאריתמטיקה של גבולות, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n - \sum_{n=1}^\infty a_n = 0 }[/math]
∎
הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{n+\sqrt{n}+1}{2n+3} }[/math] מתבדר כי האיבר הכללי שואף לחצי
טורים עם איברים חיוביים
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n , \forall n: a_n\geq 0 }[/math] מתכנס אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים חסומה מלעיל, כלומר [math]\displaystyle{ \exists C \forall n : s_n\leq C }[/math]
הוכחה.
נשים לב שהסס"ח היא סדרה מונוטונית עולה במקרה שכל איברי הטור חיוביים ולכן מתכנסת ל- [math]\displaystyle{ \sup }[/math] שלה. אם היא חסומה מלעיל אז הסופרימום ממשי ואז הטור מתכנס, בעוד שאם היא לא חסומה זה אומר ששואפת לאינסוף ולכן הטור מתבדר.
∎