לינארית 2/הרצאה 16
ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה
מטריצות אוניטריות - המשך
הגיע הזמן לקשר בין מטריצות אוניטריות לבין המושגים של נורמליות, אורתוגונליות ואורתונורמליות. שני המשפטים הבאים יראו את הקשר (החזק) ביניהם:
[math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית אם ורק אם השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math] מהוות בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יחסית למכפלה הסטנדרטית אם ורק אם העמודות של [math]\displaystyle{ A }[/math] גם מהוות בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יחסית למכפלה הפנימית הסטנדרטית.
הוכחה.
[math]\displaystyle{ A^*=\overline{A}^t }[/math], ולכן השורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ A^* }[/math] שווה לעמודה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ A }[/math] צמודה. כלומר, אם [math]\displaystyle{ \alpha_1,\dots,\alpha_n }[/math] השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math], אם [math]\displaystyle{ \beta_1,\dots,\beta_n }[/math] העמודות של [math]\displaystyle{ A }[/math], אם [math]\displaystyle{ \alpha_1^*,\dots,\alpha_n^* }[/math] השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math], וכן אם [math]\displaystyle{ \beta_1^*,\dots,\beta_n^* }[/math] העמודות של [math]\displaystyle{ A^* }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \alpha_i^*=\overline{\beta_i} }[/math], וכן [math]\displaystyle{ \beta_i^*=\overline{\alpha_i} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math].
כעת, [math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ AA^*=I }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \left \langle \alpha_i,\alpha_j \right \rangle=\sum_{k=1}^n\alpha_{ik}\overline{\alpha}_{jk}=\sum_{k=1}^n\alpha_{ik}\beta_{kj}^*=I_{ij}=\delta_{ij}=\left \{ \begin{matrix} 1,\quad i=j\\ 0,\quad i\neq j \end{matrix} \right. }[/math] (זו המכפלה הפנימית הסטנדרטית)
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \left\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\right\} }[/math] בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יחסית למכפלה הפנימית הסטנדרטית.
הוכחנו עבור השורות. כעת, [math]\displaystyle{ A }[/math] אוניטרית [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ A^t }[/math] אוניטרית [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] אותם השוויונים ל-[math]\displaystyle{ A^t }[/math] במקום ל-[math]\displaystyle{ A }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \left\{\beta_1,\dots,\beta_n\right\} }[/math] בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] יחסית למכפלה הפנימית הסטנדרטית.
∎
נציג עוד קשר בין מטריצות אוניטריות לבין בסיסים אורתונורמליים.
מטריצת המעבר מבסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי אחר היא מטריצה אוניטרית.
הוכחה.
כזכור, אם [math]\displaystyle{ B,B' }[/math] שני בסיסים, אם [math]\displaystyle{ G,G' }[/math] מטריצות הגראם של המכפלה הפנימית יחסית ל-[math]\displaystyle{ B,B' }[/math] בהתאמה, ואם [math]\displaystyle{ C }[/math] היא מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ B }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B' }[/math], אזי [math]\displaystyle{ G'=C^tG\overline{C} }[/math].
נניח ש-[math]\displaystyle{ B,B' }[/math] בסיסים אורתונורמלים, אזי [math]\displaystyle{ G=G'=I }[/math]. לכן מתקיים [math]\displaystyle{ I=C^tI\overline{C} }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ C^t\overline{C}=I }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \overline{C}^tC=I }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ C^*C=I }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] [math]\displaystyle{ C }[/math] אוניטרית.
∎
אם [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math], אזי למטריצות אוניטריות קוראים .
[math]\displaystyle{ A }[/math] אורתוגונלית [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\alpha_{ik}\alpha_{jk}=\delta_{ij} }[/math].
המרחב הניצב
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית, [math]\displaystyle{ \emptyset\neq S\subseteq V }[/math] קבוצה כלשהי. נגדיר [math]\displaystyle{ S^\perp=\left \{ v\in V\mid\forall u\in S: \left \langle v,u \right \rangle=0 \right \} }[/math]. [math]\displaystyle{ S^\perp }[/math] נקרא המרחב הניצב ל-[math]\displaystyle{ S }[/math].
זוהי בעצם קבוצת כל הווקטורים המאונכים לכל [math]\displaystyle{ S }[/math].
[math]\displaystyle{ S^\perp }[/math] תת-מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math].
הוכחה.
אם [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in S^\perp }[/math] ואם [math]\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{F} }[/math], ואם [math]\displaystyle{ u\in S }[/math], אזי:
[math]\displaystyle{ \left \langle \alpha_1v_1+\alpha_2v_2,u \right \rangle=\alpha_1\left \langle v_1,u \right \rangle+\alpha_2\left \langle v_2,u \right \rangle=\alpha_1\cdot 0+\alpha_2\cdot 0=0 }[/math]
∎
[math]\displaystyle{ S^\perp=\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )^\perp }[/math].
