ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה
פירוק ניצב
משפט
משפט הפירוק הניצב
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב מכפלה פנימית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math]. אזי לכל תת-מרחב [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] מתקיים: \begin{displaymjx}V=U\oplus U^\perp\end{displaymjx}
הוכחה.
נבחר ב-[math]\displaystyle{ U }[/math] בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_k \right \} }[/math], ונשלים אותו עד בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math]. נתבונן ב-[math]\displaystyle{ \left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \} }[/math], ונוכיח שזה בסיס של [math]\displaystyle{ U^\perp }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ w\in\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \} }[/math]. [math]\displaystyle{ v_{k+1},\dots,v_n\in U^\perp }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ w\in U^\perp }[/math].
בכיוון ההפוך, יהי [math]\displaystyle{ w\in U^\perp }[/math]. נרשום [math]\displaystyle{ w=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k+\alpha_{k+1}v_{k+1}+\cdots+\alpha_nv_n }[/math], ונכפול (במובן מכפלה פנימית) עם [math]\displaystyle{ v_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math].
אם כן, לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,k }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ 0=\left \langle w,v_i \right \rangle=\alpha_i }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ w\in\operatorname{Span}\left \{ v_{k+1},\dots,v_n \right \} }[/math].
מכאן נובע ש-[math]\displaystyle{ V=U+U^\perp }[/math]. נותר להוכיח [math]\displaystyle{ U\cap U^\perp=\left\{0\right\} }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ w\in U }[/math], [math]\displaystyle{ w\in U^\perp }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \left \langle w,w \right \rangle=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ w=0 }[/math].
בסך הכל, [math]\displaystyle{ V=U\oplus U^\perp }[/math].
∎
הערה
אם [math]\displaystyle{ \dim U=k }[/math], [math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \dim U^\perp=n-k }[/math].
הערה
\begin{displaymjx}\left ( U^\perp \right )^\perp=U\end{displaymjx}
הוכחה.
נוכיח בשתי דרכים:
[math]\displaystyle{ \left ( U^\perp \right )^\perp\oplus U^\perp=V }[/math], וכן [math]\displaystyle{ U\oplus U^\perp=V }[/math], ומכאן [math]\displaystyle{ \left ( U^\perp \right )^\perp=U }[/math], מיחידות המשלים האורתוגונלי.
על פי ההגדרה, [math]\displaystyle{ U\subseteq\left(U^\perp\right)^\perp }[/math]: ניקח [math]\displaystyle{ v\in U }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ w\in U^\perp }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left\langle w,v\right\rangle=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ v\in\left(U^\perp\right)^\perp }[/math].
כמו כן [math]\displaystyle{ \dim\left ( U^\perp \right )^\perp=n-\left(n-k \right )=k }[/math], ולכן הם שווים.
∎
כאשר הגדרנו הטלת וקטור על תת-מרחב, ההגדרה הייתה תלויה בבסיס. כעת, לאחר שהוכחנו את משפט הפירוק הניצב, נוכל להוכיח שאין תלות בבסיס.
הערה
תהי [math]\displaystyle{ \pi_B:V\rightarrow U }[/math] העתקה ההטלה על תת-המרחב [math]\displaystyle{ U }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס אורתוגונלי של [math]\displaystyle{ U }[/math]. נתבונן בבסיס אורתוגונלי אחר, [math]\displaystyle{ B' }[/math], של [math]\displaystyle{ U }[/math], ובהעתקת ההטלה המתאימה [math]\displaystyle{ \pi_{B'} }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]. אזי הן [math]\displaystyle{ \pi_B\left(v\right) }[/math] והן [math]\displaystyle{ \pi_{B'}\left(v\right) }[/math] שייכים ל-[math]\displaystyle{ U }[/math].
