לינארית 2/הרצאה 15
ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה
מרחק - מרחבים מטריים Metric Spaces
הגדרנו מהו האורך של כל ווקטור, וכעת נגדיר מהו מרחק בין כל שני ווקטורים.
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. מרחק הוא פונקציה [math]\displaystyle{ \rho:V\times V\rightarrow\mathbb{R} }[/math], המקיימת את האקסיומות הבאות:
- אי-שליליות -
- לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math], [math]\displaystyle{ \rho\left(x,y\right)\ge0 }[/math].
- [math]\displaystyle{ x=y\Leftrightarrow\rho\left(x\right)=\rho\left(y\right) }[/math].
- סימטריות - לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math], [math]\displaystyle{ \rho\left(x,y\right)=\rho\left(y,x\right) }[/math].
- אי-שוויון המשולש - לכל [math]\displaystyle{ x,y,z\in V }[/math], [math]\displaystyle{ \rho\left(x,z \right )\leq\rho\left(x,y \right )+\rho\left(y,z \right ) }[/math].
המרחק המושרה על ידי הנורמה הוא [math]\displaystyle{ \rho\left(x,y\right)=\left\|x-y\right\| }[/math].
הוכחה.
נוכיח שזה אכן מרחק.
אי-שליליות - נובע ישירות מהאקסיומה הראשונה של נורמה.
\begin{displaymjx}\rho\left(x,y \right )=0\Leftrightarrow\left \| x-y \right \|=0\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y\end{displaymjx}
סימטריות - לכל [math]\displaystyle{ x,y\in V }[/math], \begin{displaymjx}\rho\left(x,y \right )=\left\|x-y\right\|=\left \| \left ( -1 \right )\left(y-x \right ) \right \|=\left|-1\right|\left \| y-x \right \|=\rho\left(y,x \right )\end{displaymjx}
אי-שוויון המשולש - לכל [math]\displaystyle{ x,y,z\in V }[/math], \begin{displaymjx}\rho\left(x,z \right )=\left \| x-z \right \|=\left \| \left(x-y \right )+\left(y-z \right ) \right \|\leq\left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|=\rho\left(x,y\right)+\rho\left(y,z \right )\end{displaymjx}
∎
ניקח את [math]\displaystyle{ V }[/math] להיות המרחב הווקטורי של כל הפונקציות הרציפות [math]\displaystyle{ f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R} }[/math].
נגדיר מכפלה פנימית על [math]\displaystyle{ V }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ \left \langle f,g \right \rangle=\int _0^1f\left(x \right )g\left(x \right )\mathrm{d}x }[/math].
הנורמה המושרית: [math]\displaystyle{ \left \| f \right \|=\sqrt{\int_0^1\left[f\left(x \right ) \right ]^2\mathrm{d}x} }[/math].
המרחק המושרה: [math]\displaystyle{ \rho\left(x,y \right )=\sqrt{\int_0^1\left[f\left(x \right )-g\left(x \right ) \right ]^2\mathrm{d}x} }[/math].
נגדיר נורמה על [math]\displaystyle{ V }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ \left \| f \right \|=\underset{0\leq x\leq1}{\max}\left|f\left(x \right ) \right | }[/math].
נורמליות, אורתוגונליות ואורתונורמליות
נורמליות
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ \left \| \quad \right \|:V\rightarrow\mathbb{R} }[/math] נורמה על [math]\displaystyle{ V }[/math]. אומרים שווקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] הוא נורמלי, אם [math]\displaystyle{ \left \| v \right \|=1 }[/math] (וקטור יחידה).
אם [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math], אזי נגדיר נרמול של הווקטור [math]\displaystyle{ v }[/math]: [math]\displaystyle{ v^0=\frac{1}{\left \| v \right \|}v }[/math].
הווקטור [math]\displaystyle{ v^0 }[/math] נורמלי.
הוכחה.
[math]\displaystyle{ \left \|v^0 \right \|=\left\| \frac{1}{\left \| v \right \|}v \right \|\overset{\left(2 \right )}{=}\left | \frac{1}{\left \| v \right \|} \right |\left \| v \right \|\overset{\left(1 \right )}{=}\frac{1}{\left \| v \right \|}\left \| v \right \|=1 }[/math].
