בקצרה: הגבול של סדרה נקבע רק לפי מה שקורה בה "בסוף": מחיקה, הוספה או שינוי של מספר סופי של איברים, למשל של אלף האיברים הראשונים, אינם משנים את הגבול (וגם אינם יוצרים גבול לסדרה שאין לה), ובפרט [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a_{n+1}\to L }[/math]. הסיבה היא שההגדרה דורשת רק שהחל ממקום מסוים כל האיברים יהיו בכל סביבה של הגבול, ואת המקום הזה תמיד אפשר לדחות אל מעבר לאיברים ששונו; כדי לשנות את הגבול צריך לשנות אינסוף איברים. בזכות זה אפשר להחליש הנחות מהצורה "לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]" במשפטים על גבולות ל"החל ממקום מסוים", ובסדרות נסיגה מותר להשאיף את שני אגפי הנוסחה, אבל רק אחרי שהוכח שהגבול קיים. בדף זה גם מעבר לגבול באי־שוויון: אי־שוויון חלש נשמר בגבול, ואילו אי־שוויון חזק עלול להפוך לשוויון.
▶ ההרצאה: מספר סופי של איברים אינו משפיע על גבול הסדרה
הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=1+\frac{(-1)^n}{n} }[/math] (הנקודות הירוקות) והסדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] (הריבועים), שמתקבלת ממנה כששמונת האיברים הראשונים מוחלפים בערכים שרירותיים (האזור האפור, [math]\displaystyle{ n\le m }[/math] עבור [math]\displaystyle{ m=8 }[/math]). לכל [math]\displaystyle{ n>m }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ b_n=a_n }[/math] (הריבועים החלולים מקיפים את הנקודות), כלומר לשתי הסדרות אותו זנב. הרצועה התכולה היא סביבה של הגבול [math]\displaystyle{ L=1 }[/math]: הנקודות [math]\displaystyle{ a_n }[/math] נמצאות בה לכל [math]\displaystyle{ n>K_1=3 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ |a_n-1|=\frac1n }[/math]), ואילו [math]\displaystyle{ b_n }[/math] נמצאת בה לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] עבור [math]\displaystyle{ K=\max(K_1,m)=m }[/math]. השינוי רק דוחה את המקום [math]\displaystyle{ K }[/math] אל מעבר לאיברים ששונו, ולכן לכל רדיוס של סביבה יש מקום מתאים גם ל־[math]\displaystyle{ b_n }[/math], ושתי הסדרות שואפות ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (מסקנה 2.1.17).
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a_{n+1}\to L }[/math].
במילים: השמטת האיבר הראשון (המעבר מהסדרה [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,\dots }[/math] לסדרה [math]\displaystyle{ a_2,a_3,a_4,\dots }[/math]) אינה משפיעה על הגבול, סופי או אינסופי.
הגדרה 2.1.16זנב של סדרה
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math]. הסדרה [math]\displaystyle{ a_{K+n} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a_{K+1},a_{K+2},a_{K+3},\dots }[/math], נקראת זנב של [math]\displaystyle{ a_n }[/math].
תהיינה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n }[/math] סדרות ממשיות שיש להן זנבות שווים, כלומר קיימים [math]\displaystyle{ K,M\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_{K+n}=b_{M+n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math].
במילים: כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\le a }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. נניח ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת, כלומר קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ L\le a }[/math].
הערה: אי-שוויון חזק אינו עובר לגבול: מ־[math]\displaystyle{ a_n<a }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] נובע רק [math]\displaystyle{ L\le a }[/math] (למשל [math]\displaystyle{ -\frac1n<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אבל [math]\displaystyle{ -\frac1n\to0 }[/math]).