לפי הערה שהוכחנו, [math]\displaystyle{ v-\pi_B\left(v \right ),v-\pi_{B'}\left(v \right )\in U^\perp }[/math]. מתקיים: \begin{displaymjx}v=\underbrace{\pi_B\left(v \right )}_{\in U}+\underbrace{\left(v-\pi_B\left(v \right ) \right )}_{\in U^\perp}\end{displaymjx} \begin{displaymjx}v=\underbrace{\pi_{B'}\left(v \right )}_{\in U}+\underbrace{\left(v-\pi_{B'}\left(v \right ) \right )}_{\in U^\perp}\end{displaymjx}
לכן, ממשפט הפירוק הניצב, נקבל [math]\displaystyle{ \pi_B\left(v \right )=\pi_{B'}\left(v \right ) }[/math].
מסקנה
ההיטל [math]\displaystyle{ \pi_B\left(v\right) }[/math] של וקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] על תת-המרחב [math]\displaystyle{ U }[/math] אינו תלוי בבחירה של הבסיס האורתוגונלי [math]\displaystyle{ B }[/math] של [math]\displaystyle{ U }[/math].
הערה
אם [math]\displaystyle{ u\perp v }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \left \| u\pm v \right \|^2=\left \| u \right \|^2+\left \| v \right \|^2 }[/math].
הוכחה.
\begin{displaymjx}\left \| u\pm v \right \|^2=
\left \langle u\pm v,u\pm v \right \rangle=
\left \langle u,u \right \rangle\pm\underbrace{\left \langle u,v \right \rangle}_{=0}\pm\underbrace{\left \langle v,u \right \rangle}_{=0} +\left \langle v,v \right \rangle=
\left \| u \right \|^2+\left \| v \right \|^2\end{displaymjx}
∎
המשמעות הגיאומטרית של היטל
הערה
ההיטל של וקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] על תת-מרחב [math]\displaystyle{ U }[/math] הא הווקטור ב-[math]\displaystyle{ U }[/math] הקרוב ביותר לווקטור [math]\displaystyle{ v }[/math] (מבחינת המרחק המושרה - [math]\displaystyle{ \rho\left(x,y \right )=\left \| x-y \right \| }[/math]).
ז"א, אם [math]\displaystyle{ v\in V }[/math], [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \pi:U\rightarrow V }[/math] ההטלה, אזי לכל [math]\displaystyle{ u\in U }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \rho\left(v,\pi\left(v \right ) \right )\leq\rho\left(v,u \right ) }[/math].
הוכחה.
\begin{displaymjx}\left \| v-\pi\left(v \right ) \right \|^2\leq\left \| v-\pi\left(v \right ) \right \|^2+\left \| \pi\left(v \right )-u \right \|^2=\left \| \left(v-\pi\left(v \right ) \right )+\left(\pi\left(v \right )-u \right ) \right \|^2=\left \| v-u \right \|^2\end{displaymjx}
ולכן [math]\displaystyle{ \rho\left(v,\pi\left(v \right ) \right )\leq\rho\left(v,u \right ) }[/math].
∎
יחידות של מכפלה פנימית
נרצה להוכיח כעת שאם יש לנו שני מרחבים וקטוריים עם מכפלה פנימית מאותו מימד, הם בעצם "אותו דבר" (רק משנים את הסמלים של האיברים). כזכור, כדי לומר ששני מרחבים וקטוריים הם "אותו דבר", חיפשנו העתקה לינארית חח"ע ועל ביניהם, הנקראת גם איזומורפיזם. בלינארית 1 הוכחנו ששני מרחבים וקטוריים איזומורפיים אם ורק אם יש להם אותו מימד. כעת ננסה לראות האם עובדה זו נכונה גם אם יש עליהם מכפלה פנימית.
הגדרה
יהיו [math]\displaystyle{ V,V' }[/math] מרחבי מכפלה פנימית. אומרים ש-[math]\displaystyle{ V }[/math] איזומורפי ל-[math]\displaystyle{ V' }[/math] (ומסמנים [math]\displaystyle{ V\cong V' }[/math]), אם קיים איזומורפיזם [math]\displaystyle{ f:V\rightarrow V' }[/math] של מרחבים וקטוריים, כך שלכל [math]\displaystyle{ u,v\in V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left \langle f\left(u \right ),f\left(v \right ) \right \rangle=\left \langle u,v \right \rangle }[/math].
