סילבוסים: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
שורה 418: שורה 418:
# (3.5 שבועות) אינטגרלים משטחיים ב-<math>\ \mathbb{R}^n</math>: משטח k-מימדי ב-<math>\ \mathbb{R}^n</math>. הצגה פרמטרית של משטח, הצגה של משטח כגרף, הצגה של משטח ע"י מערכת משוואות. מרחב משיק למשטח בנקודה. היפר-משטחים, נורמל להיפר-משטח בנקודה. חישוב שטח של משטח. אינטגרל של פונקציה לפי שטח. שימושים כגון חישוב מסה של משטח ומרכז כובד.
# (3.5 שבועות) אינטגרלים משטחיים ב-<math>\ \mathbb{R}^n</math>: משטח k-מימדי ב-<math>\ \mathbb{R}^n</math>. הצגה פרמטרית של משטח, הצגה של משטח כגרף, הצגה של משטח ע"י מערכת משוואות. מרחב משיק למשטח בנקודה. היפר-משטחים, נורמל להיפר-משטח בנקודה. חישוב שטח של משטח. אינטגרל של פונקציה לפי שטח. שימושים כגון חישוב מסה של משטח ומרכז כובד.
# (3 שבועות) משפט הדיברגנץ ב-<math>\ \mathbb{R}^n</math>: שטף של שדה ווקטורי דרך היפר-משטח. דיברגנץ של שדה ווקטורי. משפט הדיברגנץ. שימושים (נוסחאות גרין, פונקציות הרמוניות).
# (3 שבועות) משפט הדיברגנץ ב-<math>\ \mathbb{R}^n</math>: שטף של שדה ווקטורי דרך היפר-משטח. דיברגנץ של שדה ווקטורי. משפט הדיברגנץ. שימושים (נוסחאות גרין, פונקציות הרמוניות).
# (3 שבועות) משפט סטוקס ב-<math>\ \mathbb{R}^3</math>:  משטח בעל אוריינטציה. משטח עם שפה, אוריינטציה של משטח,  אוריינטציה מושרית על השפה. רוטור של שדה ווקטורי. משפט סטוקס.
# (3 שבועות) משפט סטוקס ב-<math>\ \mathbb{R}^3</math>:  משטח בעל אוריינטציה. משטח עם שפה, אוריינטציה מושרית על השפה. רוטור של שדה ווקטורי. משפט סטוקס.


== 88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות ==
== 88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות ==

גרסה מ־11:31, 15 ביולי 2015

למרצים. בדף זה מופיעה גרסה עדכנית (לתשע"ה) של כל הסילבוסים בקורסים של המחלקה למתמטיקה.

  • הגרסה בדף זה מתואמת עם ועדת ההוראה המחלקתית ומחייבת למרצים.
  • עליכם לעדכן גם את הגרסה לסטודנטים דרך מערכת השירות למרצה (לקראת סוף השנה, כאשר נקבע השיבוץ לשנה הבאה).

שאלה. אם יש מערכת אוניברסיטאית רשמית, לשם מה הדף הזה?

תשובה. דף זה משמש את ועדת ההוראה לעדכון שוטף של המערכת, בצמוד לשינויים במערכת השעות. המערכת האוניברסיטאית אינה מאפשרת עבודה על כמה קורסים במקביל, ואינה מאפשרת עדכונים שוטפים במהלך השנה. המרצה יכול להעזר בסילבוס המופיע כאן, על מנת לעדכן את הסילבוס הרשמי (המחייב כלפי הסטודנטים) על-פי שיקול דעתו.

הערות נוספות.

  • אנא פעלו לפי הסילבוס בקורסים שאתם מלמדים.
  • חשוב שתכירו את הסילבוסים של הקורסים השכנים: ידע על הקורסים שהסטודנטים כבר למדו יעזור לכם למנוע פערים או כפילויות מיותרות. הכרת הקורסים שהם אמורים ללמוד בעתיד תעזור לכם לתכנן את נקודת הסיום של הקורס.
  • כדי לבצע שינויים מינוריים ותיקוני סגנון, הרשמו לאתר, והעזרו בדוגמאות מקורסים אחרים.
  • אם אתם מעוניינים להצביע על תקלות או להציע שינויים משמעותיים, אנא התייעצו עם ראש ועדת הוראה.

88-112 אלגברה לינארית 1

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א' (קיץ לתלמידי התיכון).

  1. שדות – הגדרות, דוגמאות (הממשיים, הרציונליים, המרוכבים, השדות [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]) ותכונות יסוד. מאפיין.
  2. מערכות משוואות ליניאריות (שיטת האלימינציה של גאוס, הקשר בין מספר המשוואות, מספר המשתנים, וקיום פתרון או פתרונות. מרחב האפסים והפתרון למערכת לא הומוגנית).
  3. מרחבים וקטורים. קבוצה פורשת, תלות ליניארית, בסיס. הקשר ללמת צורן (בקצרה), מימד. המרחבים [math]\displaystyle{ \ F^n }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \ F[x] }[/math].
  4. קואורדינאטות של וקטור לפי בסיס.
  5. תת-מרחבים. סכום של תת-מרחבים, חיתוך של תת-מרחבים. משפט המימדים. סכום ישר.
  6. מטריצות (מלבניות וריבועיות) – חיבור, כפל, תכונות יסוד. דרגה של מטריצה (דרגת השורות שווה לדרגת העמודות).
  7. מטריצות אלמנטריות ופעולות על שורות ועמודות.
  8. הצגת מטריצה הפיכה כמכפלת מטריצות אלמנטריות. חישוב המטריצה ההופכית.
  9. העתקות ליניאריות בין מרחבים. איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים.
  10. הצגת העתקה ליניארית כמטריצה לפי בסיסים, ומטריצות מעבר בין בסיסים כמקרה פרטי.
  11. מעבר מבסיס לבסיס עבור הצגה של העתקה כמטריצה. מטריצות דומות.
  12. [math]\displaystyle{ \ \operatorname{im}(T) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \ \operatorname{ker}(T) }[/math].
  13. הקשר בין תכונות המטריצה המייצגת לתכונות ההעתקה (דרגה ומימדים), המשפט על [math]\displaystyle{ \dim(kerT)+\dim(ImT) }[/math], ומסקנתו למטריצות rankA+dim(nullA).
  14. תמורות, הרכבת תמורות. זוגיות של תמורה.
  15. דטרמיננטות (הגדרה כללית, נוסחאות למטריצות מסדר 2 או 3). פיתוח לפי שורה או עמודה. הקשר לפעולות אלמנטריות.
  16. דטרמיננטה של מכפלת מטריצות.
  17. המטריצה הנלוית adj(A) ותכונותיה. נוסחאות קרמר לחישוב ההופכי (כאשר detA≠0).

תקצירים מפורטים: העתקות לינאריות , דטרמיננטות.

88-113 אלגברה לינארית 2

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב' (סמסטר א' לתלמידי התיכון).

  1. ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים. ריבוי גיאומטרי.
  2. הפולינום האופייני. ריבוי אלגברי. משפט קיילי-המילטון.
  3. תת-מרחב אינווריאנטי. דמיון למטריצה משולשת. מטריצות לכסינות.
  4. הפולינום המינימלי. גורמים אי-פריקים של הפולינום האופייני והמינימלי.
  5. צורת ג'ורדן. פירוק מטריצות לבלוקים.
  6. מרחבי מכפלה פנימית. הנורמה המושרה.
  7. בסיס אורתוגונלי ואורתונורמלי. תהליך גרהם-שמידט.
  8. משפט ריס (במימד סופי).
  9. טרנספורמציות נורמליות, הרמיטיות, אוניטריות.
  10. ליכסון אוניטרי של מטריצות נורמליות מרוכבות וליכסון אורתוגונלי של מטריצות סימטריות ממשיות.
  11. פונקציונלים והמרחב הדואלי.

תקציר מפורט (של מרבית הקורס), חוברת על משפט ג'ורדן.

88-132 חשבון אינפינטיסימלי 1

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

  1. המספרים הממשיים
    1. שדות, שדות סדורים, תכונת ארכימדס
    2. תכונות היסוד של הממשיים; שלמותם וצפיפות הרציונאליים בתוכם
    3. קבוצות חסומות, החסם העליון והחסם התחתון
  2. סדרות
    1. התכנסות והתבדרות, ושאיפה ל-
    2. פעולות אריתמטיות על סדרות ואי-שוויונות בין סדרות וגבולותיהן
    3. סדרות מונוטוניות ויישומן בהגדרת "e" וחזקות של "e" ובהוכחת למת קנטור
    4. תת-סדרות וגבולות חלקיים, משפט בולצאנו-וירשטרס, גבול עליון וגבול תחתון
    5. נקודות הצטברות ומשפט בולצאנו-וירשטרס הטופולוגי
  3. טורים עם איברים קבועים
    1. סכומים חלקיים והגדרת התכנסות; משפטי ההתכנסות היסודיים
    2. טורים חיוביים ומשפטי התכנסות עבורם
    3. התכנסות בהחלט ועל תנאי, משפט לייבניץ, חוק החילוף, ומשפט רימן
    4. משפט אבל, כפל של טורים
  4. פונקציות ממשיות של משתנה אחד
    1. מושג הפונקציה, הגרף של פונקציה, וסקירת הפונקציות האלמנטאריות
  5. גבול של פונקציה
    1. הגדרת הגבול בגישת אפסילון-דלתא ובגישת הסדרות (היינה)
    2. גבולות חד-צדדיים
    3. משפטי הגבול היסודיים
  6. פונקציות רציפות
    1. הגדרת רציפות בנקודה ובקטע
    2. משפטי הרציפות היסודיים
    3. מיון של נקודות אי-רציפות
    4. תכונות היסוד של פונקציות רציפות; משפט ערך הביניים, קבלת מקסימום ומינימום בכל קטע סגור
    5. רציפות במידה שווה
    6. קומפקטיות, משפט היינה-בורל
    7. פונקציות הפיכות והפוכות
    8. הפונקציה [math]\displaystyle{ \ a^x }[/math]
  7. הנגזרת
    1. הגדרת הנגזרת ומשמעותה הגיאומטרית והפיסיקלית
    2. הכללים היסודיים של גזירה; חוק השרשרת; גזירת הפונקציה ההפוכה; נגזרות של פונקציות אלמנטאריות
    3. נגזרת מסדר כלשהו
    4. משפטי פרמה, רול, לגרנג' וקושי
    5. כלל לופיטל

88-133 חשבון אינפינטיסימלי 2

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. חקירת פונקציות.
  2. נוסחת טיילור הסופית עם שארית
    1. הערכת השארית
    2. חישובים מקורבים בעזרת נוסחת טיילור
  3. האינטגרל הלא מסויים
    1. הגדרה והכללים הבסיסיים.
    2. חישוב אינטגרלים לפי פירוק לשברים חלקיים, אינטגרציה לפי חלקים, שיטת ההצבה ושינוי משתנה.
  4. האינטגרל המסוים
    1. סכומי רימן והגדרת האינטגרל על פיהם.
    2. סכומי דרבו והאינטגרל העליון והתחתון.
    3. תנאים הכרחיים ומספיקים לאינטגרביליות.
    4. אינטגרביליות של פונקציות רציפות למקוטעין ופונקציות מונוטוניות למקוטעין.
    5. התכונות היסודיות של פונקציות אינטגרביליות ושל האינטגרל המסויים.
    6. המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי.
    7. משפט הערך הממוצע עבור אינטגרלים, נוסחת דרבו.
  5. אינטגרלים לא אמיתיים
    1. אינטגרלים שגבולותיהם אינסופיים.
    2. אינטגרלים של פונקציות לא חסומות.
    3. מבחני התכנסות והתכנסות בהחלט.
    4. המבחן האינטגרלי להתכנסות של טורי מספרים.
  6. סדרות וטורים של פונקציות
    1. תכונות כלליות
      1. התכנסות נקודתית ובמידה שווה.
      2. רציפות הפונקציה הגבולית.
      3. גזירה איבר-איבר.
    2. טורי חזקות
      1. התכנסות והתכנסות במידה שווה של טורי חזקות.
      2. רדיוס ההתכנסות.
      3. גזירה של טורי חזקות.
      4. פיתוח פונקציות אלמנטריות לטורי חזקות.
      5. חישובים מקורבים בעזרת טורי חזקות.
    3. טורי פוריה
      1. הגדרה של טור פורייה
      2. הוכחה שטור פורייה של פונקציה גזירה ברציפות מתכנס ושואף אליה
      3. חישוב סכומים של טורי מספרים בעזרת טורי פורייה

88-151 שימושי מחשב במתמטיקה

שעות. 2 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. הקדמה כללית ל-Maple ול-Matlab. היכרות עם הממשקים.
  2. משתנים והשמה. סוגים שונים של משתנים ב-Maple, בניית מטריצות ב-Matlab.
  3. תיכנות פשוט: for, if, while וכו'.
  4. פונקציות ב-Maple וב-Matlab.
  5. פתרון משוואות: הפונקציות הסטנדרטיות הרלוונטיות (solve ו-fsolve ב-Maple, fzero ו- roots ב-Matlab), שיטת ניוטון.
  6. נקודות קיצון: פתרון בעיות אנליטיות ב-Maple, שימוש ב-fminsearch ב-Matlab.
  7. אינטגרציה: פתרון בעיות אנליטיות ב-Maple, quad ו-dblquad ב-Matlab, כלל הטרפז.
  8. כלים אחרים לחדו"א ב-Maple. גבולות, סדרות, טורים, סכומים, מכפלות, טורי טיילור וכו'.
  9. כלים לאלגברה ליניארית ב-Matlab. דגש על (א) הפתרון של מערכות ליניאריות, במקרים של חוסר ועודף אילוצים בנוסף למקרה המאוזן ו-(ב) מציאת ערכים וווקטורים עצמיים. פתרון נוסחאות נסיגה למשוואה הומוגנית.
  10. גרפיקה ב-Maple וב-Matlab. כלים שונים לייצור איורים דו- ותלת-מימדיים.
  11. גאומטריה אנליטית. פתרון בעיות עם נקודות, ישרים, מעגלים, מישורים וכו'. המיון של עקומות ריבועיות במישור ומשטחים ריבועיים במרחב.