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: הדוגמה מהסרטון: משנים איברים בסדרה הקבועה
נתחיל, כמו בסרטון, מהסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] הסדרה שמתקבלת ממנה כשמשנים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] את אלף האיברים הראשונים, כלומר [math]\displaystyle{ b_n=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\le1000 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ b_n=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n>1000 }[/math]. (א) הוכיחו לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ b_n\to1 }[/math], ובדרך נוספת בעזרת מסקנה 2.1.17. (ב) תהי [math]\displaystyle{ c_n }[/math] הסדרה שמתקבלת מ־[math]\displaystyle{ a_n }[/math] כשמשנים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] את כל האיברים במקומות הזוגיים, כלומר [math]\displaystyle{ c_n=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי ו־[math]\displaystyle{ c_n=1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] אי־זוגי. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ c_n\not\to1 }[/math].
(א) לפי ההגדרה. יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ K=1000 }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ b_n=1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |b_n-1|=0<\varepsilon }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ b_n\to1 }[/math] (כאן [math]\displaystyle{ K }[/math] אפילו אינו תלוי ב־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]).
בעזרת המסקנה. הסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math] שואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math], כי [math]\displaystyle{ |a_n-1|=0<\varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. בנוסף [math]\displaystyle{ a_{1000+n}=1=b_{1000+n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], כלומר לשתי הסדרות יש זנבות שווים (מסקנה 2.1.17 עם [math]\displaystyle{ K=M=1000 }[/math]). לכן [math]\displaystyle{ b_n\to1 }[/math].
(ב) הפעם שינינו אינסוף איברים. נבחר [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac12 }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ n=2K+2>K }[/math]. זהו מספר זוגי, ולכן [math]\displaystyle{ c_n=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ |c_n-1|=1\ge\frac12 }[/math]. מצאנו [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n>K }[/math] שעבורו [math]\displaystyle{ |c_n-1|\ge\varepsilon }[/math], ולכן לפי מסקנה 2.1.4 (שלילת הגבול) [math]\displaystyle{ c_n\not\to1 }[/math].
הפרדוקס מהסרטון: אם בכל שלב משנים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] עוד איבר אחד, אחרי כל שלב שונה רק מספר סופי של איברים, ולכן אחרי כל שלב הגבול עדיין [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. שינוי של אינסוף איברים בבת אחת כבר אינו מכוסה על ידי המסקנה, ו־(ב) מראה שהוא עלול לשנות את הגבול.
מקור: תמליל 12 (nHaq8E0vGJA) 00:09–01:49 (t=9s): "נתחיל מהסדרה הקבועה 1 1 1 ... מה יקרה אם נשנה את האיבר הראשון ... הסוד הוא בכמה איברים אנחנו משנים ... אין סוף איברים", ו־03:00 (t=180s): שינוי של אינסוף איברים "עשוי כמובן להשפיע"; לוח 27.10.20, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R1-D7: "פרט למספר סופי של איברים = החל משלב מסויים", הדוגמה 10,−10,0,0,...); מאגר 2.1-34 (◆, ק' 2, בוחן ✓). סעיף (ב) וניסוח השאלה נכתבו לדף הזה; שלילת הגבול כמו בדף הגדרת הגבול (מאגר 2.1-20/21).
דוגמה 2: הזזה ב־[math]\displaystyle{ p }[/math] מקומות, לפי ההגדרה
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית, יהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ p\in\mathbb N }[/math]. (א) הוכיחו לפי ההגדרה כי [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a_{n+p}\to L }[/math]. (ב) נניח שעבור [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] מסוים כל האיברים [math]\displaystyle{ a_n }[/math] עם [math]\displaystyle{ n>100 }[/math] נמצאים בסביבה [math]\displaystyle{ (L-\varepsilon,L+\varepsilon) }[/math]. החל מאיזה מקום מובטח שאיברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_{n+3} }[/math] נמצאים בה? ולהפך: אם זה נתון על [math]\displaystyle{ a_{n+3} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n>100 }[/math], החל מאיזה מקום מובטח זאת על [math]\displaystyle{ a_n }[/math]?