משפט
אם [math]\displaystyle{ \dim V=\dim V' }[/math], אזי [math]\displaystyle{ V }[/math] איזומורפי ל-[math]\displaystyle{ V' }[/math] (במובן של איזומורפיזם של מרחבי מכפלה פנימית).
הוכחה.
נבחר בסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ V }[/math] ובסיס אורתונורמלי [math]\displaystyle{ B'=\left \{ v_1',\dots,v_n' \right \} }[/math] של [math]\displaystyle{ V' }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ f\left(v_i\right)=v_i' }[/math], ונרחיב את [math]\displaystyle{ f }[/math] לפי לינאריות, כלומר נגדיר \begin{displaymjx}f\left(\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n \right )=\alpha_1v_1'+\cdots+\alpha_nv_n'\end{displaymjx} [math]\displaystyle{ f }[/math] העתקה לינארית, לפי ההגדרה.
[math]\displaystyle{ \operatorname{im}f=V' }[/math] (כי לכל [math]\displaystyle{ i=1,\dots,n }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ v_i\in\operatorname{im}f }[/math]), ולכן לפי משפט המימדים [math]\displaystyle{ \ker f=\left\{0\right\} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f }[/math] היא איזומורפיזם.
אם [math]\displaystyle{ u=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n }[/math], ואם [math]\displaystyle{ v=\beta_1v_1+\cdots+\beta_nv_n }[/math]. לפי האורתונורמליות, מתקיים \begin{displaymjx}\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,\beta_1v_1+\cdots+\beta_nv_n \right \rangle=\alpha_1\overline{\beta_1}+\cdots+\alpha_n\overline{\beta_n}=\left \langle u,v \right \rangle\end{displaymjx}
ולכן [math]\displaystyle{ V\cong V' }[/math].
∎
המשמעות הגיאומטרית של דטרמיננטה
נחזור לתהליך גראם-שמידט, [math]\displaystyle{ v_i'=v_i-\pi\left(v_i\right) }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \pi }[/math] היא העתקה ההטלה על תת-המרחב הנפרש על ידי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1',\dots,v_{i-1}' \right \} }[/math].
נסמן ב-[math]\displaystyle{ C }[/math] את מטריצת המעבר מ-[math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] ל- [math]\displaystyle{ \left \{ v_1',\dots,v_n' \right \} }[/math]. לכן \begin{displaymjx}C=\left ( \begin{matrix}
1 & & \star\\
& \ddots & \\
0 & & 1
\end{matrix} \right )\end{displaymjx} ז"א ש-[math]\displaystyle{ C }[/math] מטריצה משולשת עליונה, ועל האלכסון הראשי יש יחידות.
המעבר הבא - נרמול הבסיס [math]\displaystyle{ \left \{ v_1',\dots,v_n' \right \} }[/math] - מתואר על ידי המטריצה האלכסונית \begin{displaymjx}D=\left ( \begin{matrix}
\frac{1}{\left \| v_1' \right \|} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \frac{1}{\left \| v_n' \right \|}
\end{matrix} \right )\end{displaymjx}
לכן, מעבר מבסיס [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] לבסיס אורתונורמלי מתואר על ידי המטריצה [math]\displaystyle{ DC }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ G_B }[/math] מטריצת הגראם של הבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math], אזי, לפי משפט שהוכחנו: \begin{displaymjx}I=\left(DC \right )^tG_B\overline{\left(DC \right )}=C^tD^tG_B\overline{D}\,\overline{C}\end{displaymjx} נפעיל דטרמיננטה, ונקבל: \begin{displaymjx}\det I=\det\left (C^tD^tG_B\overline{D}\,\overline{C} \right )\end{displaymjx} \begin{displaymjx}1=1\cdot\frac{1}{\left \| v_1' \right \|\cdots\left \| v_n' \right \|}\cdot\det G_B\cdot\frac{1}{\left \| v_1' \right \|\cdots\left \| v_n' \right \|}\cdot1\end{displaymjx} \begin{displaymjx}\det G_B=\left \| v_1' \right \|^2\cdots\left \| v_n' \right \|^2\end{displaymjx}
מסקנה