הוכחה.
אם [math]\displaystyle{ v\in\left(\operatorname{Span}\left (S \right ) \right )^\perp }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \left \langle v,u \right \rangle=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ u\in\operatorname{Span}\left (S \right ) }[/math], כולל [math]\displaystyle{ u\in S }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ v\in S^\perp }[/math]. אם [math]\displaystyle{ v\in S^\perp }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \left \langle v,u \right \rangle=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ u\in S }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ u\in\operatorname{Span}\left(S\right) }[/math], ז"א שמתקיים [math]\displaystyle{ u=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ u_i\in S }[/math]. לכן, \begin{displaymjx}\left \langle v,u \right \rangle=\left \langle v,\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_mu_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,u_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_m\left \langle v,u_m \right \rangle=\overline{\alpha}_1\cdot0+\cdots+\overline{\alpha}_m\cdot0=0\end{displaymjx}
∎
הטלה של וקטור על תת-מרחב
כעת נרצה לקחת וקטור, ולהטיל אותו על תת-מרחב מסוים. אנחנו נתחיל עם הגדרה (שאולי תיראה מעט מסובכת), ואז נצדיק אותה.
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית, ויהי [math]\displaystyle{ W\subseteq V }[/math] תת-מרחב. יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]. נניח ש-[math]\displaystyle{ B=\left \{ w_1,\dots,w_k \right \} }[/math] בסיס אורתוגונלי של [math]\displaystyle{ W }[/math], ונגדיר את ההיטל של [math]\displaystyle{ v }[/math] על [math]\displaystyle{ W }[/math]: \begin{displaymjx}\pi_B\left(v \right )=\frac{\left \langle v,w_1 \right \rangle}{\left \| w_1 \right \|^2}w_1+\cdots+\frac{\left \langle v,w_k \right \rangle}{\left \| w_k \right \|^2}w_k\end{displaymjx}
הוכחה.
הרעיון בהיטל הוא "לפרק" את הווקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] לשני חלקים: האחד במרחב [math]\displaystyle{ W }[/math], שהוא ההיטל, והשני ב-[math]\displaystyle{ W^\perp }[/math]. הבחירה בבסיס אורתוגונלי איננה מקרית; זה כמו "פירוק לצירים", כי כל וקטור בבסיס מסמן כיוון ב-[math]\displaystyle{ W }[/math], כמו הצירים ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math].
נסמן את הפירוק הזה [math]\displaystyle{ v=w+w' }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ w\in W }[/math] ו-[math]\displaystyle{ w'\in W^\perp }[/math]. יש לנו בסיס של [math]\displaystyle{ W }[/math], ולכן נוכל לכתוב [math]\displaystyle{ w=\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k }[/math]. בסך הכל,
[math]\displaystyle{ v=w+w'=\underbrace{\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k}_{\pi_B\left(v \right )}+w' }[/math]
לאחר שהגדרנו בסיס אורתונורמלי, הצגנו דרך למצוא את המקדמים בצירוף הלינארי. נפעל באופן דומה כאן: נכפול (במובן מכפלה פנימית, כמובן) את [math]\displaystyle{ v }[/math] ב-[math]\displaystyle{ w_i }[/math], כשניעזר בעובדה ש-[math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס אורתוגונלי וש-[math]\displaystyle{ w'\in W^\perp }[/math]. אם כן, נקבל: \begin{displaymjx}\left \langle v,w_i \right \rangle=\left \langle\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k+w',v_i \right \rangle= \alpha_1\underbrace{\left \langle w_1,w_i \right \rangle}_{=0} +\cdots+ \alpha_i\underbrace{\left \langle w_i,w_i \right \rangle}_{=\left \| w_i \right \|^2}+\end{displaymjx} \begin{displaymjx}+\cdots+ \alpha_k\underbrace{\left \langle w_k,w_i \right \rangle}_{=0} +\underbrace{\left \langle w',w_i \right \rangle}_{=0}=\alpha_i\left \| w_i \right \|^2\end{displaymjx}
אנחנו יודעים ש-[math]\displaystyle{ w_i\neq 0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math] (כי [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס), לכן [math]\displaystyle{ \left \| w_i \right \|\neq0 }[/math], ולכן נוכל לחלק ולקבל את המקדם בצירוף הלינארי: [math]\displaystyle{ \alpha_i=\frac{\left \langle v,w_i \right \rangle}{\left \| w_i \right \|^2} }[/math].
בסך הכל, כיוון שאמרנו ש-[math]\displaystyle{ w }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \pi_B\left(v\right) }[/math], נקבל את ההגדרה הנ"ל.
∎
[math]\displaystyle{ \pi_B\left(v\right)\in W }[/math]
הגדרנו הטלה, וכעת נוכיח שאם כופלים את האיברים בבסיס בסקלרים (שונים מאפס), ההטלה על תת-המרחב איננה משתנה. בעתיד, נוכיח שגם אם נשנה את הבסיס לגמרי, ההטלה לא תושפע.