(א) כיוון ראשון. נניח ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. קיים [math]\displaystyle{ K_1\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|<\varepsilon }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ K=K_1 }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ n>K }[/math]. אזי גם [math]\displaystyle{ n+p>K_1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |a_{n+p}-L|<\varepsilon }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a_{n+p}\to L }[/math].
כיוון שני. נניח ש [math]\displaystyle{ a_{n+p}\to L }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. קיים [math]\displaystyle{ K_1\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ j>K_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_{j+p}-L|<\varepsilon }[/math]. נבחר [math]\displaystyle{ K=K_1+p }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ n>K }[/math], ונסמן [math]\displaystyle{ j=n-p }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ j>K_1 }[/math] (ובפרט [math]\displaystyle{ j }[/math] טבעי), ולכן [math]\displaystyle{ |a_n-L|=|a_{j+p}-L|<\varepsilon }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math].
(ב) לפי הכיוון הראשון ([math]\displaystyle{ p=3 }[/math], [math]\displaystyle{ K_1=100 }[/math]): לכל [math]\displaystyle{ n>100 }[/math] גם [math]\displaystyle{ n+3>100 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a_{n+3} }[/math] בסביבה לכל [math]\displaystyle{ n>100 }[/math] (ואפילו לכל [math]\displaystyle{ n>97 }[/math]). לפי הכיוון השני: [math]\displaystyle{ a_n }[/math] בסביבה לכל [math]\displaystyle{ n>103 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ K=100+3 }[/math].
עם [math]\displaystyle{ p=1 }[/math] זו ההוכחה של משפט 2.1.15 מהסרטון: [math]\displaystyle{ K=K_1 }[/math] בכיוון אחד ו־[math]\displaystyle{ K=K_1+1 }[/math] בכיוון השני ("החל מהשלב ה־100 ... החל מהשלב ה־101"). עם [math]\displaystyle{ p }[/math] כללי מקבלים ישירות, בלי אינדוקציה, שמחיקה או הוספה של [math]\displaystyle{ p }[/math] איברים בתחילת הסדרה אינה משנה את הגבול. לגבול [math]\displaystyle{ \pm\infty }[/math] ההוכחה זהה, עם [math]\displaystyle{ a_n>M }[/math] (או [math]\displaystyle{ -a_n>M }[/math]) במקום [math]\displaystyle{ |a_n-L|<\varepsilon }[/math].
מקור: תמליל 12 (nHaq8E0vGJA) 03:06–08:11 (t=186s): ההוכחה של משפט 2.1.15 עם p=1, כולל הדוגמה המספרית 04:45–04:59 ("אם למשל B-N נמצאת בסביבה החל מהשלב ה-100 ... היא תהיה בסביבה החל מהשלב ה-101") ו־06:55–07:39 ("החל מהשלב ה-99 אפילו ... אנחנו לא חייבים לקחת את המקום הראשון"); proofat_text של 2.1.15 (K=K_1+1, ובכיוון השני K=K_1) ושל 2.1.17 (אינדוקציה על 2.1.15); מאגר 2.1-34 (◆). ההכללה ל־p נכתבה לדף הזה.
דוגמה 3: הוכיחו או הפריכו: מעבר לגבול באי־שוויון
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה ממשית ויהי [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]. הוכיחו או הפריכו: (א) אם [math]\displaystyle{ a_n<2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], אזי [math]\displaystyle{ L<2 }[/math]. (ב) אם [math]\displaystyle{ a_n\le2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n>1000 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ L\le2 }[/math]. (ג) אם [math]\displaystyle{ a_n\le2 }[/math] עבור אינסוף ערכים של [math]\displaystyle{ n }[/math], אזי [math]\displaystyle{ L\le2 }[/math].
