אינפי 1/מבחן העיבוי לטורים

📄 דף מעודכן על הנושא: מבחן העיבוי והטור ההרמוני המוכלל: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.
ראו גם: טור הרמוני

משפט

נתון טור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall n : 0\leq a_{n+1}\leq a_n }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית יורדת).
אזי הטור הזה והטור [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty a_{2^k} \cdot 2^k }[/math] חברים.

דוגמה

הטור ההרמוני הוא טור שאיבריו מהווים סדרה מונוטונית יורדת, ולכן חבר של הטור \begin{displaymjx}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}\cdot 2^k = \sum_{k=1}^\infty 1\end{displaymjx} וברור שהטור הזה מתבדר. האמת שאפשר עם מבחן העיבוי להגיע לתוצאה יותר כללית עכשיו:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2^k)^p} \cdot 2^k }[/math] מתכנס, אבל האיבר הכללי של הטור הוא בעצם [math]\displaystyle{ (2^{1-p})^k }[/math] , כלומר סדרה הנדסית.
טור הנדסי מתכנס אם ורק אם היחס בין איבריו הוא בין [math]\displaystyle{ -1 }[/math] ל- [math]\displaystyle{ 1 }[/math] , ומכאן שצריך להתקיים [math]\displaystyle{ 2^{1-p}<1=2^0 }[/math] . זה קורה אם ורק אם [math]\displaystyle{ 1-p<0 }[/math] וזה קורה אם ורק אם [math]\displaystyle{ p>1 }[/math]

הוכחה.

לשם הפשטות נקרא לסס"ח של [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] בשם [math]\displaystyle{ A_n }[/math] ולסס"ח של [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_{2^n} \cdot 2^n }[/math] בשם [math]\displaystyle{ S_n }[/math]. כעת, מצד אחד: \begin{displaymjx}S_n=a_1+2a_2+4a_4+\cdots=a_1+(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)\geq\end{displaymjx} \begin{displaymjx}a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)=A_{2^n - 1}\end{displaymjx} (השתמשנו בעובדה שהסדרה מונו’ יורדת)

ומצד שני \begin{displaymjx}S_n=a_1+2\cdot \sum_{k=1}^n a_{2^k} \cdot 2^{k-1}=a_1+2[a_2+(a_4+a_4)+(a_8+a_8+a_8+a_8)+\cdots]\leq\end{displaymjx} \begin{displaymjx}a_1+2[a_2+(a_3+a_4)+(a_5+a_6+a_7+a_8)+\cdots]=2A_{2^n} - a_1\end{displaymjx} (גם פה השתמשנו בעובדה שהסדרה מונו’ יורדת)

לסיכום: [math]\displaystyle{ A_{2^n - 1} \leq S_n \leq 2A_{2^n} - a_1 }[/math]

אם [math]\displaystyle{ A_n }[/math] סדרה מתכנסת ל- [math]\displaystyle{ C }[/math] אז נקבל (מכך שהסדרה [math]\displaystyle{ A_n }[/math] מונוטונית עולה) ש-
[math]\displaystyle{ S_n \leq 2C- a_1 }[/math], כלומר חסומה מלעיל, ולכן מתכנסת. מאי השיוויון שקיבלנו אפשר לקבל את הכיוון בשני של הטענה באופן דומה.

∎

הערה

אם הסדרה לא מונו’ יורדת, המשפט לא יתקיים. דוגמה די מאולצת היא הסדרה \begin{displaymjx}x_n=0,0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},0,\frac{1}{9},\cdots\end{displaymjx} במקרה הזה [math]\displaystyle{ S_n=0 }[/math] ולכן ברור שהטור "המתאים" שלה מתכנס, אבל הטור לא מתכנס. כי אם נגדיר \begin{displaymjx}y_n=1,\frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,0,0,\frac{1}{8},0,\cdots\end{displaymjx} אז [math]\displaystyle{ \sum y_n }[/math] הוא בעצם טור הנדסי (מלבד הרבה אפסים שדחפו "באמצע") ולכן מתכנס. כעת נראה ש- \begin{displaymjx}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^\infty x_n + \sum_{n=1}^\infty y_n\end{displaymjx} ואז אם [math]\displaystyle{ \sum x_n }[/math] מתכנס גם הטור ההרמוני יתכנס ופה הסתירה.