לינארית 2/הרצאה 1
חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה
ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות
תהי [math]\displaystyle{ A\in M_n\left( \mathbb{F}\right) }[/math]. אומרים ש-[math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{F} }[/math] הוא ערך עצמי (ע"ע) של [math]\displaystyle{ A }[/math], אם קיים וקטור [math]\displaystyle{ 0\neq v\in\mathbb{F}^n }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math].
הוקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של [math]\displaystyle{ A }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
אוסף כל הערכים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math] נקרא הספקטרום של [math]\displaystyle{ A }[/math], ומסומן [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left (A\right ) }[/math].
יכול להיות המצב [math]\displaystyle{ spec(A)=\emptyset }[/math].
הרעיון בערכים עצמיים ווקטורים עצמיים הוא לדעת אילו וקטורים המטריצה מותחת או מכווצת. הווקטור העצמי - מי ההעתקה מותחת או מכווצת, והערך העצמי - פי כמה. בהמשך נראה שלערכים העצמיים ולווקטורים העצמיים יש תפקיד משמעותי ב"הבנת" מטריצות.
[math]\displaystyle{ \lambda=0 }[/math] ערך עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ A }[/math] איננה הפיכה.
הוכחה.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\Leftarrow} }[/math]
- נניח [math]\displaystyle{ \lambda =0 }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. זאת אומרת שקיים וקטור [math]\displaystyle{ v\ne 0 }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ Av=0 }[/math]. נסמן \begin{displaymjx}v=\left ( \begin{matrix} v_1\\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right ),\quad A=\left ( \begin{matrix} a_{11} & \cdots &a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right )\end{displaymjx} נוכל להגיד שלפיכך \begin{displaymjx}\left \{ \begin{matrix} a_{11}v_1+\cdots+a_{1n}v_n=0\\ \vdots\\ a_{n1}v_1+\cdots+a_{nn}v_n=0 \end{matrix} \right.\end{displaymjx} היא מערכת הומוגנית (בת [math]\displaystyle{ n }[/math] משוואות מ-[math]\displaystyle{ n }[/math] נעלמים). למערכת יש פתרון לא טריוויאלי, ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\Rightarrow} }[/math]
- נניח ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה. נתבונן במערכת [math]\displaystyle{ Av=0 }[/math]. יש לה פתרון לא טריוויאלי [math]\displaystyle{ v\ne 0 }[/math], ולכן מתקיים [math]\displaystyle{ Av=0=0\cdot v }[/math], זאת אומרת ש-[math]\displaystyle{ \lambda =0 }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math].
∎
[math]\displaystyle{ A }[/math] איננה הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ \det\left (A\right )=0 }[/math].
[math]\displaystyle{ \lambda \in\mathbb{F} }[/math] הוא ערך עצמי של מטריצה [math]\displaystyle{ A\in M_{n}(\mathbb{F}) }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \det\left (\lambda I-A\right )=0 }[/math].
הוכחה.
[math]\displaystyle{ \lambda \in\mathbb{F} }[/math] הוא ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] קיים [math]\displaystyle{ v\ne 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] קיים [math]\displaystyle{ v\ne 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \lambda v-Av=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] קיים [math]\displaystyle{ v\ne 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \left (\lambda I-A\right )v=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] המטריצה [math]\displaystyle{ \lambda I-A }[/math] אינה הפיכה [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \det(\lambda I-A)=0 }[/math].
∎
המשפט מאפשר לנו לחשב ערכים עצמיים מבלי לנסות לכפול וקטורים במטריצה בתקווה ש"ייצא טוב". לפי המשפט, כדי למצוא ערכים עצמיים של המטריצה נוכל לפתור את המשוואה [math]\displaystyle{ \det\left (\lambda I-A\right )=0 }[/math]. זהו פולינום ממעלה [math]\displaystyle{ n }[/math], ובהמשך נקרא לו "הפולינום האופייני" של [math]\displaystyle{ A }[/math], והוא ישחק תפקיד חשוב בתיאוריה שלנו.
נציג כעת מספר דוגמאות למציאת ערכים עצמיים.
ניקח [math]\displaystyle{ A=I_n }[/math], ונחפש את [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(A\right) }[/math]. נבדוק בשתי שיטות:
- שיטה ראשונה - חישוב ישיר
נניח ש-[math]\displaystyle{ I_n v=\lambda v }[/math]. מכאן, [math]\displaystyle{ v=\lambda v }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \lambda = 1 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\} }[/math].
