לינארית 2/הרצאה 2
ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה
דמיון מטריצות
אומרים שמטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה למטריצה [math]\displaystyle{ B }[/math] אם קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] שעבורה מתקיים [math]\displaystyle{ B=P^{-1}AP }[/math]. מסמנים זאת [math]\displaystyle{ A\sim B }[/math].
דמיון הוא יחס שקילות, כלומר הוא:
רפלקסיבי - [math]\displaystyle{ A\sim A }[/math].
הוכחה.
ניקח [math]\displaystyle{ P=I }[/math] ונקבל את הדרוש.
∎
סימטרי - אם [math]\displaystyle{ A\sim B }[/math] אזי [math]\displaystyle{ B\sim A }[/math].
הוכחה.
אם [math]\displaystyle{ B=P^{-1} AP }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A=PBP^{-1} }[/math].
∎
טרנזיטיבי - אם [math]\displaystyle{ A\sim B }[/math] וגם [math]\displaystyle{ B\sim C }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A\sim C }[/math].
הוכחה.
אם [math]\displaystyle{ B=P^{-1}AP }[/math] וגם [math]\displaystyle{ C=Q^{-1}BQ }[/math] אזי [math]\displaystyle{ C=Q^{-1}P^{-1}APQ=\left(PQ\right)^{-1}A\left(PQ\right) }[/math].
∎
אם [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow V }[/math] אופרטור לינארי, [math]\displaystyle{ B_1,B_2 }[/math] שני בסיסים של [math]\displaystyle{ V }[/math], [math]\displaystyle{ A_1,A_2 }[/math] המטריצות המייצגות של [math]\displaystyle{ T }[/math] יחסית ל-[math]\displaystyle{ B_1,B_2 }[/math] בהתאמה ואם [math]\displaystyle{ P }[/math] מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ B_1 }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B_2 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ A_2=P^{-1}A_1P }[/math].
ההערה הזו בעצם נותנת לנו אינטואיציה מה המשמעות של דמיון מטריצות: שתי מטריצות הן דומות אם ורק אם הן מייצגות את אותה העתקה בבסיסים שונים. אם כן, במהלך הקורס כשנדבר על דמיון נתייחס למטריצות, ואם נרצה לדבר בשפת העתקות נדבר על מציאת בסיס מתאים.
אם [math]\displaystyle{ A\neq I }[/math], אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה דומה ל-[math]\displaystyle{ I }[/math].
הוכחה.
נניח בשלילה ש-[math]\displaystyle{ A\sim I }[/math]. זאת אומרת שקיימת [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ I=P^{-1}AP }[/math]. נכפול ב-[math]\displaystyle{ P }[/math] משמאל, ונקבל [math]\displaystyle{ P=AP }[/math]. נכפול ב-[math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math] מימין, ונקבל [math]\displaystyle{ I=A }[/math], בסתירה.
∎
המשמעות של ההערה הקודמת - המטריצה המייצגת היחידה של העתקת הזהות היא מטריצת היחידה. אכן, ניתן לוודא זאת בקלות גם באמצעות כלים של לינארית 1. כעת נכליל את הטענה:
אם [math]\displaystyle{ A }[/math] איננה מטריצה סקלרית (זאת אומרת, [math]\displaystyle{ A\neq\alpha I }[/math]), אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה דומה לאף מטריצה סקלרית.
ההוכחה דומה לזו של ההערה הקודמת. נעיר שגם פה, כל מטריצה סקלרית היא מטריצה מייצגת של העתקת מתיחה / כיווץ, כלומר העתקת הזהות כפול סקלר כלשהו. גם במקרה זה ניתן לחשב ישירות את המטריצה המייצגת, ולגלות שהיא תמיד אותה סקלרית.
אם [math]\displaystyle{ A_{1},A_{2} }[/math] מטריצות דומות אזי [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(A_{1}\right)=\operatorname{spec}\left(A_{2}\right) }[/math].
הוכחה.
יהי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A_{1} }[/math] בה"כ, לכן לפי משפט [math]\displaystyle{ \det\left(\lambda I-A_{1}\right)=0 }[/math]. [math]\displaystyle{ A_{1}\sim A_{2} }[/math], לכן קיימת מטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה שעבורה [math]\displaystyle{ A_{2}=P^{-1}A_{1}P }[/math]. נשים לב כי \begin{displaymjx}\det\left(\lambda I-A_{2}\right)=\det\left(\lambda P^{-1}P-P^{-1}A_{1}P\right)=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\det\left(P^{-1}\left(\lambda I-A_{1}\right)P\right) =\det\left(P^{-1}\right)\det\left(\lambda I-A_{1}\right)\det\left(P\right)=0\end{displaymjx} ולכן לפי משפט [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A_{2} }[/math].