(א) לא נכון. נגדיר [math]\displaystyle{ a_n=2-\frac1n }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ a_n<2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ו־[math]\displaystyle{ a_n\to2 }[/math]: מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-2|=\frac1n }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] אותו [math]\displaystyle{ K }[/math] שמתאים ל־[math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math] מתאים גם כאן. אבל [math]\displaystyle{ L=2 }[/math], ואי־השוויון [math]\displaystyle{ 2<2 }[/math] אינו מתקיים. טענה 2.1.18 נותנת רק [math]\displaystyle{ L\le2 }[/math].
(ב) נכון. נגדיר [math]\displaystyle{ b_n=a_{n+1000} }[/math]. לפי דוגמה 2 (עם [math]\displaystyle{ p=1000 }[/math]) [math]\displaystyle{ b_n\to L }[/math], ו־[math]\displaystyle{ b_n\le2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], כי [math]\displaystyle{ n+1000>1000 }[/math]. לפי טענה 2.1.18 [math]\displaystyle{ L\le2 }[/math]. זה השימוש הטיפוסי בזנבות: הנחה "לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]" אפשר להחליש ל"החל ממקום מסוים".
(ג) נכון. נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ L>2 }[/math], ונבחר [math]\displaystyle{ \varepsilon=L-2>0 }[/math]. קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|<L-2 }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ a_n>L-(L-2)=2 }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ a_n\le2 }[/math] יכול להתקיים רק עבור [math]\displaystyle{ n\le K }[/math], כלומר רק עבור מספר סופי של ערכים של [math]\displaystyle{ n }[/math]: סתירה.
לסיכום: כשידוע שהגבול קיים, אי־שוויון חלש עובר לגבול גם כשהוא מתקיים רק החל ממקום מסוים, ואפילו רק עבור אינסוף ערכים של [math]\displaystyle{ n }[/math]; אי־שוויון חזק אינו עובר לגבול.
מקור: טענה 2.1.18 וההערה שלה ("אי-שוויון חזק אינו עובר לגבול", הדוגמה [math]\displaystyle{ -\frac1n<0 }[/math]); proofat_text של 2.1.18 (לוח תשפ"ד: בשלילה L>a, הסביבה (a,2L−a) של L, והחל ממקום K כל האיברים גדולים מ־a) = רעיון סעיף (ג); remark_text של 2.1.17 ("הנחות 'לכל n' במשפטים אפשר להחליש ל'החל ממקום מסוים'") = סעיף (ב); דף הקורס, סעיף ===הגדרת הגבול=== ("תהי סדרה המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] כי [math]\displaystyle{ a<a_n }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lim a_n\geq a }[/math]"). הנוסח "הוכיחו או הפריכו" נכתב לדף הזה.
דוגמה 4: [math]\displaystyle{ a_{n+1}=|a_n-1| }[/math]: אותה נסיגה, פעם מתכנסת ופעם לא
יהי [math]\displaystyle{ a_1\in\mathbb R }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] הסדרה המוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{n+1}=|a_n-1| }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. (א) הוכיחו, לפי ההגדרה ובעזרת משפטי סעיף 2.1 בלבד (בלי אריתמטיקה של גבולות): אם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת, אזי [math]\displaystyle{ a_n\to\frac12 }[/math]. (ב) נניח ש [math]\displaystyle{ a_1=\frac52 }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ a_n\to\frac12 }[/math]. (ג) נניח ש [math]\displaystyle{ a_1=\frac94 }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה מתכנסת.
(א) נניח ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת, כלומר קיים [math]\displaystyle{ L\in\mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math]. לפי משפט 2.1.15 גם [math]\displaystyle{ a_{n+1}\to L }[/math]. נראה לפי ההגדרה שהסדרה [math]\displaystyle{ a_{n+1}=|a_n-1| }[/math] שואפת גם ל־[math]\displaystyle{ |L-1| }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math]. קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-L|<\varepsilon }[/math]. לכן לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math], לפי אי־שוויון המשולש המלא [math]\displaystyle{ \Big||x|-|y|\Big|\le|x-y| }[/math] עם [math]\displaystyle{ x=a_n-1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y=L-1 }[/math]: [math]\displaystyle{ \Big|a_{n+1}-|L-1|\Big| }[/math] [math]\displaystyle{ =\Big||a_n-1|-|L-1|\Big| }[/math] [math]\displaystyle{ \le|a_n-L|<\varepsilon }[/math].
