וקטור עצמי

הגדרה

יהי שדה F, ותהי [math]\displaystyle{ A\in F^{n\times n} }[/math] מטריצה ריבועית מעל השדה

יהיו [math]\displaystyle{ 0\neq v\in F^n }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \lambda\in F }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math]

אזי v נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של המטריצה A ו[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הערך העצמי (ע"ע) המתאים לו.

חישוב ע"ע וו"ע

נביט ב[math]\displaystyle{ f_A }[/math] הפולינום האופייני של המטריצה A. אזי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא ע"ע של A אם"ם [math]\displaystyle{ f_A(\lambda)=0 }[/math].

כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.

לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב המרחב העצמי.

[math]\displaystyle{ V_\lambda=\{v\in F^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I) }[/math]

(הזכרו בהגדרה של מרחב האפס)