∎
אורתוגונליות
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. אומרים שווקטור [math]\displaystyle{ u\in V }[/math] מאונך לווקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], אם [math]\displaystyle{ \left \langle u,v \right \rangle=0 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ u\perp v }[/math].
התכונות של וקטורים מאונכים:
סימטריות - אם [math]\displaystyle{ u\perp v }[/math], אזי [math]\displaystyle{ v\perp u }[/math].
הוכחה.
[math]\displaystyle{ \left \langle v,u \right \rangle=\overline{\left \langle u,v \right \rangle}=\overline{0}=0 }[/math].
∎
וקטור האפס - לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 0\perp v }[/math].
הוכחה.
[math]\displaystyle{ \left \langle 0,v \right \rangle=\left \langle 0+0,v \right \rangle\overset{\left(1 \right )}{=}\left \langle 0,v \right \rangle+\left \langle 0,v \right \rangle\Rightarrow0=\left \langle 0,v \right \rangle }[/math].
∎
הכפלה בסקלר - אם [math]\displaystyle{ v\perp w }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \alpha v\perp\beta w }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \alpha,\beta\in\mathbb{F} }[/math].
הוכחה.
[math]\displaystyle{ \left \langle \alpha v,\beta w \right \rangle=\alpha\overline{\beta}\left \langle v,w \right \rangle=\alpha\overline{\beta}0=0 }[/math].
∎
תהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] קבוצה. אומרים ש-[math]\displaystyle{ S }[/math] קבוצה אורתוגונלית (orthogonal) אם כל שני איברים שונים של [math]\displaystyle{ S }[/math] מאונכים זה לזה.
אם [math]\displaystyle{ S }[/math] קבוצה אורתוגונלית, וכן [math]\displaystyle{ 0\notin S }[/math], אזי [math]\displaystyle{ S }[/math] קבוצה בלתי תלויה לינארית.
הוכחה.
נניח שקיימים [math]\displaystyle{ v_1,\dots,v_n\in S }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{F} }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n=0 }[/math]. "נכפול" ב-[math]\displaystyle{ v_1 }[/math] את שני הצדדים: \begin{displaymjx}\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,v_1 \right \rangle=\left \langle 0,v_1 \right \rangle\Rightarrow\alpha_1\left \langle v_1,v_1 \right \rangle+\cdots+\alpha_n\left \langle v_n,v_1 \right \rangle=0\Rightarrow\\\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\Rightarrow\alpha_1\left \langle v_1,v_1 \right \rangle=0\overset{v_1\neq 0}{\Rightarrow}\alpha_1=0\end{displaymjx}
באופן דומה נמשיך ונקבל [math]\displaystyle{ \alpha_2=\cdots=\alpha_n=0 }[/math].
∎
אורתונורמליות
כעת נשלב בין שני המושגים שלמדנו: נורמליות ואורתוגונליות.
אומרים שקבוצה [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] היא אורתונורמלית אם היא אורתוגונלית, ואם כל הווקטורים של [math]\displaystyle{ S }[/math] נורמליים.
כל קבוצה אורתונורמלית היא בלתי תלויה לינארית.
הוכחה.
[math]\displaystyle{ S }[/math] אורתוגונלית, וכן [math]\displaystyle{ 0\notin S }[/math], כי [math]\displaystyle{ \left \| 0 \right \|=0 }[/math].
∎
בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math], כך שהוא קבוצה אורתוגונלית (אורתונורמלית) נקרא בסיס אורתוגונלי (אורתונורמלי) של [math]\displaystyle{ V }[/math].
הרעיון - במרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] יחד עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית, וקטורי היחידה של הצירים הם בסיס אורתונורמלי. כלומר, בסיס אורתונורמלי יוצר מערכת צירים, שבה הצירים מאונכים זה לזה. בהמשך נוכיח שלכל מרחב מכפלה פנימית קיים בסיס אורתונורמלי.
חישוב מכפלה פנימית ביחס לבסיס אורתונורמלי
אם [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס אורתונורמלי, אזי [math]\displaystyle{ G_B=I }[/math].
הוכחה.