88-165 מבוא להסתברות וסטטיסטיקה

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב' (קיץ לתלמידי התיכון).

  1. מבוא לקומבינטוריקה: תמורות, בחירה עם החזרה וללא החזרה כשיש וכשאין חשיבות לסדר. מקדמים בינומיים ומולטינומיים. משולש פסקל, משפט הבינום והכללות. עקרון ההכלה וההדחה.
  2. מרחבי הסתברות בדידים: הגדרה, מאורעות, תכונות של פונקצית ההסתברות. נוסחת ההכלה וההדחה. הסתברות מותנית, נוסחת ההסתברות השלמה, חוק בייס. תלות ואי-תלות, אי-תלות משותפת.
  3. משתנים מקריים בדידים: הגדרה, דוגמאות, הקשר למאורעות. ממוצע של מדגם. תוחלת של משתנה ושל פונקציה. התפלגות משותפת. תוחלת מותנה, תוחלת חוזרת. שונות של מדגם. שונות של משתנה מקרי. נוסחת הפירוק לשונות. שונות משותפת ומקדם המתאם, תכונות של תוחלת ושונות, מומנטים. סטטיסטיי הסדר.
  4. התפלגויות בדידות: אחידה, ברנולי, בינומית, פואסון, גאומטרית, בינומית שלילית, היפר-גאומטרית. קשרים בין התפלגויות לרבות קירוב פואסוני להתפלגות בינומית. דוגמאות.
  5. מרחב הסתברות כללי. סיגמא-אלגברות. אלגברת בורל ומשתנים מקריים ממשיים.
  6. פונקצית התפלגות והקשר למשתנים מקריים. פונקצית צפיפות. משתנים רציפים. צפיפות משותפת, צפיפות שולית וצפיפות מותנית. טרנספורמציה של משתנים (חד-ממדית, דו-ממדית). קונבולוציה. תוחלת, שונות, מקדם מתאם ומומנטים עבור משתנים רציפים.
  7. התפלגויות רציפות: אחידה, מעריכית, נורמלית תקנית; נורמלית. התפלגות כי-בריבוע, התפלגות t והתפלגות F.
  8. אי-שוויוני מרקוב וצ'ביצ'ב. פונקציות יוצרות מומנטים: דוגמאות ושימושים. החוק החלש של המספרים הגדולים. החוק החזק (ללא הוכחה). הבדלים ודוגמאות. משפט הגבול המרכזי (עם הוכחה בהנחת היחידות של פונקציה יוצרת מומנטים). הקירוב הנורמלי להתפלגות בינומית (לפי CLT, ללא חסמים). דוגמאות (מהלך מקרי).
  9. אופציונאלי: שרשראות מרקוב סופיים: דוגמאות, התפלגות סטציונרית, הסתברויות ספיגה ותוחלת של זמן המתנה.
  10. אוכלוסיה ומדגם. תוחלת ושונות של הממוצע. אמידה נקודתית, אומד חסר הטיה. שיטת הנראות המכסימלית ואומד נראות מכסימלית. אמידה של תוחלת ושונות בהתפלגות נורמלית.
  11. רווחי סמך: רווח סמך לתוחלת בהתפלגות נורמלית (שונות ידועה ולא ידועה). רווח סמך לשונות. רווח סמך להפרש תוחלות עם שונויות ידועות; לא ידועות אך שוות; לא ידועות.
  12. בדיקת השערות (כאשר H0 נקודתית): טעות מסוג ראשון וטעות מסוג שני. הערכת גודל המדגם. בדיקת השערות על התוחלת בהתפלגות נורמלית (חד-צדדית ודו-צדדית).

אתר הקורס. 88-165 מבוא להסתברות וסטטיסטיקה

הערה למרצים. זהו הקורס היחיד בסטטיסטיקה לכל תלמידי המחלקה. אנא הקפידו להקדיש די זמן לנושאים 10-12. בניית קו רגרסיה מכוסה בקורס #88-151 שימושי מחשב.

88-170 מבוא לחישוב

שעות. 2 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

  1. מבוא למחשב
  2. משתנים וטיפוסים
  3. אופרטורים
  4. תנאים וללואות
  5. פונקציות
  6. מערכים ומחרוזות
  7. מצביעים
  8. הקצאות זכרון דינאמיות
  9. מבנים
  10. רקורסיה
  11. קבצים וקדם-מהדר
  12. סיביות ונספחים
  13. השלמות וחזרה

88-174 תכנות מונחה עצמים

שעות. 2 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. מבוא ל C++, הגדרת טיפוס נתונים מופשט, מבוא לתכנות מונחה עצמים.
  2. הגדרת מחלקה, הגדרת אובייקט, מתודות ותכונות של מחלקה, עקרון הסתרת המידע, פרטי וציבורי.
    1. יצירת טיפוס נתונים חדש על ידי שימוש באובייקטים קיימים.
    2. פונקציות בניה והריסה, פונקציות העתקה, יצירה דינאמית, סדר בניה והריסה, שורת איתחול.
    3. אובייקטים זמניים, הגדרת אופרטורים כחברי מחלקה, אופרטור השמה, בנאי ישיר.
    4. יצירת טיפוסים חדשים ממחלקות קיימות, מחלקות בסיס ומחלקות בן, סדר קריאה בבניה והריסה, ירושה מרובה וירושה וירטואלית.
  3. פונקציות וירטואליות וטבלאות וירטואליות, מחלקות ממשיות ואבסטרקטיות, RTTI.
    1. שימוש במשתנים, אובייקטים קבועים, משתנים ופונקציות סטטיים, פונקציות inline, namespaces.
    2. שימוש בספריות fstream.
    3. שימוש ב-containers, הכרות עם ספריית ה-STL.
    4. עקרונות עיצוב וניתוח מונחה עצמים, הכרות עם design patterns.

88-195 מתמטיקה בדידה

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א' (קיץ לתלמידי התיכון).

  1. לוגיקה 1 (תחשיב הפסוקים): הצרנה, קשרים לוגיים, טבלת אמת, שקילות לוגית, תכונות הקשרים (בפרט: חוקי דה מורגן), טאוטולוגיה, סתירה; כמתים, משמעותם ושלילתם.
  2. מבוא לתורת הקבוצות: קבוצה, איברים, השתייכות, תיאור קבוצה ע"י רשימה וע"י תכונה, שוויון קבוצות, שלילה של כמתים (אי-שוויון קב'), הכלה, קבוצה ריקה, איחוד, דיאגרמת וון, לוח השתייכות, חיתוך, קבוצות זרות, הפרש, הפרש סימטרי, משלים, תכונות הפעולות (בפרט: קיבוץ/אסוציאטיביות, פילוג/דיסטריבוטיביות, חוקי דה-מורגן), איחוד כללי, חיתוך כללי, קבוצת החזקה, זוג סדור, מכפלה קרטזית.
  3. לוגיקה 2 (תחשיב הכמתים): הסבר לא פורמלי של המושגים: נוסחה, כללי היסק (עם דוגמאות), הוכחה, הוכחה בדרך השלילה. אינדוקציה, לרבות אינדוקציה שלמה, ודוגמאות.
  4. יחסים: יחס, יחס רפלקסיבי, סימטרי, טרנזיטיבי, יחס שקילות, הסגור הטרנזיטיבי של יחס, מחלקת שקילות, קבוצת המנה, חלוקה של קבוצה, שקילות המושגים יחס וחלוקה.
  5. יחסי סדר: סדר חלקי, דיאגרמת Hasse, איבר מינימלי, איבר מקסימלי, איבר קטן ביותר (קטן מכל האחרים), איבר גדול ביותר, היחס ההפוך, חסם מלעיל/מלרע, חסם עליון /סופרמום, חסם תחתון/אינפימום, סדר מלא/קוי, שרשרת.
  6. פונקציות: תחום ותמונה של יחס, יחס חד-ערכי, פונקציה, פונקציה חח"ע, פונקציה על, הרכבת פונקציות, מסקנות מחח"ע/על של הרכבה, פונקצית הזהות, פונקציה הפיכה, יחידות ההופכית, אפיון הפיכה כחח"ע ועל, תמונה ומקור (תמונה הפוכה) של קבוצות, תמונה ומקור של איחוד/חיתוך, צמצום של פונקציה, פונקציות מוגדרות היטב על קבוצת מנה.
  7. עוצמות: שוויון עוצמות, קבוצה סופית/אינסופית, המלון של הילברט; השוויון מוגדר היטב והוא יחס שקילות בין עוצמות; אי-שוויון בין עוצמות ועקרון שובך היונים (כולל דוגמאות קומבינטוריות); קבוצה בת-מניה, אלף-אפס הוא הקטן מכל העוצמות האינסופיות; הקשר בין עוצמות כשיש פונקציה על, משפט קנטור-ברנשטיין; עוצמת הרציונליים, איחוד בן-מניה של קבוצות בנות-מניה הוא בן-מניה; משפט קנטור על עוצמת קבוצת החזקה, עוצמת הרצף.
  8. פעולות בין עוצמות: חיבור, כפל וחזקה של עוצמות - הגדרה, אריתמטיקה של עוצמות, העדר צמצום בחיבור וכפל עוצמות.
  9. תורת הגרפים (משך: כשבוע וחצי): מבוא - בעית גשרי קניגסברג; גרף מכוון (יחס), גרף לא מכוון כיחס סימטרי וכקבוצה עם אוסף זוגות לא סדורים, לולאות וצלעות כפולות, תת-גרף, שכנות, מסלול, גרף קשיר, רכיבי קשירות, מסלול ומעגל אוילר, קריטריון לקיום מסלול או מעגל אוילר, מסלול ומעגל המילטוני; משפחות מיוחדות של גרפים: גרף שלם ומס' צלעותיו, גרף דו-צדדי, גרף דו-צדדי שלם ומס' צלעותיו, עץ, יער, תנאים שקולים לעץ. אם נותר זמן, צביעת קודקודים.

לתשומת לב המרצה: קומבינטוריקה מכוסה ב-88-165; נוסחאות נסיגה ב-88-151; הלמה של צורן ב-88-222 וב-88-202.

לסטודנטים: אתם מוזמנים לקרוא על הלמה של צורן ושימושיה לחישובי עוצמות, בקישור.

88-201 גאומטריה אנליטית ודיפרנציאלית

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב' (קיץ לתלמידי התיכון).

  1. גאומטריה אנליטית (3-4 שבועות)
    1. ווקטורים במישור ובמרחב. המכפלות הסקלרית, הווקטורית והמשולשת. שטח של מקבילית ונפח של מקבילון. שיקופים, סיבובים והחבורה האוקלידית.
    2. גאומטריה של המישור: עקומות (הצגות מפורשות, סתומות ופרמטריות). המיון של עקומות ריבועיות. תכונות גאומטריות של מעגלים, אליפסות, היפרבולות ופרבולות. קואורדינטות קוטביות.
    3. גאומטריה תלת-מימדית: ישרים ומישורים במרחב. משוואות של עקומות ומשטחים במרחב. המיון של משטחים ריבועיים. קואורדינטות קוטביות וגליליות.
  2. גאומטריה דפרנציאלית (6 שבועות)
    1. עקומות במרחב: אורך, שקילות של עקומות, עקמומיות, עיקול ומשוואות פרנה-סרה. המשפט היסודי של עקומות.
    2. משטחים: המישור המשיק, התבנית היסודית הראשונה, אורך ושטח. קווים גאודזיים (כנקודות שבת של האנרגיה). העתקת גאוס, התבנית היסודית השניה, עקמומיות נורמלית, עקמומיות עיקרית, עקמומיות גאוס ועקמומיות ממוצעת. המשפט של גאוס Theorema Egregium והמושג של גאומטריה עצמית. (לפי זמן – משוואות Mainardi-Codazzi והמשפט היסודי של משטחים).
  3. דוגמאות והכללות. (3-4 שבועות)
    1. גאומטריה ספרית: ישרים ספריים, משולשים ספריים (חוק הסינוסים, חוק הקוסינוסים, שטח), הטלה סטראוגרפית, טרנספורמציות מוביוס.
    2. מבוא לגאומטריה היפרבולית: המודלים של פאונקרה למישור ההיפרבולי והמטריקות שלהם. קווים גאודזיים. משולשים היפרבולים (חוק הסינוסים, חוק הקוסינוסים, שטח). חבורת האיזומטריות.
    3. גאומטריה ללא מטריקה: אקסיומות לגאומטריה היפרבולית. מרחב אפיני ומרחב פרוייקטיבי. אקסיומות לגאומטריה פרוייקטיבית.