הסדרה [math]\displaystyle{ a_{n+1} }[/math] שואפת אפוא גם ל־[math]\displaystyle{ L }[/math] וגם ל־[math]\displaystyle{ |L-1| }[/math], ולפי יחידות הגבול (משפט 2.1.11) [math]\displaystyle{ L=|L-1| }[/math]. אם [math]\displaystyle{ L\ge1 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ L=L-1 }[/math], וזה בלתי אפשרי. לכן [math]\displaystyle{ L<1 }[/math], ואז [math]\displaystyle{ L=1-L }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ L=\frac12 }[/math]. זו בדיוק "השאפת שני האגפים" של נוסחת הנסיגה, מנומקת בחומר של סעיף 2.1 בלבד.
(ב) [math]\displaystyle{ a_2=\left|\frac52-1\right|=\frac32 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_3=\left|\frac32-1\right|=\frac12 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ a_n=\frac12 }[/math], אזי [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac12 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ \left|\frac12-1\right|=\frac12 }[/math]), ולכן באינדוקציה (סעיף 2.5; היא משמשת כבר בהוכחת מסקנה 2.1.17) [math]\displaystyle{ a_n=\frac12 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ b_n }[/math] הסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ b_n=\frac12 }[/math]. היא שואפת ל־[math]\displaystyle{ \frac12 }[/math], כי לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon>0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|b_n-\frac12\right|=0 }[/math], וזה קטן מ־[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]. בנוסף [math]\displaystyle{ a_{2+n}=\frac12=b_{2+n} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math], ולכן לפי מסקנה 2.1.17 (עם [math]\displaystyle{ K=M=2 }[/math]) [math]\displaystyle{ a_n\to\frac12 }[/math].
(ג) [math]\displaystyle{ a_2=\frac54 }[/math], [math]\displaystyle{ a_3=\frac14 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_4=\frac34 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ \left|\frac14-1\right|=\frac34 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \left|\frac34-1\right|=\frac14 }[/math], באינדוקציה [math]\displaystyle{ a_n\in\left\{\frac14,\frac34\right\} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math], ובפרט [math]\displaystyle{ \left|a_n-\frac12\right|=\frac14 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math].
נניח בשלילה ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת. לפי (א) [math]\displaystyle{ a_n\to\frac12 }[/math], ולכן עבור [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac14 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ K\in\mathbb N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|a_n-\frac12\right|<\frac14 }[/math]. המקום [math]\displaystyle{ n=K+3 }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ n>K }[/math] וגם [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \left|a_n-\frac12\right|=\frac14 }[/math]: סתירה. לכן [math]\displaystyle{ a_n }[/math] אינה מתכנסת.
הלקח: המשוואה [math]\displaystyle{ L=|L-1| }[/math] נותנת רק מועמד: אם יש גבול, הוא [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math]. בסעיף (ב) המועמד הוא הגבול, ובסעיף (ג) אין גבול בכלל, אף שנוסחת הנסיגה זהה. לכן את שני האגפים מותר להשאיף רק אחרי שהוכח שהגבול קיים, או בתוך הוכחה בשלילה כמו בסעיף (ג). אין כאן סתירה למסקנה 2.1.17: המעבר מ־[math]\displaystyle{ a_1=\frac52 }[/math] ל־[math]\displaystyle{ a_1=\frac94 }[/math] משנה את כל איברי הסדרה, כלומר אינסוף איברים, ולשתי הסדרות אין זנבות שווים, גם לא בהזזה: בסעיף (ב) כל האיברים החל מהשלישי שווים ל־[math]\displaystyle{ \frac12 }[/math], ובסעיף (ג) אף איבר אינו שווה ל־[math]\displaystyle{ \frac12 }[/math]. בסעיף (ב), לעומת זאת, הסדרה שונה מהסדרה הקבועה [math]\displaystyle{ \frac12 }[/math] רק בשני האיברים הראשונים, ולכן המסקנה נותנת את הגבול מיד.