[math]\displaystyle{ \left \langle v_i,v_j \right \rangle=\left \{ \begin{matrix} 1,\quad i=j\\ 0,\quad i\neq j \end{matrix} \right. }[/math]
∎
ראינו שמטריצת גראם ביחס לבסיס אורתונורמלי היא מטריצת היחידה, ואם כן - נראה שקל יחסית לחשב באמצעותו מכפלה פנימית. יהיו [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math]. אזי: \begin{displaymjx}\left \langle u,v \right \rangle=\left[u \right ]_B^tG_B\overline{\left[v \right ]_B}=\left[u \right ]_B^t\overline{\left[v \right ]_B}\end{displaymjx} כלומר, אם [math]\displaystyle{ u=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n }[/math], ואם [math]\displaystyle{ v=\beta_1v_1+\cdots+\beta_nv_n }[/math], אזי \begin{displaymjx}\left \langle u,v \right \rangle=\alpha_1\overline{\beta_1}+\cdots+\alpha_n\overline{\beta_n}\end{displaymjx} בדיוק כמו למכפלה הסטנדרטית ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יחסית לבסיס הסטנדרטי.
חישוב צירוף לינארי לפי בסיס אורתונורמלי
בסיס אורתונורמלי נותן גם דרך פשוטה לחישוב המקדמים בצירוף הלינארי של וקטור הנפרש על ידי הבסיס.
יהי [math]\displaystyle{ B=\left\{v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ V }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ u\in V }[/math], כאשר מתקיים [math]\displaystyle{ u=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \alpha_i=\left \langle u,v_i \right \rangle }[/math].
הוכחה.
\begin{displaymjx}\left \langle u,v_i \right \rangle=\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,v_i \right \rangle =\alpha_1\underbrace{\left \langle v_1,v_i \right \rangle}_{=0} +\cdots+ \alpha_i\underbrace{\left \langle v_i,v_i \right \rangle}_{=1} +\cdots+ \alpha_n\underbrace{\left \langle v_n,v_i \right \rangle}_{=0}=\alpha_i\end{displaymjx}
∎
הכללת משפט פיתגורס
כעת נוכיח הכללה של משפט פיתגורס.
משפט פיתגורס
יהי [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ V }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ u\in V }[/math], [math]\displaystyle{ u=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \left \| u \right \|^2=\left | \alpha_1 \right |^2+\cdots+\left|\alpha_n\right|^2 }[/math]
הוכחה.
\begin{displaymjx}\left \| u \right \|^2=\left \langle u,u \right \rangle=\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n \right \rangle=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\alpha_i\overline{\alpha_j}\left \langle v_i,v_j \right \rangle=\\\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\sum_{i=1}^n\alpha_i\overline{\alpha_i}\underbrace{\left \langle v_i,v_i \right \rangle}_{=1}=\sum_{i=1}^n\left | \alpha_i \right |^2\end{displaymjx}
∎
מטריצות אוניטריות
נעזוב לרגע את הנושא שהתחלנו, ונגדיר סוג מיוחד של מטריצות. בהמשך נראה את הקשר ביניהן לבין המושגים הנ"ל.
לכל מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ A^*=\overline{A^t}=\overline{A}^t }[/math].
אומרים ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית אם [math]\displaystyle{ AA^*=A^*A=I }[/math].
מההגדרה נובע שכל מטריצה אוניטרית היא הפיכה.
תנאי שקול לאוניטריות: [math]\displaystyle{ A^{-1}=A^* }[/math].
אם [math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית, אזי [math]\displaystyle{ A^t }[/math] אוניטרית.
הוכחה.
[math]\displaystyle{ \left(A^t \right )^*=\overline{\left(A^t \right )^t}=\overline{A} }[/math], וכיוון ש-[math]\displaystyle{ A^*=A^{-1} }[/math], נקבל כי [math]\displaystyle{ \overline{A}=\left(A^t \right )^*=\left(A^* \right )^t=\left(A^{-1} \right )^t }[/math].
∎
תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה אוניטרית. אזי [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] גם אוניטרית.
הוכחה.
\begin{displaymjx}\left(A^{-1} \right )^{-1}=A=\left(A^* \right )^{-1}=\left(A^{-1} \right )^*\end{displaymjx}
∎
אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] מטריצות אוניטריות, אזי גם [math]\displaystyle{ AB }[/math] אוניטרית.
הוכחה.
\begin{displaymjx}\left(AB \right )^{-1}=B^{-1}A^{-1}=B^*A^*=\left(AB \right )^*\end{displaymjx}
∎