88-202 תורת הקבוצות

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. האקסיומות של תורת הקבוצות: פרדוקסים של שפה טבעית (בארי) ופרדוקסים מתמטיים (ראסל), שפה מתמטית, אקסיומות ZFC.
  2. מספרים סודרים: קבוצות סדורות היטב, המשפט על השוואת קבוצות סדורות היטב, מספרים סודרים, סודרים כצורות קאנוניות של קבוצות סדורות היטב, טיפוס סדר של קבוצה סדורה היטב, חיבור סודרים, כפל סודרים.
  3. אינדוקציה טרנספיניטית: מחלקות ופונקציות מחלקה, משפט האינדוקציה הטרנספיניטית, הגדרה ברקורסיה טרנספיניטית. שימושים: הוכחת עקרון הסדר הטוב, הוכחת הלמה של צורן, קבוצת ברנשטיין. חזקות סודרים ומשפט Goodstein.
  4. עוצמות וקופינליות: עוצמות כסודרים תחיליים. מסקנות: השוואת עוצמות היא טרנזיטיבית, אנטי-סימטרית (משפט קנטור-ברנשטיין), ומלאה. האלפים של קנטור. קופינליות של סודר ותכונותיה הבסיסיות, למת קניג והאילוץ על עוצמת הרצף, חשבון עוצמות בסיסי, סכומים ומכפלות כלליים של עוצמות.
  5. מערכות המספרים: הטבעיים (ממומשים ע"י אומגה), השלמים והרציונלים (ע"י מחלקות שקילות), הממשיים (חתכי דדקינד) ותכונותיהם הבסיסיות (כולל תכונת החסם העליון מאינפי'). כל סדר קוי בן מניה צפוף לא חסום הוא איזומורפי-סדר לרציונלים (טיעון הלוך-ושוב של קנטור), שימוש: גרפים אקראיים בני מניה הם איזומורפיים בהסתברות 1, הממשיים הם הסדר השלם היחיד שיש בו קבוצה צפופה איזומורפית-סדר לרציונלים. היחידות של שדה סדור שלם.
  6. השערת הרצף: משפט קנטור-בנדיקסון.

אתר הקורס. כאן

88-211 אלגברה מופשטת 1

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א' (קיץ לתלמידי התיכון).

  1. מבוא.
    1. חבורות למחצה ומונוידים – הגדרה אקסיומטית. יחידה מימין ומשמאל, הפכי מימין ומשמאל. מונויד סופי עם צמצום הוא חבורה.
    2. אקסיומות החבורה. תכונות בסיסיות. חבורות אבליות ולא אבליות. דוגמאות: חבורות מטריצות וחבורות חפשיות. מכפלה ישרה חיצונית.
    3. תת-חבורות, המרכז, יוצרים ויחסים.
    4. מחלקות ימיניות ושמאליות, משפט לגרנז'. האינדקס של תת-חבורה. סדר של איבר. המשפט הקטן של פרמה. חבורות ציקליות ומיונן.
    5. חבורת אוילר. משפט אוילר.
    6. מכפלה של תת-חבורות.
  2. הומומורפיזמים.
    1. הומומורפיזם ואיזומורפיזם.
    2. תת-חבורות נורמליות וחבורות מנה. חבורות פשוטות.
    3. משפטי האיזומורפיזם.
    4. הצגה על-ידי יוצרים ויחסים.
  3. החבורות הסימטריות.
    1. החבורות הסימטריות. הצמדה ומבנה מחזורים.
    2. הומומורפיזם הסימן. חבורת התמורות הזוגיות. הוכחה ש-An פשוטה ושאין ל-Sn תת-חבורות נורמליות אחרות.
  4. פעולת חבורה על קבוצה.
    1. פעולת חבורה על קבוצה, מסלולים ומייצבים. פעולה טרנזיטיבית.
    2. חבורות דיהדרליות.
    3. משפט קיילי.
    4. מחלקות צמידות. מרכז ומנרמל.
    5. חבורת האוטומורפיזמים.
  5. משפטי סילו.
    1. חבורות-p ומשפט קושי.
    2. משפטי סילו: הוכחה, יישומים.
  6. חבורות אבליות.
    1. האקספוננט. משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית.
  7. סדרות הרכב.
    1. סדרות נורמליות וסדרות הרכב.
    2. חבורת הקומוטטורים. חבורות פתירות. כאשר N נורמלית ב-G, G פתירה אם ורק אם N ו- G/N פתירות.
    3. סדרות מרכזיות. חבורה נילפוטנטית. הסדרה המרכזית העולה והיורדת.

דרישות קדם. אלגברה לינארית 2.

אתר הקורס. 88-211 אלגברה מופשטת 1

88-212 אלגברה מופשטת 2

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. מבוא.
    1. הגדרה אקסיומטית. דוגמאות.
    2. תת-חוג. אידיאל ימני ושמאלי. אידיאל. אידיאל ראשי.
    3. פעולות באידיאלים: סכום, מכפלה, חיתוך.
  2. משפטי איזומורפיזם.
    1. חוג מנה.
    2. אידיאל ראשוני ומקסימלי. חוג ראשוני וחוג פשוט. כל אידיאל מקסימלי הוא ראשוני. חוג פשוט קומוטטיבי הוא שדה.
    3. כל אידיאל מוכל באידיאל מקסימלי.
    4. משפטי האיזומורפיזם. משפט ההתאמה על אידיאלים.
    5. משפט השאריות הסיני.
  3. תחומי שלמות.
    1. מחלקי אפס וההגדרה של תחומי שלמות. חוג ראשוני קומוטטיבי הוא תחום שלמות.
    2. תחום שלמות = תת-חוג של שדה.
    3. איברים הפיכים. יחס החילוק ויחס החברות. תרגום לשפת האידיאלים הראשיים.
    4. איבר ראשוני ואי-פריק. כל איבר ראשוני הוא אי-פריק.
    5. חוג אוקלידי. דוגמאות: השלמים; חוגי פולינומים מעל שדה.
    6. חוג ראשי. כל חוג אוקלידי הוא ראשי. בחוג ראשי, אם a אי-פריק אז Ra מקסימלי. לכן: איבר אי-פריק הוא ראשוני; אידיאל ראשוני לא 0 הוא מקסימלי.
    7. תחום פריקות יחידה. כל חוג ראשי הוא תחום פריקות יחידה. כל איבר אי-פריק הוא ראשוני.
  4. פולינומים ושדות.
    1. בחוג הפולינומים מעל שדה, לכל פולינום יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים.
    2. הומומורפיזם ההצבה ופולינום מינימלי. איבר אלגברי והמעלה של איבר.
    3. סיפוח שורש של פולינום אי-פריק. לכל פולינום, מעל כל שדה, יש שדה מפצל.
    4. תכולה של פולינום מעל תחום פריקות יחידה, והלמה של גאוס. הרחבת תחום פריקות יחידה במשתנה אחד שומרת על תכונה זו.
    5. קריטריון אייזנשטיין. קיום שורשים רציונליים.
  5. מודולים.
    1. הגדרה. דוגמאות. משפטי האיזומורפיזם.
    2. קבוצה פורשת. מודול נוצר סופית.
    3. קבוצה בלתי-תלויה. בסיס. מודול חופשי. דרגה. מודול ציקלי.
    4. מעל חוג ראשי תת-מודול של מודול חופשי הוא חופשי.
    5. משפט המבנה למודולים נוצרים סופית מעל תחום ראשי. שימושים למיון חבורות אבליות נוצרות סופית ולצורה הרציונלית של מטריצות. צורת ז'ורדן.

דרישות קדם. אלגברה מופשטת 1 או 89-214 (מבנים אלגבריים 1 למדעי המחשב).

אתר הקורס: 88-212 אלגברה מופשטת 2

88-222 טופולוגיה

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. מרחבים מטריים: פונקציות רציפות, תתי מרחבים, קבוצות פתוחות, קומפקטיות.
  2. הגדרת מרחב טופולוגי, רציפות, תתי מרחבים, סגור של קבוצה, צפיפות.
  3. קשירות: תכונות, מרכיבי קשירות, תתי המרחב הקשירים של הממשיים.
  4. קשירות מסילתית: תכונות, מרכיבי קשירות מסילתית. דוגמה למרחב קשיר שאינו קשיר מסילתית.
  5. מרחבים קומפקטיים: תכונות, יחסים בין תכונת הקומפקטיות לתכונת האוסדורף
  6. מרחבי מנה: תכונות, דוגמאות.
  7. טופולוגית המכפלה, משפט טיכונוף.
  8. תכונות הפרדה: הכרת תכונות ההפרדה השונות, והקשרים ביניהם. הלמה של יוריסון. פיצול יחידה.
  9. הגדרת יריעה, שיכון של יריעה במרחב אוקלידי.

88-230 חשבון אינפינטיסימלי 3

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

  1. המרחב [math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math]: חיבור ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math] וכפל בסקלר. ישרים והיפר מישורים ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math], המכפלה הוקטורית (ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^3 }[/math]). הטופולוגיה של [math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math] לפי הנורמות השקולות [math]\displaystyle{ \ \vert\cdot\vert_p }[/math], קבוצות פתוחות וסגורות קומפקטיות וקשירות.
  2. תורת הגבולות ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math]: גבול של פונקציות ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math], רציפות של פונקציות, אריתמטיקה של גבולות, גבולות חוזרים, מסילות ומשפט ערך הביניים.
  3. גזירה: נגזרת חלקית, נגזרת כיוונית, דיפרנציאביליות, גרדיינט, הדיפרנציאל והדיפרנציאל השלם, כלל השרשרת, היעקוביאן, נגזרות חלקיות מסדר גבוה, המחלקות [math]\displaystyle{ \ D^r }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \ C^r }[/math].
  4. נוסחת טיילור. סימון אינדקס מרובב, הבינום המוכלל של ניוטון, דיפרנציאלים מסדר גבוה, פולינום טיילור, נוסחת טיילור, השארית בצורת פאנו והשארית בצורת לגרנז', הערכה של שארית לגרנז', טור טיילור.
  5. משפט הפונקציה הסתומה. משפט הפונקציה הסתומה עבור פונקציה ממשית ועבור פונקציה וקטורית. הדיפרנציאל והנגזרות החלקיות של פונקציה סתומה, הקשר בין היעקוביאן להעתקה פתוחה ולקיום העתקה הפוכה מקומית. K-משטחים דיפרנציאביליים כקבוצות רום של העתקות דיפנרציאליות רגולריות. המרחב המשיק והמרחב הניצב למשטחים כאלה.
  6. נקודות קיצון של פונקציה ממשית. תנאים הכרחיים לקיצון מקומי בעזרת הדיפרנציאלים הראשון והשני. תנאים מספיקים בעזרת הדיפרנציאל השני. בעיות קיצון עם מספר אילוצים- לפי חילוץ ולפי שיטת כופלי לגרנז'.
  7. האינטגרל של רימן ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math]: הגדרה לפי גישת רימן ולפי גישת דרבו, משפט פוביני,זניחות האינטגרל על קבוצה בעלת נפח אפס, משפט חילוץ המשתנים: הוכחה עבור החלפת משתנים לינארית. סקירת ההוכחה השלמה. קואורדינטות קוטביות, גלילויות וכדוריות. אינטגרל לא אמיתי, חישוב של אינטגרל גאוס. חישוב שטחים ונפחים. שימושים כגון חישוב מסה וחישוב מרכז כובד.

88-231 פונקציות מרוכבות

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. מספרים מרוכבים.
    1. הגדרות ותכונות יסודיות.
    2. המישור המרוכב וההצגה הקטבית.
    3. אלגברה במרוכבים וחישוב שרשים.
  2. חשבון דיפרנציאלי בתחום המרוכב:
    1. גבולות של סדרות, טורים ופונקציות מרוכבות.
    2. הגדרה ותכונות של הנגזרת.,והגדרת אנליטיות.
    3. משואות קושי-רימן.
    4. הגדרה ואנליטיות של פונקציות אלמנטריות בתחום המרוכב.
    5. פונקציות הרמוניות.
  3. יסודות האינטגרציה.
    1. האינטגרל הקוי המרוכב.
    2. פונקציות קדומות ואי-תלות במסילה.
    3. משפט קושי ונוסחת קושי.
    4. משפט מוררה ומשפט ליוביל.
    5. המשפט היסודי של אלגברה.
  4. טורי חזקות ושיםושיהם.
    1. אנליטיות של טורי חזקות.
    2. אפיון רדיוס ההתכנסות.
    3. טורי טיילור
    4. פיתוח טיילור של פונקציות אלמנטריות.
    5. אפסים של פונקציות אנליטיות.
    6. מיון נקודות סינגולריות מבודדות.
    7. טורי לורן.
  5. תורת השארית.
    1. הגדרה וחישוב השארית.
    2. משפט השארית.
    3. חישוב אינטגרלים ממשים בעזרת שאריות.
    4. עיקרון הארגומנט.
    5. משפט רושיי.
  6. מבוא להעתקות קונפורמיות.
    1. העתקות אנליטיות והעתקות קונפורמיות.
    2. טרנספורמציות מביוס.
    3. העתקות ע"י פונקציות אלמנטריות.

88-235 אנליזת פורייה ויישומים

שעות. 3 הרצאה. סמסטר ב' (קיץ לתלמידי התיכון).

  1. מרחבי מכפלה פנימית . הגדרה של מכפלה פנימית, הנורמה, אי-שיוויון קושי-שוורץ, תהליך גרם-שמידט. מערכות אורתוגונליות ומערכות אורתונורמליות, מקדמי פורייה, משפט פיתגורס, הטלות אורתוגונליות, אי-שיוויון בסל. מערכות אורתוגונליות אינסופיות, הלמה של רימן-לבג, שיוויון פרסבל, סגירות ושלמות. (2 שבועות)
  2. טורי פורייה טריגונומטריים . טורי פורייה בייצוג הטריגונומטרי ובייצוג המעריכי, בקטע [π,π-] ובקטע כללי. פונקציות זוגיות ואי זוגיות, טורי קוסינוס וטורי סינוס. התכנסות נקודתית, משפט דיריכלה, התכנסות במידה שווה, שיוויון פרסבל, התכנסות בנורמה. תופעת גיבס. גזירה ואינטגרציה של טורי פורייה. (3 שבועות)
  3. מערכות שטורם-לייוביל וטורי פורייה כלליים . אופרטורים דיפרנציאליים מדרגה 2 צמודים לעצמם, מערכות שטורם-לייוביל, אורתוגונליות של פונקציות עצמיות. פיתוחים בטורים של פונקציות עצמיות. דוגמאות הכוללות פונקציות בסל, פולינומי לז'נדר ופולינומי צ'ביצ'ף. (3 שבועות)
  4. מבוא להתמרת פורייה . הגבול של טור פורייה על קטע אינסופי. הגדרת התמרת פורייה. קיום ותכונות של ההתמרה. משפט ההתמרה ההופכית (ללא הוכחה). נוסחת פלנשרל (ללא הוכחה). קיפול (קונבולוצייה), משמעותו ויישומו. (2 שבועות)
  5. התמרת פורייה הבדידה. התמרת פורייה הבדידה והפיכתו, אוניטריות, משפט פלנשרל, קיפול. היחס בין טורי פורייה, התמרת פורייה, התמרת פורייה הבדידה בזמן והתמרת פורייה הבדידה. Aliasing. יישום בדחיסת אות. (2 שבועות)

88-236 חשבון אינפינטיסימלי 4

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

קורס באנליזה וקטורית ואינטגרציה על עקומות ומשטחים. מטרה עיקרית של הקורס היא ללמד את משפטי גרין, גאוס (משפט הדיברגנץ) וסטוקס.

