משפט קיילי

משפט קיילי קובע שכל חבורה (סופית) אפשר לשכן בחבורת סימטריות. זהו הוא אחד המשפטים הבסיסיים בתורת החבורות, בכך שהוא מראה שהאקסיומות של המושג המופשט מספיק חזקות כדי שכל חבורה תהיה למעשה חבורה של תמורות, כלומר, חבורה קונקרטית שאפשר לחשב בה באופן ישיר.

ניסוח המשפט

תהי G חבורה. אז לכל איבר g, הפונקציה [math]\displaystyle{ \ \ell_g : x \mapsto gx }[/math] היא תמורה על אברי G, וההתאמה [math]\displaystyle{ \ g \mapsto \ell_g }[/math] היא שיכון של G לתוך חבורת התמורות [math]\displaystyle{ \ S_G }[/math].

באופן מפורש יותר, אפשר לשכן את G לחבורת התמורות [math]\displaystyle{ \ S_n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \ n = |G| }[/math]. לשם כך יש למספר את אברי החבורה, [math]\displaystyle{ \ G = \{g_1,\dots,g_n\} }[/math] (מקובל להניח ש-[math]\displaystyle{ \ g_1=1 }[/math], אבל זה לא הכרחי), ואז האיבר g עובר לתמורה השולחת את i ל-j, כאשר [math]\displaystyle{ \ g_j = g g_i }[/math].

הערות

1. העידון של משפט קיילי מטפל במקרה שבו לחבורה G יש תת-חבורה H מאינדקס n. במקרה זה אפשר להגדיר לכל g בחבורה פונקציה [math]\displaystyle{ \ \ell_g : xH \mapsto gxH }[/math], שהיא תמורה על קבוצת הקוסטים השמאליים [math]\displaystyle{ \ G/H = \{xH : x \in G\} }[/math]. ההתאמה [math]\displaystyle{ \ g \mapsto \ell_g \in S_{G/H} }[/math] היא הומומורפיזם של חבורות, שהגרעין שלו [math]\displaystyle{ \ core_G(H) = \cap_{g\in G} g H g^{-1} }[/math] הוא תת-חבורה נורמלית של G המוכלת ב-H.

2. מסקנה מ-1: לחבורה (אינסופית) שיש לה תת-חבורה מאינדקס סופי, יש גם תת-חבורה נורמלית מאינדקס סופי. הסיבה היא שחבורת המנה [math]\displaystyle{ \ G/core_G(H) }[/math] היא מאינדקס סופי.

3. במשפט שבסעיף הראשון (אבל לא בעידון שלו), מבנה המחזורים של כל [math]\displaystyle{ \ \ell_g }[/math] הוא "אחיד" - [math]\displaystyle{ \ G/o(g) }[/math] מחזורים מאורך [math]\displaystyle{ \ o(g) }[/math]. אפשר להשתמש בעובדה זו כדי להוכיח שהשיכון מעתיק את G לתוך חבורת התמורות הזוגיות אם ורק אם חבורת 2-סילו של G היא ציקלית.