מקור: נכתב לדף הזה (הנוסחה [math]\displaystyle{ a_{n+1}=|a_n-1| }[/math] וערכי [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] אינם במאגר). התבנית "נתון שהסדרה מתכנסת, מצאו את הגבול" לנסיגה עם ערך מוחלט: בוחן אמצע אינפי 1 תשע"א (6.12.10, קבוצות זלצמן; ארז היה מתרגל באותה שנה; 10Infi1Bohan.pdf), שאלה 12ג: [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{|a_n|}2+1 }[/math], נתון ש [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת; בפתרון הרשמי (10Infi1BohanSol.pdf) [math]\displaystyle{ L\ge0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L=\frac L2+1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ L=2 }[/math] (W6c, Q2 ש12ג; מאגר 2.9-19). המעבר [math]\displaystyle{ |a_n-1|\to|L-1| }[/math] בסעיף (א) הוא ההוכחה של [math]\displaystyle{ |a_n|\to|L| }[/math] מ־XI X18 ("תזכורת: אי שיוויון המשולש המלא"; מאגר 2.4-20, ◆), כאן ישירות לפי ההגדרה. הלקח: remark_text של 2.1.15 ("טעות נפוצה: להשתמש ב־[math]\displaystyle{ \lim a_{n+1}=\lim a_n }[/math] ... לפני שהוכח שהגבול קיים"). תמליל 12 (nHaq8E0vGJA) 01:51–02:00 (t=111s): ניסוח משפט 2.1.15, ו־08:13–08:20 (t=493s): מסקנה 2.1.17 (תוספת, החסרה או שינוי של מספר סופי של איברים "לא משפיעים על גבול הסדרה").
טעויות נפוצות
להשתמש ב־[math]\displaystyle{ \lim a_{n+1}=\lim a_n }[/math] בנוסחת נסיגה לפני שהוכח שהגבול קיים: עבור [math]\displaystyle{ a_1=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_{n+1}=2a_n }[/math] ה"חישוב" [math]\displaystyle{ L=2L }[/math] נותן [math]\displaystyle{ L=0 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ a_n=2^{n-1}\ge1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] והסדרה שואפת לאינסוף.
להסיק שאם שינוי של כל איבר בנפרד אינו משנה את הגבול, אז גם שינוי של כל האיברים לא ישנה אותו: המסקנה עוסקת רק במספר סופי של איברים, וכשהסדרה [math]\displaystyle{ 1,1,1,\dots }[/math] הופכת ל־[math]\displaystyle{ 1,0,1,0,\dots }[/math] (אינסוף שינויים) היא כבר אינה שואפת ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (בסרטון, 01:12–01:49: "הסוד הוא בכמה איברים אנחנו משנים").
להעביר לגבול אי־שוויון חזק: אם [math]\displaystyle{ a_n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] ו־[math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math], נובע רק [math]\displaystyle{ L\ge0 }[/math] ולא [math]\displaystyle{ L>0 }[/math], למשל [math]\displaystyle{ \frac1n>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], אבל [math]\displaystyle{ \frac1n\to0 }[/math].
להפעיל את טענה 2.1.18 בלי לדעת שהסדרה מתכנסת: מ־[math]\displaystyle{ a_n\le a }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] לא נובע שיש גבול ([math]\displaystyle{ (-1)^n\le1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], ואין לה גבול), ולכן קודם מוכיחים התכנסות, או מניחים אותה בשלילה, ורק אחר כך מסיקים [math]\displaystyle{ L\le a }[/math].