  1. (3.5 שבועות) אינטגרלים קוויים ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math]: מסילה בעלת אורך, מסילה חלקה למקוטעין, פרמטריזציה של מסילות. אינטגרל של פונקציה לפי אורך המסילה. תבנית לינארית דיפרנציאלית ושדה וקטורי. תבנית דיפרנציאלית סגורה, תבנית דיפרנציאלית מדוייקת, שדה משמר (שדה פוטנציאל). אינטגרל קווי של תבנית דיפרנציאלית (או של שדה וקטורי). למת פואנקרה, משפט גרין במישור.
  2. (3.5 שבועות) אינטגרלים משטחיים ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math]: משטח k-מימדי ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math]. הצגה פרמטרית של משטח, הצגה של משטח כגרף, הצגה של משטח ע"י מערכת משוואות. מרחב משיק למשטח בנקודה. היפר-משטחים, נורמל להיפר-משטח בנקודה. חישוב שטח של משטח. אינטגרל של פונקציה לפי שטח. שימושים כגון חישוב מסה של משטח ומרכז כובד.
  3. (3 שבועות) משפט הדיברגנץ ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^n }[/math]: שטף של שדה ווקטורי דרך היפר-משטח. דיברגנץ של שדה ווקטורי. משפט הדיברגנץ. שימושים (נוסחאות גרין, פונקציות הרמוניות).
  4. (3 שבועות) משפט סטוקס ב-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{R}^3 }[/math]: משטח בעל אוריינטציה. משטח עם שפה, אוריינטציה מושרית על השפה. רוטור של שדה ווקטורי. משפט סטוקס.

88-240 משוואות דיפרנציאליות רגילות

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

  1. המושג של משוואה דיפרנציאלית רגילה (מד"ר), מיון ודוגמאות.
  2. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון
    1. מד"ר מסדר ראשון ליניאריות הומוגניות.
    2. מד"ר ליניארית מסדר ראשון ליניאריות לא הומוגניות ( שיטת וריאציות מקדמים)
    3. מד"ר מסדר ראשון לא ליניאריות, הפרדת המשתנים, משוואות מדויקות, גורם אינטגרציה.
    4. צורה כללית של מד"ר, פתרון כללי, פתרון סינגולרי, תנאי התחלה, בעיית קושי.
    5. משוואות קלרו ורקטי.
    6. משפט קיום ויחידות של מד"ר מסדר ראשון.
  3. משוואות דיפרנציאליות מסדר n <1
    1. מד"ר ליניאריות הומוגניות מסדר n >1 עם מתקדמים קבועים.
    2. אופרטור לינארי מסדר (n) עם מקדמים קבועים .
    3. מערכת פונקציות תלו-לינארית ובלתי תלו לינארית, מושג של ורונסקיאן.
    4. משוואות מסדר גבוה, נסיגה של סדר נגזרת.
    5. משפט ליוביל.
    6. מד"ר לינאריות לא הומוגניות מסדר 1<n עם מקדמים קבועים - שיטת הבחירה.
    7. גישה כללית לפתירת אופרטור לינארי לא הומוגני – שיטת לגרנז' (וריאצית מקדמים).
  4. מערכת משוואות דיפרנציאליות לינאריות
    1. ניסוח תנאי התחלה למערכות לינאריות ומשפט קיום-יחידות למערכת לינארית.
    2. שיטות לפתירת מערכת מד"ר ליניארית עם מתקדמים קבועים.
  5. המשוואות הדיפרנציאליות מסדר 2
    1. פתירת מד"ר על-ידי טורי חזקות, נקודות סינגולריות ומיון של נקודות סינגולריות למד"ר.
    2. משוואות לז'נדר, פולינומים לז'נדר, מערכת אורתונורמלית וקשר עם מד"ר.
    3. טור פרובניוס (טור חזקות מוכלל) ומשפט פרובניוס.
  6. משוואות בסל ופוקנציות בסל ותכונותיה.
  7. בעית שטורם ליאוביל, אופרטור גרין

88-241 משוואות דיפרנציאליות חלקיות

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

  1. מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות. חזרה על מד"ר; מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות; תרגילים; משפט קושי-קובלסקיה, קיום ויחידות (ניסוח).
  2. משוואה לינארית וקואזילינארית מסדר ראשון
  3. מיון של משוואות דיפרנציאליות חלקיות מסדר 2. סוגי עקומות ומשטחים מסדר 2; היפרבולות; פרבולות; אליפטים; תרגילים;
  4. משוואת תנודת המיתר (משוואת הגלים). שיטת דלמבר; שיטת פוריה או שיטת הפרדת המשתנים; בעיית תנודת המיתר המוחזק משני צדדיו; משוואת מיתר עם תנודה מאולצת (לא תנודה חופשית); טרנספורמציה מתנאים לא הומוגנים לתנאים הומוגנים; תנודה עצמית ותכונותיה.
  5. משוואות החום. תורת השדה; הצגה אינטגרלית של פתרון משוואת החום – שיטת פוריה; אנליזה – חזרה; שינוי משתנים וטרנספורמציה בתוך משוואת החום; פתרונות למשוואת החום כאשר המוט אינסופי, מוחזק מצד אחד ומוחזק משני צדדים; פונקציה יסודית (פונדמנטלית) ותכונותיה; עיקרון המקסימום של משוואת החום; משפט היחידות; דוגמאות; משוואת החום לא הומוגנית; משוואת החום עם תנאים לא הומוגנים.
  6. משוואה אליפטית. בעיית דיריכלה במימדים 1,2,3; אנליזה וקטורית – חזרה; פתרונות בעיית דיריכלה למשוואת לפלס על-פי פונקצית גרין; בעיית נוימן; בעיית נוימן על-פי שיטת פונקצית גרין; בעיית דיריכלה למשוואת לפלס ב- בעיגול על-פי שיטת פוריה; פתרון בעיית דיריכלה למעגל לפי שיטת נקודה סימטרית; בעיית דיריכלה למלבן בשביל משוואת לפלס; משוואת פואסון.

88-260 רגרסיה וניתוח שונות

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. רגרסיה פשוטה: שיטת הריבועים הפחותים, חישוב אומדים, ניתוח שונות, הערכת רגרסיה על ידי התפלגותF , רווחי סמך עבור המקדמים, הסטטיסטי . בדיקת ההשערה . אי-התאמה ושגיאה מקרית.
  2. התפלגות רב-נורמלית. הוכחת אי-תלות בין הממוצע לשונות המדגם.
  3. רגרסיה רב- משתנית: שימוש במטריצות לחישוב אומדים. משפט גאוס-מרקוב. ניתוח שונות, הערכת רגרסיה על ידי התפלגותF , רווחי סמך עבור מקדמים, הסטטיסטי . רווח-סמך עבור תצפית חדשה.
  4. רגרסיה משוקללת: חישוב אומדים. חישוב סטיית המודל.
  5. בדיקת שאריות: בדיקת נורמאליות, מבחן סימנים, מבחן.Durbin-Watsoin
  6. מודלים מורכבים: משתני דמי, החלפת משתנים.
  7. קביעת הרגרסיה הטובה ביותר: שיטת Backward ו-Forward. שיטת Stepwise. שיטת Press.
  8. רגרסיה לא –ליניארית: שיטת הריבועים הפחותים, לינאריזציה, שיטת המורד התלול ביותר.
  9. ניתוח שונות: חד –כיווני, דו-כיווני בלי אינטראקציה, דו-כיווני עם אינטרקציה, שימוש בריבועים לטיניים.
  10. המודל הלוגיסטי: הצגת המודל, אמידת הפרמטרים, מובהקות הפרמטרים.

88-266 תורת התורים

שעות. 2 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר א'.

  1. בעית התורים.
  2. התפלגות ארלנג.
  3. מאפייני התור.
  4. תהליך פואסון ואפיונים. קשר בין תהליך פואסון להתפלגות מעריכית.
  5. מודלים מעריכיים עבור תורים בעלי שרת אחד (M/M/1). המשוואות הדיפרנציאליות של המערכת, יציבות, חישוב מידות יעול, התפלגות זמני המתנה, נוסחת LITTLE
  6. תורים עם תכולה מוגבלת (M/M/1/K), הסתברויות חולפות.
  7. מודלים מרקוביים, תהליכים לידה ומיתה, תורים מקבילים (M/M/C), תורים מקבילים עם תכולה מוגבלת (M/M/C/K), נוסחת ERLANG עבור (M/G/C/C).
  8. תורים עם "שרת רחב"(M/M/∞).
  9. תורים עם מספר צרכנים מוגבל, תורים בהם זמן שרות תלוי בתור.
  10. תורים עם אי-סבלנות.
  11. הופעות או שרות בקבוצות (M^[x]/M/1), מודלים של ארלנג (M/E_k/1).

88-268 הדמיה וחבילות סטטיסטיות

שעות. 3 הרצאה. סמסטר ב'.

1) יצירת מספרים אקראיים (התפלגות אחידה): הצורך במספרים אקראיים, אמצעים פיזיים ליצירת מספרים אקראיים, מספרים פסידו-אקראיים, שימוש בקונגרואנציות 2) יצירת מספרים אקראיים (התפלגויות שונות): התפלגות נורמלית: משפט הגבול המרכזי, התפלגות נורמלית: שיטת בוקס-מילר, התפלגות נורמלית: שיטת פולר-מרסגליה, התפלגות מעריכית, התפלגות גמה, התפלגות, התפלגות בינומית, התפלגות פואסון 3) שיטות כלליות למשתנים שאינם מתפלגים על פי התפלגות אחידה: משתנים בדידים, משתנים רציפים: שיטת ההפיכה, משתנים רציפים: שיטת הדחיה 4) בחינת אקראיות: בדיקת שכיחות יחסית, מבחן סדרתי, מבחן המרחק, מבחן המקבצים 5) שיטות אינטגרציה: שיטת "Hit or Miss", שיטת "Sample Mean", שימוש במשתנים אנטי-תטיים, שימוש בפונקציה קרובה 6) יישומי סימולציה: תורת התורים, המחט של Buffon, חישוב של , חישוב של e: בניסוי פיזי ובאמצעות משתנים המתפלגים באופן אחיד 7) Bootstrap: רגרסיה לינארית, רגרסיה לוגיסטית, 8) תכנות ב-S.A.S: מבנה כללי של תוכנית, Data, Array, Retain, Output, פונקציות אריתמטיות, פונקציות מחרוזת, תכנות ב-SAS, Set, Merge, Sort, Plot, מבוא ל-IML

88-275 תאוריה סטטיסטית 1

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

  1. הסתברות (חזרה מהירה על נושאים מ-88-165):
    1. פונקצית צפיפות של משתנה מקרי חד-מימדי ודו-מימדי.
    2. ההתפלגויות: אחידה, נורמאלית, גמא, ,ביתא, לוגנורמאלית, וויבול.
    3. טרנספורמציה של משתנים מקרים חד-ממדיים ודו-ממדיים.
    4. התפלגויות - הגדרה ותכונות.
  2. מבוא להסקה סטטיסטית:
    1. מבוא להסקה סטטיסטית, אוכלוסייה, מדגם מקרי, דגימה בלי ועם החזרה.
    2. סטטיסטי, התפלגות דגימה של סטטיסטי. דוגמאות.
    3. התפלגות היחס בין שונויות מדגמים (F) והיחס בין ממוצע לסטיית התקן (t).
  3. אמידה נקודתית:
    1. מבוא לאמידה, פונקצית ההפסד, פונקצית הסיכון, טעות MSE .
    2. אומד בלתי מוטה , אומד יעיל, אומד עקבי, UMVUE.
    3. אומד נראות מכסימאלית ותכונותיו, אומד לפי שיטת המומנטים.
    4. סטטיסטי סדר והתפלגותו.
    5. סטטיסטי מספיק, סטטיסטי מספיק מינימאלי, משפט הפרוק.
    6. משפט ראו- בלקוול.
    7. סטטיסטי שלם. סטטיסטי מספיק ושלם עבור משפחה מעריכית .
    8. משפט להמן- שפה.
    9. אי – שוויון ראו-קרמר.
  4. אמידת רווח סמך: עקרונות, שיטת הכמות הצירית.