מכאן נגיע למסקנה כי [math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(A_{1}\right)=\operatorname{spec}\left(A_{2}\right) }[/math].
∎
במילים אחרות, אם שתי מטריצות הן דומות, יש להן אותם ערכים עצמיים (אך לא אותם וקטורים עצמיים בהכרח!). אם כן, נוכל להגיע למסקנה הבאה:
[math]\displaystyle{ \operatorname{spec}\left(T\right)=\operatorname{spec}\left(A\right) }[/math] למטריצה מייצגת [math]\displaystyle{ A }[/math] כלשהי.
אם [math]\displaystyle{ A_1\sim A_2 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \det\left(A_1\right)=\det\left(A_2\right) }[/math].
כעת ננסה להתעסק בשאלה כללית: מתי מטריצה נתונה [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה למטריצה אלכסונית.
לכסון מטריצות
אומרים שמטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה (או ניתנת ללכסון) אם [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה למטריצה אלכסונית [math]\displaystyle{ D }[/math], כלומר אם קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] מטריצה אלכסונית. המטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math] נקראת המטריצה המלכסנת.
לכסון עוזר בהעלאה בחזקה של מטריצה. הסבר:
נניח ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה ו-[math]\displaystyle{ k\in\mathbb{N} }[/math]. נניח ש-[math]\displaystyle{ P }[/math] היא המטריצה המלכסנת של [math]\displaystyle{ A }[/math], ונניח שהמטריצה [math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math] היא מטריצה אלכסונית. אזי: \begin{displaymjx}A^k=\left ( PDP^{-1} \right )^k=\underbrace{\left ( PDP^{-1} \right )\left ( PDP^{-1} \right )\cdots\left ( PDP^{-1} \right )}_{k\;\text{times}}=PD^kP^{-1}\end{displaymjx} לכאורה, לא נפטרנו מהבעיה; עדיין צריך להעלות מטריצה בחזקה גבוהה. אבל [math]\displaystyle{ D }[/math] אלכסונית, נניח \begin{displaymjx}D=\left ( \begin{matrix} \alpha_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \alpha_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} אזי \begin{displaymjx}D^k=\left ( \begin{matrix} \alpha_1^k & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \alpha_n^k \end{matrix} \right )\end{displaymjx} וזה קל לחישוב!
מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה אם ורק אם יש ב-[math]\displaystyle{ F^{n} }[/math] בסיס המורכב מוקטורים עצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math].
אם \begin{displaymjx}P^{-1}AP=D=\left(\begin{matrix} \lambda _{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda _{n} \\ \end{matrix} \right)\end{displaymjx} אזי איברי הבסיס הנ"ל הם עמודות המטריצה [math]\displaystyle{ P }[/math].
הוכחה.
- [math]\displaystyle{ \boxed{\Leftarrow} }[/math]
נניח שהמטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה, \begin{displaymjx}P^{-1}AP=D=\left(\begin{matrix} \lambda _{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda _{n} \\ \end{matrix} \right)\end{displaymjx} נסמן [math]\displaystyle{ e_{1},\ldots ,e_{n} }[/math] וקטורי היחידה. ניקח [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math], ונשים לב כי \begin{displaymjx}P^{-1}APe_{i}=\left(\begin{matrix} \lambda _{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda _{n} \\ \end{matrix} \right)\left ( \begin{matrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} 0\\ \vdots\\ \lambda_i\\ \vdots\\ 0 \end{matrix} \right )=\lambda _{i}e_{i}\end{displaymjx} לכן [math]\displaystyle{ e_{i} }[/math] ו"ע של [math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] הקשור לע"ע [math]\displaystyle{ \lambda _{i} }[/math] ([math]\displaystyle{ A\sim P^{-1}AP }[/math], לכן [math]\displaystyle{ \lambda _{i} }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] ).