\begin{displaymjx}\det G_B\in\mathbb{R}_{\ge0}\end{displaymjx}
הגדרה
יהי [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math], יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], נניח [math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] קבוצת וקטורים. נגדיר מקבילון [math]\displaystyle{ P }[/math] על ידי \begin{displaymjx}P=\left \{ \left.\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i\right|0\leq\alpha_i\leq1 \right \}\end{displaymjx}
הגדרה
נניח ש-[math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math], ונגדיר את נפח המקבילון הנוצר על ידם להיות \begin{displaymjx}\operatorname{vol}\left(P \right )=\sqrt{\det G_B}\end{displaymjx}
משפט
אם [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math], נסמן [math]\displaystyle{ P }[/math] המקבילון הנוצר על ידי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math], [math]\displaystyle{ S }[/math] המקבילון הנוצר על ידי [math]\displaystyle{ \left \{ v_1,\dots,v_{n-1} \right \} }[/math], ו-[math]\displaystyle{ h=v_n-\pi_{\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_{n-1} \right \}}\left(v_n \right ) }[/math]. אזי \begin{displaymjx}\operatorname{vol}\left(P \right )=\operatorname{vol}\left(S \right )\cdot\left \| h \right \|\end{displaymjx}
הוכחה.
נסמן ב-[math]\displaystyle{ A }[/math] את מטריצת המעבר מהבסיס [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] לבסיס [math]\displaystyle{ B'=\left \{ v_1,\dots,v_{n-1},h \right \} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מהצורה \begin{displaymjx}A=\left(\begin{matrix}
1 & & 0 & \star\\
& \ddots & & \vdots\\
& & 1 & \star\\
& & & 1
\end{matrix} \right )\end{displaymjx}
מטריצת גראם יחסית לבסיס [math]\displaystyle{ B' }[/math] היא \begin{displaymjx}G_{B'}=\left(\begin{matrix}
M_{nn}\left(G_B\right )& 0\\
0 & \left \| h \right \|^2
\end{matrix} \right )\end{displaymjx} כאשר [math]\displaystyle{ M_nn\left(G_B\right) }[/math] מסמן את המינור ה-[math]\displaystyle{ n,n }[/math] מ-[math]\displaystyle{ G_B }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ G_B }[/math] בלי השורה ה-[math]\displaystyle{ n }[/math]-ית ובלי העמודה ה-[math]\displaystyle{ n }[/math]-ית (הצורה ככה כי [math]\displaystyle{ h }[/math] מאונך לשאר הווקטורים). אם כן, \begin{displaymjx}\operatorname{vol}\left(P \right )=\sqrt{\det G_B}=\sqrt{\det\left (\overline{A}G_{B'}A^t \right )}=\sqrt{\det\overline{A}\det G_{B'}\det A^t}=\sqrt{\det G_{B'}}=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\sqrt{\det M_{nn}\left(G_B \right )\left \| h \right \|^2}=\sqrt{\det M_{nn}\left(G_B \right )}\left \| h \right \|=\operatorname{vol}\left(S \right )\left \| h \right \|\end{displaymjx}
∎
משפט
אם [math]\displaystyle{ B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \} }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math], ואם [math]\displaystyle{ E=\left \{ e_1,\dots,e_n \right \} }[/math] בסיס אורתונורמלי, נסמן ב-[math]\displaystyle{ E }[/math] את מטריצת המעבר ביניהם. אזי \begin{displaymjx}\operatorname{vol}\left(P_B \right )=\left | \det A \right |\end{displaymjx}
הוכחה.
\begin{displaymjx}\operatorname{vol}\left(P \right )=\sqrt{\det G_B}=\sqrt{\det\left(\overline{A}G_EA^t \right )}=\sqrt{\det\overline{A}\det I\det A^t}=\end{displaymjx} \begin{displaymjx}=\sqrt{\overline{\det A}\det A}=\sqrt{\left | \det A \right |^2}=\left | \det A \right |\end{displaymjx}
∎
ההרצאה הקודמת | חזרה למערכי ההרצאה | ההרצאה הבאה