88-277 תאוריה סטטיסטית 2

שעות. 2 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. בדיקת השערות: הגדרות. השערה בסיסית והשערה אלטרנטיבית, השערה פשוטה ומורכבת, אזור קריטי (אזור הדחייה), גודל ועוצמה של מבחן, טעויות מסוג ראשון ושני.
  2. פונקצית עוצמה, רווח סמך, מבחנים MPו- UMP.
  3. מבחן יחס הנראות, למה של ניימן ופירסון, התנהגות אסימפטוטית של נראות יחסית (משפט וילקס).
  4. מבחנים פרמטריים: השוות תוחלות או שונויות של שתי ההתפלגויות נורמאליות וההתפלגויות בינומיות (מבחן מקנמר).
  5. טבלאות תלות: אי-תלות של טבלאות 2x2, מבחן התאמהχ² לטבלה Nx2, אי-תלות של טבלאות NxM.
  6. מבחנים ללא-פרמטריים: מבחני סימן ודרגה של וילקונקסון

88-280 אלגוריתמים ומבני נתונים

שעות. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

1. סיבוכיות (כולל חומר תאורטי על מכונות דטרמיניסטיות ולא דטרמינסטיות) 2. רקורסיה 3. מבני נתונים: מחסניות, תורים, תורי קדימויות, ערימות, עצים, עצי חיפוש, עצים מאוזנים, טבלאות ערבול (פתוחות וסגורות). 4. מיונים (יציבים ולא יציבים)- מיוני השוואה ומיוני לא השוואה 5. מציאת רכיבי קשירות ורכיבי קשירות מלאה 6. עצים פורשים 7. מרחקים מינימלים 8. מיון טופולוגי 9. השוואת מחרוזות (התאמה מושלמת) 10. מושגים בסיסיים באינפורמציה 11. דחיסה 12. זרימה ברשת 13. תכנון לינארי – אלגוריתם הסימפלקס

88-300 סדנא לפתרון בעיות

שעות. 2 הרצאה. סמסטר א'.

שיטות שונות לפתרון בעיות מתמטיות ברמה תחרותית. למשל: אינדוקציה קומבינטורית, אינווריאנטים, סמי-אינווריאנטים, אי-שוויונים, רדוקציה, שיטות גאומטריות, שיטות מתורת הגרפים. הקורס ילווה בדוגמאות רבות מתחרויות וספרים בתחום.

88-303 לוגיקה מתמטית

שעות. 3 הרצאה. סמסטר א'.

1. מבוא להוכחות פורמאליות. 2. לוגיקה פסוקית. a. תחביר וסמנטיקה. b. קבוצות של קשרים שלמים. c. מערכת היסק ללוגיקה פסוקית. d. משפט השלמות ללוגיקה פסוקית. e. משפט הקומפקטיות ללוגיקה פסוקית. 3. לוגיקה מסדר ראשון. a. תחביר ללוגיקה מסדר ראשון. b. סמנטיקה ללוגיקה מסדר ראשון. c. משפט השלמות ללוגיקה מסדר ראשון. d. מערכת היסק ללוגיקה מסדר ראשון. e. משפט הקומפקטיות ללוגיקה מסדר ראשון. 4. מבוא לתורת המודלים.

88-311 תורת גלואה

שעות. 2 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר א'.

  1. הרחבות סופיות של שדות, כפליות המימד. הומומורפיזם ואוטומורפיזם של אלגברות. פעולת אוטומורפיזם על שורשי פולינום.
  2. שדות פיצול – קיום ויחידות עד-כדי איזומורפיזם. הרחבת הומומורפיזם לשדה הרחבה, וספירת השיכונים של שדה לשדה פיצול.
  3. פולינום ספרבילי והרחבות ספרביליות. קריטריון לספרביליות לפי הנגזרת. שדות מושלמים. כל השדות ממאפיין 0 הם מושלמים.
  4. הרחבות גלואה: חבורת גלואה, הרחבות נורמליות. המשפט היסודה הראשון (המאפיין מתי הרחבה סופית היא הרחבת גלואה). הלמה של ארטין. הסגור הנורמלי של הרחבה.
  5. התאמת גלואה בין שדות בינייים ותת-חבורות של חבורת גלואה, לרבות ההתאמה בין הרחבות נורמליות לבין תת-חבורות נורמליות.
  6. שדות סופיים: קיום ויחידות של שדה סופי מכל סדר שהוא חזקת ראשוני. פיצול הפולינומים x^q-x; אוטומורפיזם פרובניוס. כל הרחבה של שדות סופיים היא ציקלית.
  7. חבורות פתירות וההתאמה להרחבות של שדות.
  8. קיום סגור אלגברי (ההוכחה של ארטין בעזרת קיום אידיאל מקסימלי). המשפט היסודי של האלגברה – שדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית. תרגום ההוכחה לשפה של הרחבות שדות.
  9. שורשי יחידה והרחבות ציקלוטומיות: חבורת גלואה איזומורפית לחבורת אוילר.
  10. פתירות על-ידי רדיקלים: הרחבות שורשיות, מגדל של הרחבות, הדוגמה של גלואה לפולינום שאינו פתיר על-ידי רדיקלים. מספרים בני-בניה ופתרון הבעיות של ימי קדם.
  11. משפט גלואה – פולינום פתיר על-ידי רדיקלים אם ורק אם חבורת גלואה פתירה. רזולבנטות של לגרנז'.
  12. עקבה, נורמה ודיסקרימיננטה, ושימושים לפתרון משוואות.
  13. נושאים נוספים מבין: חבורות פרו-סופיות וחבורת גלואה האבסולוטית. סגור אלגברי והרחבות טרנסצנדנטיות. מימוש כל חבורה סופית כחבורת גלואה. בעיית ההיפוך של תורת גלואה. בעיית נתר. מבוא לפולינומים סימטריים (נוסחאות ניוטון).

דרישות קדם. אלגברה מופשטת 2.

88-315 התמרות אינטגרליות

שעות. 3 הרצאה. סמסטר א'.

  1. הקדמה. טורי פונקציות ותכונותיהם;אינטגרלים תלויים בפרמטר; גבול של אינטגרל התלוי בפרמטר ;שינוי סדר אינטגרציה באינטגרלים כפולים.
  2. התמרת פוריה במרחב . משפט עזר של רימן-לבג;התמרת פוריה במרחב ותכונות ראשונות שלה;שיטות ישירות לחישוב התמרת פוריה;ערך ראשי של אנטגרל לא אמיתי; חישוב התמרת פוריה בעזרת שיטת השאריות.
  3. אינטגרל פוריה. אינטגרל פוריה למחלקות Holder; אינטגרל פוריה לפונקציות חלקות למקוטעין; אינטגרל פוריה בצורה ממשית; הנוסחה האינטגרלית של פוריה וערך ראשי של אינטגרל; ניתוח המשפטים היסודיים.
  4. היפוך של התמרת פוריה במרחב . נוסחה אינטגרלית של פוריה, התמרת פוריה וההיפוך שלה; משפטים נוספים להיפוך של התמרת פוריה; היפוך של התמרת פוריה בעזרת שיטת השאריות; תכונות יסודיות של התמרת פוריה ויישומים שלהן; משפט השיכון (lmbedding) של סובלב, חלקות הפונקציה ותכונות של התמרת פוריה שלה; תכונות.
  5. התמרות סינוס וקוסינוס. הנוסחה האינטגרלית של פוריה לפונקציות זוגיות ואי-זוגיות; פיתוח פונקציות המוגדרות בחצי-ציר לאינטגרל פוריה. התמרות סינוס וקוסינוס - תכונות שלהן והיפוך; מציאת התמרות סינוס וקוסינוס בעזרת שיטת השאריות; ישומי התמרות סינוס וקוסינוס, התמרות פוריה לפתרון של בעית קושי למשוואות דיפרנציאליות רגילות.
  6. התמרת פוריה במרחב . תכונות יסודיות של מרחב . משפט Plancherel. שוויון של Parseval; משפט Plancherel לגבי היפוך של התמרת פוריה; משפט Plancherel במרחב  ; חישוב אינטגרלים והשוויון של Parseval; פתרון המשוואה האינטגרלית של Fredholm מסוג ראשון.
  7. כריכה ויישומיה. כריכה ותכונות יסודיות שלה; משפט Borel; משוואות אינטגרליות של Fredholm מסוג שני מסוג כריכה, פתרונן בעזרת שיטות פוריה.
  8. התמרת לפלס. מקורות ותמונות; מרחב המקורות; מעריך גידול וחשיבותו;תמונה ותכונות יסודיות שלה; תכונות יסודיות של התמרת לפלס.
  9. התמרת לפלס. תכונות יסודיות של התמרת לפלס (המשך).
  10. כריכה ותכונותיה. תכונות יסודיות של כריכה במרחב מקורות; משפט Borel; נוסחאות של Duhamel; פונקצית הגמה של Euler. תכונות ויישומים.
  11. היפוך של התמרת לפלס. המשפט של Mellin. משפט היחידות; דרישות מספיקות שמגדירות את התמונה; היפוך של התמרת לפלס בעזרת שיטת השאריות; משפט הפיתוח – דוגמאות; היפוך תמונות רציונאליות; היפוך התמרת לפלס בעזרת התכונות הכלליות שלה; פתרון משוואות אינטגרליות ומערכת משוואות אינטגרליות מסוג כריכה בעזרת התמרת לפלס.
  12. התמרת לפלס ומשוואות דיפנרציאליות רגילות. פתרון של בעית קושי למשוואה דיפנרציאלית לינארית רגילה עם מקדמים קבועים, בעזרת יישום ישיר של התמרת לפלס ובעזרת המשפטים של Borel ו-Duhamel; שיטות טכניות שמפשטות דרך לפתרון; פתרון בעית קושי למערכת משוואות דיפנרציאליות לינאריות רגילות עם מקדמים קבועים – בעזרת ישום ישיר של ההתמרת לפלס ובעזרת המשפטים של Borel ו- Duhamel.

88-320 פיזיקה למתמטיקאים

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. קינמטיקה
    1. העתק, מהירות ותאוצה
    2. תנועה במעגל
  2. מכניקה ניוטונית
    1. חוקי התנועה של ניוטון
    2. אוסילטור הרמוני
    3. גרביטציה
    4. עבודה ואנרגיה
    5. חוקי שימור: תנע, אנרגיה ותנע זוויתי
    6. כוחות משמרים ואנרגיה פוטנציאלית
    7. תנודות קטנות ואופני תנודה
    8. משפט ליוביל
  3. מכניקה אנליטית
    1. הקדמה לתחשיב הוריאציות: מינימיזציה של פונקציונלים ומשוואת אוילר-לגרנז'
    2. לגרנז'יאנים פיסיקליים
    3. מעבר לקואורדינטות מוכללות
    4. חבורות לי: הגדרה, האלגברה של החבורה, המפה האקספוננציאלית
    5. משפט נתר
    6. טרנספורם לז'נדר
    7. מכניקה המילטונית
    8. סוגרי פואסון
  4. מערכות ייחוס
    1. חבורת גליליי
    2. מערכות לא אינרציאליות – מואצות ומסתובבות
    3. חבורת לורנץ (במימד אחד)
  5. מרחבי הילברט:
    1. וקטורים ואופרטורים
    2. המשפט הספקטרלי
    3. הסוגריים של דיראק
  6. מבוא לתורת הקוונטים
    1. מיקום ותנע בתורת הקוונטים
    2. משוואת שרדינגר
    3. חלקיק בבור פוטנציאל
    4. אוסילטור הרמוני קוונטי
    5. סימטריות בתורת הקוונטים
    6. חבורת הסיבוב והתנע הזוויתי
    7. כח מרכזי – אטום המימן הקוונטי
    8. מדידה ואופרטורי הטלה
    9. אי שוויון בל

88-341 אנליזה מודרנית

שעות. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

  1. מבוא לתורת לבג:
    1. מידת לבג על הממשיים.
    2. קבוצות מדידות לבג וקבוצות בורל.
    3. קבוצות לא מדידות.
    4. מרחבי מידה ומידות כלליות.
    5. פונקציות מדידות.
    6. אינטגרל של לבג.
    7. השוואה עם אינטגרל של רימן.
    8. משפטי התכנסות.
    9. משפטי פוביני וטונלי.
  2. מבוא לאנליזה פונקציונלית:
    1. מרחבים לינאריים נורמיים ומרחבי בנך.
    2. המרחב [math]\displaystyle{ L^p }[/math].
    3. אי-שיוויוני הולדר ומינקובסקי.
    4. מרחבי מכפלה פנימית ומרחבי הילברט.
    5. משפט ההצגה של ריס במרחבי הילברט.
    6. משפט לבג רדון ניקודים.
  3. גזירה ואינטגרציה:
    1. משפט הגזירה של לבג.
    2. פונקציות בעלות השתנות חסומה.
    3. רציפות בהחלט.
    4. אינטגרל של נגזרת. הכללת המשפט היסודי.
    5. משפט הפירוק של לבג.

88-355 משוואות אינטגרליות

  1. מבוא: מושגים יסודיים של משוואות אינטגרליות ובעיות שמובילים למשוואות אינטגרליות: בעיה של אבל ופוריה ופוטנציאל.
  2. נושאים חשובים באנליזה פונקציונלית: מרחב מטרי. מרחב שלם ודוגמאותיו, משפט על השלמות. משפט בנך על נקודות השבט. מרחב לינארי נורמי. אופרטורים לינארים. קומפקטיות במרחבים מטרים. במרחבים עם נורמה. המרחבים C[a,b], L2[a,b], Lp[a,b], l2[a,b] ותכונותיהם.
  3. משוואות אינטגרליות של וולטהרי מסוג שני: מושגים יסודיים, קשר בין משוואות דיפרנהציאליות רגילות ומשוואות וולטרה, רזולווט של משוואה אינטגרלית וולטרה. שיטות הקירוב איטרציה. משוואה מסוג קונוולוציה. פתרון של משוואה אינטגרלית בעזרת התמרת לפלס. משוואות וולטרה בתחום

. משוואת אבל וההכללה שלו.

  1. תיאוריה של פרדהולם: משוואות פרדהולם: מסוג 1 ו-2. שיטת דטרמיננטה של פרדהולם.
  2. שיטת איטרציה של גרעין. בנית רזולונטה בעזרת איטרציה של גרעין. משוואות פרדהולם עם גרעין מנוונת. משוואה לא הומוגנית ומשוואה סימטרית. משפטי פרדהולם: אלטרנטיבה של פרדהולם. מספרים אפיונים (מספרים עצמיים) ופונקציות עצמית למשוואות פרדהולם. שיטת פוריה לגרעין מנוון.
  3. משוואת וולטרה ופרדהולם מסוג 1.
  4. משוואת אינטגרליות סימטריות. אופרטורים סימטרים. משפטי הילברט – שמיט לאופרטורים אינטגרלים.משוואות עם גרעין סימטרי. משוואה אינטגרלית שמובילה למשוואה סימטרית.
  5. שיטת הקירוב – (נומרית). שיטות הקירוב למשוואות אינטגרליות. החלפת גרעין מנוונת. שיטת בובנוב-גליורקין. שיטת הקירוב למציאת ערכים עצמיים ופונקציות עצמית, שיטת ריטץ, שיטת traces, שיטת קלוגה.
  6. משוואות סינגורליות ולא לינאריות. מושגים במשוואות אינטגרליות סינגולריות ולא לינאריות, נקודות ביפורקציה ותיאוריה של שאודר, משוואת הימרשטיין.