קיבלנו כי \begin{displaymjx}P^{-1}APe_{i}=\lambda _{i}e_{i}\end{displaymjx} נכפול ב-[math]\displaystyle{ P }[/math] משמאל, ואז \begin{displaymjx}A(Pe_{i})=\lambda _{i}(Pe_{i})\end{displaymjx} נסמן [math]\displaystyle{ v_{i}=Pe_{i} }[/math], לכן \begin{displaymjx}Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}\end{displaymjx} \begin{displaymjx}v_{i}=\left(\begin{matrix} | & & | \\ p_{1} & \cdots & p_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)\end{displaymjx}
- [math]\displaystyle{ \boxed{\Rightarrow} }[/math]
נניח שקיים בסיס [math]\displaystyle{ \left\{v_{1},\dots ,v_{n}\right\} }[/math] המורכב מו"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. נוכיח ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה. נגדיר \begin{displaymjx}P=\left(\begin{matrix} | & & | \\ v_{1} & \cdots & v_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)\end{displaymjx} [math]\displaystyle{ Pe_{i}=v_{i} }[/math], לכן [math]\displaystyle{ e_{i}=P^{-1}v_{i} }[/math]. נשים לב כי: \begin{displaymjx}AP=A\left(\begin{matrix} | & & | \\ v_{1} & \cdots & v_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} | & & | \\ Av_{1} & \cdots & Av_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} | & & | \\ \lambda _{1}v_{1} & \cdots & \lambda _{n}v_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)\end{displaymjx} וכעת, נראה כי \begin{displaymjx}P^{-1}AP=P^{-1}\left(\begin{matrix} | & & | \\ \lambda _{1}v_{1} & \cdots & \lambda _{n}v_{n} \\ | & & | \\ \end{matrix} \right)=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\left(\begin{matrix} | & & | \\ \lambda _{1}P^{-1}v_{1} & \cdots & \lambda _{n}P^{-1}v_{n}\\ | & & | \\ \end{matrix} \right)=\left ( \begin{matrix} \lambda_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} ולכן מצאנו מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] אלכסונית, כדרוש.
∎
איברי האלכסון הראשי של מטריצה אלכסונית הם הערכים העצמיים שלה.
דוגמה - בלוק ז’ורדן
מטריצה מהצורה \begin{displaymjx}J_n\left(\lambda\right)=\left ( \begin{matrix} \lambda & 1 & & 0\\ & \lambda& \ddots& \\ & & \ddots& 1\\ 0 & & & \lambda \end{matrix} \right )\end{displaymjx} (מגודל [math]\displaystyle{ n\times n }[/math]) נקראת בלוק (או תא) ז’ורדן מגודל [math]\displaystyle{ n }[/math].
אם [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ J_\lambda }[/math] איננה לכסינה.
הוכחה.
נחפש ו"ע של [math]\displaystyle{ J_{n}(\lambda ) }[/math]. יהי \begin{displaymjx}v=\left(\begin{matrix} \alpha _{1} & \\ \vdots & \\ \alpha _{n} & \\ \end{matrix} \right)\end{displaymjx} ו"ע של [math]\displaystyle{ J_{n}\left(\lambda \right) }[/math]. [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הע"ע היחיד של [math]\displaystyle{ J_{n}\left(\lambda \right) }[/math] (כי הוכחנו כאשר דיברנו על ע"ע שעבור מטריצה משולשת, הע"ע הם האיברים שעל האלכסון הראשי שלה). נשים לב: \begin{displaymjx}J_n\left ( \lambda \right )v=\left ( \begin{matrix} \lambda & 1 & &0 \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ 0& & & \lambda \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} \lambda\alpha_1+\alpha_2\\ \vdots\\ \lambda\alpha_{n-1}+\alpha_n\\ \lambda\alpha_n \end{matrix} \right )=\lambda v=\left ( \begin{matrix} \lambda\alpha_1\\ \vdots\\ \lambda\alpha_{n-1}\\ \lambda\alpha_n \end{matrix} \right )\end{displaymjx} קיבלנו מערכת משוואות: \begin{displaymjx}\left \{ \begin{matrix} \lambda\alpha_1+\alpha_2=\lambda\alpha_1\\ \vdots\\ \lambda\alpha_{n-1}+\alpha_n=\lambda\alpha_{n-1}\\ \lambda\alpha_n=\lambda\alpha_n \end{matrix} \right.\Rightarrow\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0\end{displaymjx} לכן כל ו"ע של [math]\displaystyle{ J_{n}\left(\lambda \right) }[/math] הוא מהצורה \begin{displaymjx}v=\left ( \begin{matrix} \alpha_1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{matrix} \right )\end{displaymjx} אבל \begin{displaymjx}V_{\lambda }(J_{n}(\lambda ))=\left\{ v\in\mathbb{F}^{n}\mid J_{n}(\lambda )v=\lambda v\right\}\end{displaymjx} מרחב וקטורי ממימד 1, לכן למרחב הוקטורי [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{n} }[/math] אין בסיס המורכב מו"ע של [math]\displaystyle{ J_{n}(\lambda ) }[/math] , ולכן [math]\displaystyle{ J_{n}(\lambda ) }[/math] אינו לכסין.
∎
בעצם, מה הפריע לנו? לא היו מספיק וקטורים עצמיים לערך העצמי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. בלוק ז’ורדן הוא דוגמה חשובה, והיא תחזור בהמשך הקורס ותקבל תפקיד משמעותי ביותר.