אם נחליף כל וקטור [math]\displaystyle{ w_i }[/math] בבסיס על ידי וקטור פרופורציונאלי [math]\displaystyle{ \alpha_iw_i }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ \alpha_i\neq 0 }[/math], כדי שיישאר בסיס), אזי [math]\displaystyle{ \pi_B\left(v\right) }[/math] לא ישתנה.
הוכחה.
נתבונן במחובר ה-[math]\displaystyle{ i }[/math]-י, ונראה שהוא איננו משתנה: \begin{displaymjx}\frac{\left \langle v,\alpha_iw_i \right \rangle}{\left \| \alpha_iw_i \right \|^2}\alpha_iw_i=\frac{\overline{\alpha_i}\left \langle v,w_i \right \rangle}{\left | \alpha_i \right |^2\left \| w_i \right \|^2}\alpha_iw_i=\frac{\left \langle v,w_i \right \rangle}{\left \| w_i \right \|^2}w_i\end{displaymjx}
∎
אם [math]\displaystyle{ \left \{ w_1,\dots,w_n \right \} }[/math] בסיס אורתונורמלי של [math]\displaystyle{ W }[/math], אזי \begin{displaymjx}\pi_B\left(v \right )=\left \langle v,w_1 \right \rangle w_1+\cdots+\left \langle v,w_k \right \rangle w_k\end{displaymjx}
[math]\displaystyle{ \pi_B\left(v\right)=v }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ v\in W }[/math].
הוכחה.
אם [math]\displaystyle{ v\in W }[/math], אזי נציג את [math]\displaystyle{ v }[/math] כצירוף לינארי של איברי [math]\displaystyle{ B }[/math]: [math]\displaystyle{ v=\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k }[/math]. מתקיים
[math]\displaystyle{ \left \langle v,w_i \right \rangle=\alpha_i\left \langle w_i,w_i \right \rangle=\alpha_i\left \| w_i \right \|^2 }[/math]
ולכן
[math]\displaystyle{ \pi_B\left(v \right )=\frac{\alpha_1\left \| w_1 \right \|^2}{\left \| w_1 \right \|^2}w_1+\cdots+\frac{\alpha_1\left \| w_k \right \|^2}{\left \| w_k \right \|^2}w_k=\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k=v }[/math]
בכיוון ההפוך, אם [math]\displaystyle{ \pi_B\left(v\right)=v }[/math], אזי [math]\displaystyle{ v\in W }[/math], כי ההיטל ב-[math]\displaystyle{ W }[/math].
∎
בתחילת הנושא של ההיטל, כאשר הצדקנו את ההגדרה, אמרנו שהרעיון הוא לפרק את [math]\displaystyle{ v }[/math] לשני וקטורים: [math]\displaystyle{ v=\pi_B\left(v\right)+w' }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ w'\in W^\perp }[/math]. הגענו להגדרה של היטל, וכעת - הגיע הזמן לבדוק את ההנחה הזו, כלומר האם ההגדרה באמת מקיימת את מה שרצינו.
[math]\displaystyle{ v-\pi_B\left(v\right)\in W^\perp }[/math].
הוכחה.
יהי [math]\displaystyle{ u\in W }[/math]. נבדוק האם מתקיים התנאי [math]\displaystyle{ \left \langle v-\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle=0 }[/math].
נציג את [math]\displaystyle{ u }[/math] כצירוף לינארי של איברי [math]\displaystyle{ B }[/math]: \begin{displaymjx}u=\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_kw_k\end{displaymjx} אם כן, \begin{displaymjx}\left \langle v,u \right \rangle=\overline{\alpha}_1\left \langle v,w_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_k\left \langle v,w_k \right \rangle\end{displaymjx}
מצד שני, מתקיים: \begin{displaymjx}\left \langle\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle= \frac{\left \langle v,w_1 \right \rangle}{\left \| w_1 \right \|^2}\overline{\alpha}_1\left \| w_1 \right \|^2+\cdots+\frac{\left \langle v,w_k \right \rangle}{\left \| w_k \right \|^2}\overline{\alpha}_k\left \| w_k \right \|^2=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\overline{\alpha}_1\left \langle v,w_1 \right \rangle+\cdots+\overline{\alpha}_k\left \langle v,w_k \right \rangle\end{displaymjx}
לכן נקבל [math]\displaystyle{ \left \langle v-\pi_B\left(v \right ),u \right \rangle=0 }[/math].
∎
[math]\displaystyle{ v-\pi_B\left(v\right)\in B^\perp }[/math].
הוכחה.
באמצעות ההערה הקודמת בצירוף [math]\displaystyle{ \operatorname{Span}\left(B\right)=W }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \left(\operatorname{Span}\left(S \right ) \right )^\perp=S^\perp }[/math].
∎