88-360 יישומי סטטיסטיקה 1

שעות. 2 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א'.

  1. קריאת קבצים בפורמט ASCII/SAS: INFILE, INPUT, FORMAT, DATA, OUTPUT, DELETE, SET, MERGE, CONTENTS, PRINT, DATASETS.
  2. פקודות תכנות: IF-THEN-ELSE, DO-END, ARRAY, RETAIN, FUNCTIONS.
  3. שפת מאקרו.
  4. שפת SQL.
  5. התפלגות חד משתנית: FREQ, MEANS, UNIVARIATE, GCHART.
  6. התפלגות רב משתנית (בדידים): FREQ.
  7. טבלאות: SUMMARY, TABULATE.
  8. התפלגות רב משתנית (רציפים): CORR, REG, GPLOT.
  9. רגרסיה מרובה (שיטות לבחירת משתנים): REG, STEPWISE.
  10. רגרסיה לא לינארית: NLIN.

88-361 יישומי סטטיסטיקה 2

שעות. 2 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. מבחן t: TTEST.
  2. ניתוח שונות חד/דו/רב כיווני: GLM.
  3. אנליזת קוואריאנס: GLM.
  4. ניתוח אשכולות: CLUSTER.
  5. ניתוח גורמים: FACTOR/MDS.
  6. ניתוח מאבחן: DISCRIM/CANDISC.
  7. רגרסיה לוגיסטית: LOGISTIC.
  8. עצי החלטה: DTREE.

88-369 חקר ביצועים

שעות. 2 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. מבוא לחקר ביצועים ודוגמאות ושימושים.
  2. מבוא לתכנון ליניארי.
  3. פתרונות גרפיים ומשמעותם.
  4. אלגוריתם הסימפלקס - תיאוריה.
  5. אלגוריתם הסימפלקס - אלגברה.
  6. התאמה לאלגוריתם הסימפלקס.
  7. תורת הדואליות.
  8. ניתוח רגישות.
  9. סימפלקס דואלי.
  10. מודלים עבור בעיות השמה, תחבורה ורשתות.
  11. מבוא לתכנון בשלמים ומידול ע"י משתנים שלמים.
  12. שיטת סיעוף וחסימה.

88-373 הסתברות וסטטיסטיקה מתמטית

שעות. 3 הרצאה + 1 תרגיל. סמסטר ב'.

  1. תורת ההסתברות מנקודת מבט מתימטית-מידתית:
    1. מרחב הסתברות, תכונות של פונקציית ההסתברות (כולל רציפות). דוגמאות, התפלגויות סינגולאריות.
    2. הסתברות מותנה – כולל נוסחת בייס למקרה האינסופי.
    3. משתנים מקריים והתפלגויות חד-מימדיות.
    4. התפלגויות רב-מימדיות, טרנספורמציות.
    5. אי-תלות (ותלות) של משתנים מקריים והתפלגות מותנית.
    6. תוחלת, שונות ומומנטים. תכונות של תוחלת, שונות משותפת ומקדם המתאם.
    7. תוחלת מותנית ביחס לסיגמה-אלגברה.
  2. הלמה של בורל-קנטלי.
  3. סוגים שונים של התכנסות עבור סדרות של משתנים מקריים, משפט שלושת הטורים של קולמוגורוב. החוק החזק של המספרים הגדולים (כולל הוכחה).
  4. פונקציה אופינית: הגדרה, תכונות, נוסחת ההיפוך ומשפטים יסודיים.
  5. משפט הגבול המרכזי ויישומים.
  6. התפלגות רב נורמלית.

88-376 שיטות נומריות 1

  1. ניתוח שגיאות. ה condition של פונקציה. מציאת שורש לפונקציה סקלרית: שיטת החצייה, שיטת ניוטון, התכנסות ריבועית לשיטת ניוטון, שיטת המיתר, שיטת false position. מציאת שורש לפונקציה רבת משתנים. תנאי עצירה למציאת שורשים. שיטות נומריות לאלגברה ליניארית: כיצד להשתמש בפירוקי LU, QR ו- Cholesky כדי לפתור מערכת משוואות ליניארית. אלגוריתם לפירוק LU, ו- LU עם pivoting , אלגוריתם לפירוק Cholesky ולפירוק QR (לפי מטריצות Householder), אלגוריתם לפירוק SVD. ה condition של הבעיה Ax=b. שיטות איטרטיביות לפתרון המערכת Ax=b: שיטת Jacobi, שיטת Gauss-Seidel .שיטת Power method למציאת ע"ע גדול ביותר.
  2. אינטרפולציה: אינטרפולציה פולינומיאלית ע"י לגרנג', ניוטון. שגיאת האינטרפולציה.
  3. ספליין ליניארי, ריבועי ו-Cubic Spline.
  4. קירובים: שיטת ריבועים זעירים לקירוב של סדרת נקודות לפולינום, קירוב של פונקציה לפולינום ע"י סדרות של פולינומים אורתוגונליים (לז'נדר, צ'בישב, הרמיט, לגואר). אינטגרציה נומרית: שיטת הטרפז, שיטת סימפסון, שיטת תרבועי גאוס.
  5. משוואות דיפרנציאליות רגילות: משוואות מסדר ראשון- שיטת אוילר, שיטת רנגה-קוטה. משוואות מסדר גבוה – הבאה למערכת משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון.

כל נושא מלווה בפקודות המתאימות של Matlab .

88-377 שיטות נומריות 2

(קורס בחירה)

88-385 סדנה לפרוייקטים

  1. הכרת הפרויקט
  2. לימוד תיאורטי בעזרת ספרות מדעית, השגת רקע מדעי.
  3. ניתוח מתמטי ובניית מודל מתמטי.
  4. בניית תוכנה בהתאם לצורכי הפרויקט.
  5. בדיקת התוכנה בעזרת דוגמאות שפתרונן ידוע ואח"כ יישום התוכנה למקרה שעבורו הוזמנה.
  6. אנליזה השוואתית בין הפתרון שהתקבל ובין דרישות המטרה.

88-500 הידרודינמיקה תאורטית

שעות. 3 הרצאה. סמסטר א'.

  1. חומר רציף (נוזל), זרימה; שדה מהירות, תאוצה, נגזרת שלמה, מצב סטאציונרי; גישות אוילר ולאגראנג', קווי זרימה ומסלול
  2. משפטי גאוס וסטוקס, משוואת רציפות של נוזל (שימור מסה); נוזל דחיס ובלתי-דחיס ערבוליות, צירקולצית וקטור המהירות
  3. טנזור מתיחות, חיכוך, לחץ הידרודינמי; תנאי שפה.
  4. נוזל אידיאלי, משוואות אוילר; אינטגרל ברנולי, דוגמאות
  5. זרימה בלתי-מערבלת (פוטנציאלית): פונקצית פוטנציאל; פונקציות הרמוניות ותכוניתן; דוגמאות של זרימה פוטנציאלית. כוח עילוי
  6. זרימה דו-ממדית: פונקצית זרימה; קווי שווי פונקצית זרימה; ערבוליות ומשוואת זרימה פוטנציאלית במונחי פונקצית זרימה; שימור ערבוליות; דוגמאות של זרימה דו-ממדית.
  7. תנועת נוזל צמיג: משוואות נבייה–סטוקס; מספר ריינולדס; ניתוח ממדים ודמיון; דוגמאות
  8. בעיית סטוקס; זרימה בנתיב אחרי גוף נע; טורבולנציה; שכבת גבול, שיטות פרטורבצייה.
  9. מערבולות: סוגי מערבולות נחות, מתקדמות, ומסתובבות באופן סטאציונרי. פיתרונות אנאליטיים: מונופול, דיפול של לאמב–צ'אפליגין.
  10. שיטות נומריות לפיתוח פתרונות למערבולות; סדרות פוריה–ביסל ופוריה–צ'בישב; פרוצדורת ניוטון–קנטורוביץ' (ליניאריזציה הדרגתית).
  11. יציבות הידרודינאמית : חקר ליניארי של אי-יציבות; קריטריון ריליי.
  12. מערבולות סינגולאריות: פונקצית דלטה, מערבולת נקודתית; אנסמבל של מערבולות נקודתיות; מערכת המילטונית; יציבות לא ליניארית של זוג ושלישית מערבולות נקודתיות.
  13. נוזלים סובבים: הקירובים של מישור f ומישור בטא, גלי רוסבי, דיפולים סטאציונריים על משור בטא. קירוב מים רדודים, גלי אינרציה-גרוויטאציה.

88-505 תורת הקבוצות של הישר הממשי

מבוא לשיטות קומבינטוריות-אינסופיות באנליזה של הישר הממשי ומרחבים קשורים. היכרות עם תכונות כיסוי קלאסיות של קבוצות של מספרים ממשיים (מנגר, הורביץ', רותברגר, ועוד) ותכונות של מרחבי פונקציות ממשיות. פיתוח כלים קומבינטוריים לבניית מרחבים עם תכונות אלה.

- הפנים המרובות של הישר הממשי: (מרחב קנטור, מרחב בייר). - תכונות הכיסוי הקלאסיות. - אפיונים קומבינטוריים ומונים של הרצף. - בניית קבוצות ממשיות ב ZFC: קבוצת מנגר שאינה סיגמא קומפקטית (פתרון השערת מנגר), קבוצת מנגר בלי תכונת הורביץ' (פתרון השאלה של הורביץ'). - שיטת השמטת הקטעים ובניית קבוצה ממשית עם תכונת הורביץ' שאינה סיגמא קומפקטית. - מידה וקטגוריה (לבג, בורל, בייר) וקשרים לתכונות הכיסוי. - תכונת פרשה-אוריסון: מרחבי פונקציות והקשר לתכונות כיסוי. - בניית מרחב פונקציות עם תכונת פרשה-אוריסון תחת ההנחה שיש קבוצה מרוכזת. - עקרונות בחירה: הצגה ומיון (הדיאגרמה של סקיפרס). - כפליות של תכונות כיסוי.

88-520 טופולוגיה אלגברית 1

  1. קטגוריות ופנקטורים.
  2. הומוטופיה ותכונותיה, שקילות הומוטופית, נסג, נסג עיוותי.
  3. הגדרת החבורה היסודית, וההומומורפיזם המושרה.
  4. הקשר בין החבורות היסודיות בנקודות בסיס שונות, הקשר בין ההומומורפיזמים המושרים ע"י העתקות הומוטופיות. שקילות הומוטופית משרה איזומורפיזם.
  5. הגדרת מרחב כיסוי, תכונת הרמת המסילה והרמת הומוטופיה של מסילות. חישוב החבורה היסודית של המעגל.
  6. שימושים ראשונים: משפט נקודת השבת של בראוור עבור עיגול. המשפט היסודי של האלגברה.
  7. נושאים בתורת החבורות: תכונות אוניברסליות, מכפלה ישרה, מכפלה חופשית, אבליניזציה, מכפלת היתוך, חבורה חופשית, הצגה ע"י יוצרים ויחסים.
  8. משפט ון קמפן. חישוב החבורה היסודית של מרחבים שונים, כגון משטחים, ספירות, מרחבים פרויקטיביים.
  9. מרחבי CW, חישוב החבורה היסודית בעזרת מבנה ה CW.
  10. מרחבי כיסוי: תכונות ההומומורפיזם המושרה ע"י העתקת כיסוי. הקשר בין הסיבים השונים. הרמת העתקות. קיום מרחבי כיסוי.
  11. הקשר בין תתי החבורות של החבורה היסודית ותכונותיהן למרחבי הכיסוי ותכונותיהם. אוטומורפיזמים של הכיסוי.
  12. הוכחת משפטים בתורת החבורות באמצעות מרחבי כיסוי.

88-524 גאומטריה פרוייקטיבית

מרחבים פרוייקטיביים מעל שדה, העתקות פרוייקטיביות, מרחבים אפיניים, משפט דזרג ומשפט פפוס, דואליות, חתכי חרוט, היחס הכפול, איזומורפיזמים של מרחבים פרוייקטיביים.

88-525 גאומטריה אלגברית 1

  1. קבוצות אפיניות מעל [math]\displaystyle{ \ \mathbb{C} }[/math]
  2. אידיאל של קבוצה אפינית
  3. טופולוגית זריצקי
  4. מרחב פרוייקטיבי
  5. קבוצה פרוייטיבית, כיסוי אפיני, פריקות.
  6. חוג הפונקציות הרגולריות, שדה הפונקציות הרציונאליות.
  7. מורפיזם, איזומורפיזם, העתקה רציונלית, העתקה בירציונלית
  8. תכונות ודוגמאות
  9. מיון של עקומות

דרישות קדם. אלגברה מופשטת 2, טופולוגיה, פונקציות מרוכבות

88-537 גאומטריה אקסיומטית

  1. מבוא לאקסיומות של הגאומטריה האוקלידית
  2. הוכחות לא נכונות של אקסיומת המקבילים
  3. טעויות באקסיומות של אוקלידס
  4. מבוא לאקסיומות הילברט. אקסיומות שייכות.
  5. מודלים לאקסיומות שייכות: דוגמות מגאומטריה סופית.
  6. אקסיומות בין ואקסיומות חפיפה וחוצותיהן.
  7. אקסיומות רציפות ואקסיומת המקבילים.
  8. גיאומטריה ניטרלית.
  9. שקילות של אקסיומות המקבילים וסכום זוויות במשולשים.
  10. אי-תלות של אקסיומת המקבילים.
  11. מבוא לגיאומטריה היפרבולית.
  12. מודלים של המישור ההיפרבולי.
  13. תנועות אוקלידיות והיפרבוליות וחברותיהן.

