אינפי 1/פעולות עם נגזרות

📄 דף מעודכן על הנושא: חוקי גזירה: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.
ראו גם: טבלת נגזרות

משפט

נניח [math]\displaystyle{ f,g:(a,b)\to \mathbb{R} }[/math] גזירות ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי הפונקציות הבאות גזירות ומתקיים:

1. [math]\displaystyle{ (\alpha f + \beta g)'(x_0) = \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \alpha,\beta }[/math] קבועים.
2. [math]\displaystyle{ (fg)'(x_0) = f'(x_0) g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) }[/math] (זה נקרא כלל לייבניץ)
3. במידה ו- [math]\displaystyle{ g(x_0)\neq 0 }[/math] אז מוגדרת הנגזרת [math]\displaystyle{ (\frac{1}{g(x)})'(x_0) }[/math] והיא שווה ל- [math]\displaystyle{ -\frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} }[/math]
4. במידה ו- [math]\displaystyle{ g(x_0)\neq 0 }[/math] אז מוגדרת הנגזרת [math]\displaystyle{ (\frac{f(x)}{g(x)})'(x_0) }[/math] והיא שווה ל- [math]\displaystyle{ \frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} }[/math]

הוכחה.

1. \begin{displaymjx}\lim_{x\to x_0} \frac{(\alpha f + \beta g)(x)-(\alpha f + \beta g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0} \frac{\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha f(x_0)-\beta g(x_0)}{x-x_0} =\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\alpha \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \beta \lim_{x\to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \alpha f'(x_0)+\beta g'(x_0)\end{displaymjx}
2. \begin{displaymjx}f(x_0+t)\cdot g(x_0+t)=(f(x_0)+f'(x_0) t + o(t))(g(x_0)+g'(x_0) t + o(t))=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}f(x_0)g(x_0)+(f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0))t+o(t)\end{displaymjx} וממה שראינו על הדיפרנציאל, [math]\displaystyle{ (fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) }[/math]
3. \begin{displaymjx}\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0}=\frac{1}{g(x_0)g(x)} \frac{g(x_0)-g(x)}{(x-x_0)}\underset{x\to x_0}{\longrightarrow} \frac{1}{(g(x_0))^2} \cdot -g'(x_0)\end{displaymjx}
4. \begin{displaymjx}(\frac{f}{g})'(x_0)=(f\cdot \frac{1}{g})'(x_0) = f'(x_0) \frac{1}{g(x_0)} -f(x_0) \frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} = \frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2}\end{displaymjx}

∎

משפט

[math]\displaystyle{ (x^n)'=nx^{n-1} }[/math]

הוכחה.

באינדוקציה, ראינו שעבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] זהו קו ישר שהנגזרת שלו היא [math]\displaystyle{ 1=1\cdot x^0 }[/math]. כעת נניח שזה נכון עבור [math]\displaystyle{ n }[/math] ונוכיח עבור [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] : \begin{displaymjx}(x^n)'=(x\cdot x^{n-1})' = 1\cdot x^{n-1} + x\cdot (n-1)x^{n-2} = x^{n-1} + (n-1) x^{n-1} = nx^{n-1}\end{displaymjx}

∎