בהוכחה של משפט 2.1.15 לבחור [math]\displaystyle{ K=K_1 }[/math] בשני הכיוונים: כשעוברים מ־[math]\displaystyle{ a_{n+1}\to L }[/math] ל־[math]\displaystyle{ a_n\to L }[/math] מוסיפים איבר בתחילת הסדרה, המקום של כל איבר גדל באחד, ולכן צריך [math]\displaystyle{ K=K_1+1 }[/math] (בסרטון, 04:47–04:59: "החל מהשלב ה-100 ... החל מהשלב ה-101").
לתרגול
מועד א' תשע"ב (מדמ"ח) · שאלה 1א: כל סדרה מתכנסת חסומה (עם פתרון); את [math]\displaystyle{ n_1 }[/math] האיברים הראשונים, מספר סופי, חוסמים בנפרד בעזרת [math]\displaystyle{ \max }[/math]
מועד ב' תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 3: [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n-1} }[/math], ונתון שהסדרה מתכנסת: מצאו את [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] ([math]\displaystyle{ L=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ L\ge a_1 }[/math]) (פתרון)
מועד א' תשע"ז (מתמטיקה) · שאלה 3: [math]\displaystyle{ a_{n+1}=2a_n-\frac1{a_n} }[/math] עם [math]\displaystyle{ a_1>1 }[/math]; גבול סופי [math]\displaystyle{ L\ge a_1>1 }[/math] סותר את [math]\displaystyle{ L^2=1 }[/math] (פתרון)
מערך תרגול · מערך התרגול של ארז (תשע"ב), פרק הסדרות
סדרות מונוטוניות ונוסחאות נסיגה · התרגיל השלישי ([math]\displaystyle{ a_1=c }[/math], [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac c2+\frac{a_n^2}2 }[/math]): "טענה חשובה אך קלה לבדיקה" [math]\displaystyle{ \lim a_n=\lim a_{n+1} }[/math], והשאפת שני האגפים רק אחרי שהוכחה התכנסות; עם פתרון
תרגול 5 (לואי ומני) · עמ' 3–4: [math]\displaystyle{ a_1=5 }[/math], [math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n\cdot\frac{6+a_n}{3+2a_n} }[/math]; מוכיחים [math]\displaystyle{ a_n\ge3 }[/math] וירידה, והגבול [math]\displaystyle{ 3 }[/math]; לשאלה "מדוע [math]\displaystyle{ L\ne0 }[/math]?" הרמז שם הוא "חשבו על החסם התחתון", כלומר מעבר לגבול ב־[math]\displaystyle{ a_n\ge3 }[/math]; עם פתרון
![הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=1+\frac{(-1)^n}{n} }[/math] (הנקודות הירוקות) והסדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] (הריבועים), שמתקבלת ממנה כששמונת האיברים הראשונים מוחלפים בערכים שרירותיים (האזור האפור, [math]\displaystyle{ n\le m }[/math] עבור [math]\displaystyle{ m=8 }[/math]). לכל [math]\displaystyle{ n>m }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ b_n=a_n }[/math] (הריבועים החלולים מקיפים את הנקודות), כלומר לשתי הסדרות אותו זנב. הרצועה התכולה היא סביבה של הגבול [math]\displaystyle{ L=1 }[/math]: הנקודות [math]\displaystyle{ a_n }[/math] נמצאות בה לכל [math]\displaystyle{ n>K_1=3 }[/math] (כי [math]\displaystyle{ |a_n-1|=\frac1n }[/math]), ואילו [math]\displaystyle{ b_n }[/math] נמצאת בה לכל [math]\displaystyle{ n>K }[/math] עבור [math]\displaystyle{ K=\max(K_1,m)=m }[/math]. השינוי רק דוחה את המקום [math]\displaystyle{ K }[/math] אל מעבר לאיברים ששונו, ולכן לכל רדיוס של סביבה יש מקום מתאים גם ל־[math]\displaystyle{ b_n }[/math], ושתי הסדרות שואפות ל־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] (מסקנה 2.1.17).](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c2-05.png)