88-554 מבוא לקומבינטוריקה

  1. מבוא: מהי קומבינטוריקה? קיום, מיון, ספירה, אופטימיזציה. דוגמה מנחה: ריצוף לוח משובץ על-ידי אבני דומינו. שיקולי ספירה וצביעה.
  2. עקרון שובך היונים: קירוב מספר ממשי על-ידי רציונליים, משפט ארדש-סקרש על קיום תת-סדרה מונוטונית.
  3. שיטות ספירה בסיסיות: תמורות וצירופים, עם ובלי חזרות. פירושים והכללות. (על-בסיס המבוא ב"מתמטיקה בדידה")
  4. מקדמים בינומיים ומולטינומיים: נוסחאות הבינום והמולטינום, תכונות בסיסיות, נוסחת הרקורסיה ומשולש פסקל, זהויות בינומיות, הילוכי שריג. (על-בסיס המבוא ב"מתמטיקה בדידה")
  5. סדרי גודל, נוסחת סטירלינג, קירוב מקדם בינומי בעזרת אנטרופיה.
  6. בעית הקלפי, שיטת השיקוף, מספרי קטלאן ופירושיהם: נוסחת הרקורסיה, מסילות דיק, ספירת עצים בינריים, ספירת חלוקות של מצולע למשולשים, סידור סוגריים.
  7. מספרי סטירלינג (מסוג ראשון ושני) ומספרי בל: הגדרה, נוסחאות רקורסיה, נוסחאות היפוך.
  8. פונקציות יוצרות: דוגמה מנחה, הגדרת פונקציה יוצרת רגילה ומעריכית, שימושים לספירת צירופים ותמורות עם הגבלות.
  9. טורי חזקות פורמליים וטורי לורן פורמליים: הגדרה ופעולות, קיום הפכי, פיתוח לשברים חלקיים, מגבלות על הצבה.
  10. ספירה בתנאי סימטריה: פעולת חבורה על קבוצה, סימטריה גיאומטרית (איזומטריות) וקומבינטורית (תמורות), ספירת מסלולים בעזרת הלמה של ברנסייד.

88-555 תורת הגרפים

  1. מושגים בסיסיים: גרפים מכוונים ולא מכוונים. דרגות קדקדים. גרפים רגולריים. תתי-גרפים מושרים ופורשים. הילוכים, מסילות ומעגלים. קשירות.
  2. עצים, יערות ותכונותיהם. עצים מסומנים ומשפט קיילי על עצים פורשים.
  3. מסלול אוילר ומסילה המילטונית. משפטים של אוילר ושל דיראק.
  4. גרפי פאון וגרפים מישוריים. נוסחת אוילר ומיון הגופים המשוכללים.
  5. משפט קורטובסקי ומשפט רוברטסון-סיימור. משפט ארבעת הצבעים (עם הוכחה עבור חמשה צבעים).
  6. צביעת קדקדים ומספר הצביעה. גרפים דו-צדדיים. משפט ברוקס. קבוצות בלתי-תלויות.
  7. פולינום הצביעה ומשפט סטנלי.
  8. שידוכים: משפט הול. משפט מנגר.
  9. אינדקס הצביעה ומשפט ויזינג.
  10. בעיות קיצון בתורת הגרפים: משפט טורן.
  11. מספרי רמזי, למת לחיצות הידיים ומשפט רמזי.
  12. כלים מאלגברה ליניארית: מטריצת השכנות והלפלסיאן. דרגת הלפלסיאן ומספר רכיבי הקשירות.
  13. משפט מטריצה-עץ. שיטות ספקטרליות. יישומים להילוכים אקראיים על גרפים.

88-570 שיטות הסתברותיות בקומבינטוריקה

88-572 מבוא לתהליכים סטוכסטיים

  1. תהליכי מרקוב:
    1. תהליך מקרי
    2. תכונת מרקוב
    3. הסתברויות מעבר סטציונריות
    4. מהלך מקרי
    5. שרשרות מרקוב: הגדרה, דוגמאות, התנהגות גבולית, התפלגות סטציונרית, סיווג המצבים
  2. מרטינגלים – (עם פרמטר רציף), תכונות, זמני עצירה, משפט העצירה של Doob, משפטי התכנסות (הוכחות בהתאם לזמן).
  3. דוגמאות מרכזיות – תהליך פואסון ותנועה בראונית.

88-576 תורת המספרים

  1. המספרים השלמים, האלגוריתם של אוקלידס, מחלק משותף מקסימלי.
  2. שאריות, חפיפה, משפט השאריות הסיני.
  3. שדות סופיים, משוואות מעל שדות סופיים. למה של Hensel.
  4. משפטים של פרמה ואוילר. שורשים פרימיטיביים.
  5. סימן של לז'נדר ויעקובי. ההדדיות הריבועית.
  6. סכום הרבועים. מספרים שלמים של גאוס. שדות ריבועיים.
  7. הצפנה ציבורית (שיטת RSA), בדיקת ראשוניות.
  8. ראשוניים (קיומם של אינסוף ראשוניים, מקרים אלמנטריים של משפט דיריכלה). התפלגות הראשוניים: משפט המספרים הראשוניים.
  9. משולשים פיתגוריים.
  10. משוואת פל, שברים משולבים.

דרישות קדם: אלגברה לינארית 1, מתמטיקה בדידה.

88-578 מבוא לתורת הקודים

1. קודים מתקני שגיאות (שבוע 2-1) רעיון כללי, דוגמאות פשוטות, ערוץ סימטרי, משפט שאנון, פענוח, מרחק המינג.

2. קודים לינאריים (שבוע 5-3) יסודות של שדות סופיים, פרמטרים של קודים לינאריים (אורך, מימד, קצב, מרחק מינימלי), קוד המינג, מטריצה יוצרת, מטריצת בדיקת זוגיות, פענוח לפי תסמונת.

3. קודים ציקליים (שבוע 11-6) אידאלים בחוגים קומוטטיביים [תזכורת ל-88-212], פולינום יוצר, פולינום בדיקת זוגיות, קודים BCH, קודי ריד-סולומון. קודים על שאריות ריבועיות. קודי גולאי. קשר עם טרנספורמציית פוריה דיסקרטית.

4. פענוח לפי רוב קולות (שבוע 13-12) רעיון כללי, דוגמאות, קוד ריד-מאלר.

88-585 אלגוריתמים לביולוגיה חישובית

88-599 פריצות דרך במתמטיקה

  1. מהי מתמטיקה? מהי הוכחה? דוגמאות לטיעונים שאינם הוכחה ולהוכחות שגויות בספרות.
  2. המתמטיקה של ימי קדם: המתמטיקה המצרית והמתמטיקה הבבלית ויחסן למערכות המספרים; לוח פלימפטון 332; המתמטיקה הסינית.
  3. העידן הקלאסי: אסכולת פיתגורס, מספרים רציונליים, ניסוח גאומטרי של מושג המספר. מספרים בני בניה. תור הזהב של המתמטיקה ההליניסטית: אודוקסוס, אוקלידס וה"יסודות", ארכימדס, אפולוניוס, אסכולת אלכסנדריה והספריה הגדולה.
  4. דמדומי העידן הקלאסי: תלמי, דיופנטוס והפתרון הפרמטרי למשוואות דיופנטיות, היפטיה.
  5. הודו: הצגת האפס והמספרים השליליים. פתרון משוואות באמצעות נעלמים. ספרו של Bakhshali, אריבהרטה, ברהמגופטה, בהסקרה השני.
  6. תור הזהב של המתמטיקה האיסלאמית: אל-חווזירמי והאלגברה. אבו-ופא והטריגונומטריה. עומר כיאם ופתרון המשוואה ממעלה שלישית. אל-קאשי.
  7. הרנסנס המוקדם: העברים כגורם מעבר. האקדמיה של טולדו. פתרון המשוואות האלגבריות ממעלה עד 4. שצפיונה דל פרו, טרטליה, קרדנו וה- Ars Magna, פרארי; חיוניותם של פתרונות מרוכבים.
  8. גיבוש הרעיונות המתמטיים בשנים 1550-1625: בומבלי, ויאטה, סטבין, נאפייר והלוגריתמים.
  9. האסטרונומיה ברנסנס: קופרניקוס, טיכו ברהה, קפלר וגלילאו.
  10. המאה ה-17 באירופה (בפרט בצרפת ובאנגליה): דקארט והגאומטריה הקרטזית, פסקל וההסתברות, פרמה וכל דבר; המשפט האחרון של פרמה, הקלקולוס, ניוטון ולייבניץ.
  11. שיא התקופה הקלאסית: אוילר, פונקציית זטא, בעיות טופולוגיות ואינווריאנטים, בעיית הגשרים של קניגסברג. נוסחת אוילר, לגרנז'.
  12. מתמטיקה בראשית המאה ה-19: גאוס, גלואה. חוסר האפשרות לפתור משוואות, ותורת החבורות. קושי. שוב המשפט האחרון של פרמה.
  13. גאומטריה לא אוקלידית. התפתחות מאוחרת במאה ה-19: רימן, מרחבים וקטוריים וטרנספורמציות של אלה (קיילי, המילטון, לי, קליין), קנטור (1845-1918) וקבוצות אינסופיות.
  14. בעיית ארבעת הצבעים.
  15. הילברט ובעיות הילברט (פריס, 1900). פתרון הבעיה השלישית של הילברט.
  16. הבעיה השניה של הילברט – יסוד תורת הקבוצות. האקסיומות של צרמלו-פרנקל. עוצמות. גדל, פונקציות רקורסיביות וניתנות-לחישוב. אקסיומת הבחירה.
  17. עידן הפרדוקסים. כיוונים חדשים במאה העשרים. מתמטיקה חישובית. סיבוכיות.
  18. בעיות המילניום.

88-601 מבט מתקדם על מתמ. תיכונית 1

1. מציאת טור החזקות עבור הפונקציות הטריגונומטריות וההיפרבוליות מתוך הגדרתן הגאומטרית. 2. הכרת הפונקציה האקספוננציאלית, הבנת תכונותיה ושימושיה לתאור תופעות בעולם. 3. הוכחות שונות למשפטים נבחרים בגאומטריה. 4. סיבובים במישור, הסקה של זהויות טריגונומטריות. שיקופים ומושג האוריינטציה במישור, והקשר למושג הדטרמיננטה. קשרים בין בניות גאומטריות ואלגבריות. 5. שמוש במספרים מרוכבים להבנת גאומטריה במישור. 6. אפיון העתקות צפידות במרחב האוקלידי, ומיון מלא של העתקות צפידות במישור. 7. שטח של תחום חסום ע"י מסילה במישור, נפחים, שטח של משטחי סיבוב. 8. קואורדינטות קוטביות, גליליות וכדוריות. חישוב אורכים, שטחים ונפחים בקואורדינטות אלה. 9. קוים גאודטיים על הספירה. בנית מפות של כדור הארץ בעלות תכונות מיוחדות. 10. חתכי חרוט: הוכחת הקשר להגדרות המישוריות של אליפסה פרבולה והיפרבולה. 11. מבוא לגאומטריה פרויקטיבית. 12. נושאים אפשריים נוספים: פאונים ומציין אוילר. מתמטיקה במוסיקה.


88-602 מבט מתקדם על מתמ. תיכונית 2

1. התחלות: מספרים מושלמים. 2. התחלות: שלשות פיתגוריות וגילוי המספרים האי-רציונליים. 3. המשפט האחרון של פרמה. הוכחות של אוילר עבור n=3,4 . 4. ארבע הוכחות לקיום אינסוף מספרים ראשוניים. מספרי פרמה ומרסן 5. מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות. 6. גילוי המספרים המרוכבים. 7. האקסיומטיזציה של המרוכבים. 8. קוטרניונים, אוקטניונים וקיום הצגה למספר כסכום של רבועים. 9. קומבינטוריקה ספירתית, האינדוקציה המתמטית וראשית האלגברה: ראב"ע ורלב"ג. 10. q - אנלוגים של מספרים ומקדמים בינומיים . 11. מחלקים ראשוניים של מקדמים בינומיים והוכחה אלמנטרית של משפט המספרים הראשוניים.