- שיטה שנייה - לפי המשפט
נשים לב כי \begin{displaymjx}\lambda I-A=\left ( \begin{matrix} \lambda-1 & &0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda-1 \end{matrix} \right )\end{displaymjx} לכן, [math]\displaystyle{ \det\left ( \lambda I-A \right )=\left ( \lambda-1 \right )^n }[/math] אם כן, [math]\displaystyle{ \lambda=1\Leftrightarrow\left(\lambda-1\right)^n=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(I_n\right)=\left\{1\right\} }[/math].
לסיכום, הערך העצמי של מטריצת היחידה הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ומהחישוב שבחלק הראשון גילינו שכל הווקטורים הם וקטורים עצמיים שלו. זה אכן מתאים לדברים המוכרים - כל וקטור הכופלים במטריצת היחידה נשאר עצמו, המתיחה היא תמיד פי 1.
נסמן \begin{displaymjx}A=D=\left ( \begin{matrix} \alpha_1 & &0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \alpha_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} נרצה לדעת מהו [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(D\right) }[/math]. על פי המשפט, נסתכל על [math]\displaystyle{ \lambda I-D }[/math]: \begin{displaymjx}\lambda I-D=\left ( \begin{matrix} \lambda-\alpha_1 & &0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda-\alpha_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} הדטרמיננטה: [math]\displaystyle{ \lambda=\alpha_1,\dots,\alpha_n\Leftrightarrow\det\left(\lambda I-A\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\lambda-\alpha_i \right )=0 }[/math].
קיבלנו ש-[math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left ( D \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \} }[/math].
אכן, גם את התוצאה הזו יכולנו לצפות מראש! מטריצה אלכסונית מותחת בדיוק את וקטורי היחידה, [math]\displaystyle{ e_1,\dots,e_n }[/math] פי [math]\displaystyle{ \alpha_1,\dots,\alpha_n }[/math] בהתאמה.
ניקח \begin{displaymjx}A=T=\left ( \begin{matrix} \alpha_1 & & \star\\ & \ddots & \\ 0 & & \alpha_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} מטריצה משולשת עליונה.
על פי הוכחה דומה לזו של מטריצה אלכסונית - מקבלים [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left ( T \right )=\left \{ \alpha_1,\dots,\alpha_n \right \} }[/math].
ניקח מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math] את המטריצה \begin{displaymjx}A=\left ( \begin{matrix} 0 &1 \\ -1 &0 \end{matrix} \right )\end{displaymjx} אזי \begin{displaymjx}\lambda I-A=\left ( \begin{matrix} \lambda & -1\\ 1 & \lambda \end{matrix} \right )\end{displaymjx} לפי חישוב, [math]\displaystyle{ \det\left ( \lambda I-A \right )=\lambda^2+1=0 }[/math], אבל למשוואה זו אין פתרונות ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].
אם כן, [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(A\right)=\emptyset }[/math].
ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של אופרטורים
אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] הוא העתקה לינארית מ-[math]\displaystyle{ V }[/math] לעצמו.
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי. אומרים ש-[math]\displaystyle{ \lambda \in\mathbb{F} }[/math] הוא ערך עצמי (ע"ע) של האופרטור [math]\displaystyle{ T }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ 0\ne v\in V }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ Tv=T(v)=\lambda v }[/math]. הוקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של [math]\displaystyle{ T }[/math] הקשור ל-[math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
המשמעות זהה למטריצות - אילו וקטורים האופרטור מותח או מכווץ.
יהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי, יהי [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ A }[/math] המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] יחסית ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] . אזי אם [math]\displaystyle{ \lambda \in\mathbb{F} }[/math] הוא ערך עצמי של [math]\displaystyle{ T }[/math], הוא גם ערך עצמי של [math]\displaystyle{ A }[/math] .
הוכחה.
נסמן \begin{displaymjx}\left [ v \right ]_B=\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} [math]\displaystyle{ A }[/math] היא המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] יחסית ל-[math]\displaystyle{ B }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ Tv=A\cdot \left [ v \right ]_B }[/math] . [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ T }[/math], אזי קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ Tv=\lambda v }[/math], זאת אומרת [math]\displaystyle{ A\cdot\left [ v \right ]_B=\lambda \left [ v \right ]_B }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math].
∎