88-608 מתמטיקה בעולם המודרני

88-609 מתמטיקה בחיי היום-יום

88-620 מתמטיקה פיננסית 1

1. מבוא: ערך נוכחי וערך עתידי של תזרימים, שיעור תשואה פנימי 2. הערכת כדאיות של השקעה, דוגמאות, יסודות הסתברות (תזכורת) 3. השקעה בתנאי אי-ודאיות:גישת תוחלת – שונות להערכת תיקי השקעות 4. מודל של מרקוביץ, חזית של תיקים יעילים. 5. בחירת תיקי השקעות אופטימאליים, משפטי קרנות נאמנות. 6. מבט שני על המודל תוחלת-שונות, מודל לתמחור נכסי הון CAPM 

שווי משקל של שוק, קו שוק ההון (CML)

7. מודל תמחור ומקדם הסיכון השיטתי קו שוק ניירות ערך (SML) מדידת ביצועים בשוק ההון 8. סדרי העדפות ופונקצית תועלת, הגרלות, אקסיומות של תורת התועלת 9. תועלת פון נוימן ומורגנשטרן, משפט האפיון של פונקצית התועלת הליניארית 10. יתרונות וחסרונות של תורת התועלת, הגרלות כספיות ופונקצית התועלת על ההגרלות 11. שינאת סיכון, פונקצית תועלת קעורה, שווה ערך ודאי, פרמיית סיכון 12. מדדים של שינאת סיכון (Arrow-Pratt absolute risk aversion coefficient, relative risk aversion coefficient ) 13. השוואת סיכון (across individuals, across wealth level), מבט נוסף על גישת תוחלת שונות, השוואת התפלגות של תשואות הנכסים: שליטה סטוכסטית

88-621 מתמטיקה פיננסית 2

1. הקדמה: מהו סיכון, והיווצרות הסיכונים הפיננסיים 2. גידור: מהו גידור? גידור תפעולי וגידור פיננסי 3. השווקים בהם פועלת הפירמה וסוגי סיכונים פיננסים 4. סיכון אשראי: דירוג איגרות חוב, דירוג סינטטי, וחיזוי פשיטות רגל של פירמות 5. סיכון שערי הריבית: סיכון המחיר וסיכון ההשקעה מחדש, מבנה הזמן של שערי ריבית והשימוש בו לצורך חיזוי שערי ריבית עתידיים, ושיעורי האינפלציה העתידיים. 6. סיכון מטבע חוץ 7. שיטות כמותיות להתמודדות עם סיכון: שיטת הערך בסיכון – Value At Risk

88-622 הסתברות ותהליכים סטוכסטיים 1

1. מרחב ההסתברות, מושגי השבט (סיגמה-אלגברה) ומידות הסתברות. 2. הסתברות מותנית, תלות ואי-תלות, רציפות של ההסתברות, הלמה של בורל-קנטלי, חוק 0-1 של קולמוגורוב. 3. משתנים מקריים והתפלגויות: הגדרה, דוגמאות, סיווג של משתנים מקרים: בדיד, רציף, רציף לחלוטין, סינגולרי. פונקצית הצפיפות. 4. התפלגות מיוחדות ואפיונים. (מעריכי, אי-זכרון, גמה, פואסון). 5. מומנטים (תוחלת ושונות). משפטי קיום,דוגמאות, קשר בין מומנטים לאפיון ההתפלגות. 6. התפלגויות רב-מימדיות. אי-תלות בין משפחות של משתנים מקריים, שונות משותפת ומקדם המתאם. התפלגות רב-נורמלית. 7. משפטי גבול: צורות שונות של התכנסות. החוק החזק של המספרים הגדולים. משפט הגבול המרכזי. 8. התוחלת המותנת (ביחס לשבט). תכונות ודוגמאות. 9. מהלכים מקריים.


88-623 הסתברות ותהליכים סטוכסטיים 2

1. התיאוריה הכללית של תהליכים סטוכסטיים. 2. תורת המרטיגלים (בדיד ורציף), זמני עצירה ומשפט העצירה. 3. התנועה הבראונית. 4. תהליך פואסון והרחבות. 5. אופציונאלי: תהליכים נקודתיים, תהליכי התחדשות. 6. חשבון סטוכסטי. אינטגרל איטו. 7. משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות. 8. אופציונאלי: שרשרות מרקוב ותהליכי מרקוב.

88-624 סטטיסטיקה וניתוח נתונים

1. חשיבה סטטיסטית. 2. ערכים קיצוניים/חסרים וקשרים בין משתנים: טיפול בערכים קיצוניים /חסרים. 3. התפלגויות: חי-בריבוע, F, T, Exp ואחרות. 4. הסקה סטטיסטית: אומדים, בדיקת השערות. 5. מודלים לינאריים. 6. רגרסיה לוגיסטית. 7. רגרסיה לוגיסטית אורדינלית. 8. ניתוח מאבחן. 9. המודל האמפירי: תהליך בניית מודל.

88-625 משוואות דיפרנציאליות

88-626 אופטימיזציה

1. מבוא לחקר אופטימיזציה ותכנון לא ליניארי. תנאים לאופטימליות. מבני האלגוריתם. 2. חיפוש "אוניווארי" (חד משתני). 3. המורד התלול ביותר. שיטת ניוטון. דמוי (קוואזי) שיטת ניוטון. כיוונים מצומדים. שיטות התמרה לאופטימיזציות מוגבלות. 4. שיטות פרימליות לאופטימיזציות מוגבלות.

88-627 יסודות המימון למתמטיקאים

1. מטרת הפירמה 2. ערך הזמן של כסף 3. ערך נוכחי נקי ויצירת עושר 4. ערך נוכחי נקי וקריטריוני השקעה אחרים 5. בניית התזרים הכספי של הפרויקט 6. סיכון, תורת תוחלת התועלת, ביטוח ומחיר ההון 7. סיכון ופיזור השקעות: מודל תמחור נכסים מסוכנים (CAPM) 8. מימון לזמן ארוך: איגרות חוב ומניות 9. מחיר ההון: הון עצמי, הון זר וממוצע משוקלל של מחיר ההון 10. מנוף פיננסי והרכב הון אופטימלי

88-628 מבוא לכלכלה למתמטיקאים

88-629 תמחור אופציות

1. השקעות: מהימורים לשוק המניות. תיק השקעות מממן את עצמו, ארביטרז', גידור בעזרת משפט ההפרדה של על-מישורים. 2. אופציות: הגדרה ויסודות. אופציות אירופאיות ואמריקאיות, ,המודל החד-תקופתי, 3. זמן בדיד, המודל הבינומי, הסתברות אדישה לסיכון, 4. מבדיד לרציף: תנועת בראון, תנועת בראון גיאומטרי, משפט ג'רסנוב, הלמה של איטו, 5. תמחור אופציות בזמן רציף, גידור בזמן רציף, משוואת בלק- שולס, נוסחת בלק שולס. 6. מודלים כלליים בזמן רציף, דרך משוואות דיפרנציאליות חלקיות ושיטות מונטה-קרלו.

88-636 שיטות נומריות מתקדמות

(למתמטיקה פיננסית)

88-638 מתמטיקה אקטוארית ותורת הסיכון

88-642 תורת המשחקים לפיננסית

2. משחקים בצורה אסטרטגית. שווי משקל. 3. אסטרטגיות שולטות. 4. משחקים דינמיים. 5. משחקים סכום־אפס. 6. משחקים עם ידיעה לא שלמה.

88-644 מודלים פיננסיים מתקדמים

88-647 ניתוח דוח"ות כספיים והערכת שווי חברה

1. מבנה של דוח כספי. מאזן נכסים, מאזן פעילויות ומאזן כללי. 2. הוצאות במאזן פעילויות: הוצאות תפעוליות, הוצאות אחרות לפני מיון, הוצאות מימון. 3. הצגת רווחים והפסדים בלתי רגילים, בלתי חוזרים או מיוחדים והשפעתם על הרווח למניה. 4. גישה כלכלית – עסקית לעומת משפטית – פורמלית בחשבונאות. 5. שימוש בערך נוכחי בחשבונאות. 6. ייחוס מיסים – עתודות למיסים נדחים וכו'. 7. השפעת אי-ודאות על הדוחות הכספיים. 8. שיטת האקויטי, תרגומי מטבע, מוניטין,והפחתה לירידת ערך. הערכת סיכוי פשיטת רגל. 9. הערכת שווי החברה.

88-652 סמינר בניהול סיכונים ומידע

88-712 פונקציות מרוכבות של כמה משתנים

88-760 מבוא לסטטיסטיקה 1

88-761 מבוא לסטטיסטיקה 2

88-798 תורת המספרים האלגברית

  1. שלמים אלגבריים, הרחבות שלמות של חוגים, סגור שלם.
  2. שדות מספרים וחוגי השלמים שלהם. נורמה ועיקבה. דיסקרימיננטות.
  3. תחומי דדקינד. חוג השלמים בשדה מספרים הוא תחום דדקינד. פירוק יחיד של אידאל בתחום דדקינד כמכפלה של ראשוניים.
  4. אידאלים שבורים וחבורת המחלקות. סופיות של חבורת המחלקות. חסם מינקובסקי.
  5. משפט היחידות של דיריכלה.
  6. הסתעפות של אידאלים ראשוניים בהרחבה של שדות מספרים. הקבועים e, f, g. הנוסחה היסודית. הסתעפות של אידאלים ראשוניים בהרחבת גלואה של שדות מספרים. תת-חבורות של פירוק והתמדה.
  7. ערכים מוחלטים והערכות. מיון של ערכים מוחלטים על שדה המספרים הרציונליים.
  8. השלמה של שדה מספרים ביחס לערך מוחלט. שדות מקומיים. מספרים ושלמים p-אדיים. משפט אוסטרובסקי. הרחבות של הערכות. הלמה של הנזל.
  9. מבוא (בלי הוכחות) לתורת שדות המחלקות ולהתאמות לנגלנדס.

88-803 אלגברות עם חילוק

  1. אלגברות הקווטרניונים: עקבה ונורמה.
  2. מכפלה טנזורית של אלגברות פשוטות מרכזיות; האלגברה המנוגדת וחבורת בראוור.
  3. תת-שדות מקסימליים, שדות פיצול והעתקת הצמצום. הדרגה והאינדקס.
  4. משפט סקולם-נתר ואלגברות ציקליות.
  5. מכפלות משולבות, חבורת בראוור היחסית ותאור קוהומולוגי שלה. האקספוננט.
  6. קוהומולוגיית גלואה וחבורת בראוור.
  7. יריעות בראוור-סברי.
  8. ה-corestriction.
  9. אינוולוציות מסוג ראשון ומשפט אלברט.
  10. אלגברות פשוטות מעל שדות מקומיים ומעל שדות גלובליים.
  11. תורת K של מילנור; משפט Matsumoto, משפט Merkurjev על אלגברות מאקספוננט 2; משפט Merkurjev-Suslin והשערת Bloch-Kato.
  12. משפטים של Albert על אלגברות-p.

88-809 מערכות דינמיות

I) מושגים בסיסיים במערכות דינמיות רציפות

1. מערכות חד מימדיות: נקודות שבת, הסתעפויות (ביפורקציות), דינמיקה של משוואות מהצורה F(x)=(dx/dt)2.

2. מערכות דו מימדיות: סיווג של נקודות שבת, דיאגרמת במישור הפאזה, מסלולי גבול (limit cycles) ויציבותם, שיטות הפרעה (פרטורבטיביות) לתנודות קטנות לא לינאריות, שיטת לינסטט-פואנקרה לפתרונות מחזוריים, משפט פואנקרה-בנדיקסון (ללא הוכחה), פיצול הופף.

3. מערכות במימד גבוה: ניתוח נקודות שבת, יריעות יציבות, לא יציבות ומרכזיות, משפט הרטמן-גרובמן, מסלולים הומוקלינים והטרוקלינים, מסלולי גבול ויציבותם, פונקציות ליאפונוב.

4. כאוס: משוואת לורנץ (תכונות בסיסיות, חקירה נומרית, המושך המוזר, מימדו ותכונות אחרות), משוואת דאפינג המאולצת (תכונות בסיסיות, שיטות הפרעה, תת-הרמוניות, חקירה נומרית, שימוש בחתכי פואנקרה, התנהגות דמוית-מחזורית), מעריכי ליאפונוב.

II) מושגים בסיסיים במערכות דינמיות בדידות 1.המפה הלוגיסטית: תכונות בסיסיות, פיצולים והכפלת מחזור, מפלים מכפילי מחזור ותורת הרה-נירמול, משפט סרקובסקי, הגדרת הכאוס, מידות אינווריאנטיות, שימוש בדינמיקה סימבולית, פרקטלים.

2.מערכות חד מימדיות אחרות, מסלולים שונים לכאוס, מעריכי ליאפונוב.

3.מערכות מישוריות: מפת הפרסה של סמייל, מפת הנון, המפה הסטנדרטית, או דוגמאות אחרות למיפויים כאוטיים מישוריים.

III) לפי הזמן: כאוס המילטוניאני: מטוטלת כפולה, בעיית שלושת הגופים.

88-813 אלגברה קומוטטיבית

שעות. 3 הרצאה. סמסטר א'.

  1. מודולים: הגדרה, משפטים בסיסיים. [בהתאמה לנלמד ב- תורת החוגים). סדרות הרכב, אורך של מודול.
  2. מודולים וחוגים ארטיניים ונותריים. משפט הבסיס של הילברט.
  3. מיקום של חוגים: הגדרה, תכונות בסיסיות, מיקום באידאל ראשוני, הלמה של נקיימה.
  4. אלגברות אפיניות מעל שדות: תלות אלגברית, מעלת הטרנסצנדנטיות, מימד קרול, שוויונו למעלת הטרנסצנדנטיות עבור תחומים אפיניים.
  5. הרחבות שלמות של חוגים ותכונות של הרחבות חוגים: מונח-על, לא-בר-השוואה, going up, going down.
  6. תורת מימד קרול עבור חוגים נתריים: משפט קרול על אידאלים ראשיים והכללותיו, נוסחת המימד, אידאלים רדיקליים, חוגים מצומצמים, קטנריות של אלגברות אפיניות.
  7. ישומים בגיאומטריה אלגברית: קבוצות ויריעות אלגבריות אפיניות, התאמה בין יריעות אפיניות ותחומים אפיניים, הנולשטלנזץ של הילברט, מימד של רכיבים של החיתוך של שתי יריעות, אלגברות מדורגות ויריעות פרויקטיביות.
  8. ערכים מוחלטים והערכות מוחלטות.

דרישות קדם. אלגברה מופשטת 2. רצוי במקביל תורת גלואה.

88-815 אלגברה לא קומוטטיבית

שעות. 3 הרצאה. סמסטר ב'.

  1. מושגים יסודיים בתורת החוגים: חוגי מטריצות, מושגי יסוד בחוגים לא קוממוטטיבים, מכפלות ישרות, המבנה של Hom(M,N), הצגות של חוגים ואלגברות, ההצגה הרגולרית של אלגברה.
  2. חוגים ומודולים פשוטים למחצה, משפט Wedderburn-Artin.
  3. חוגים ואידיאלים פרימיטיביים, הרדיקל של ג'ייקובסון, המבנה של חוגים ארטיניים.
  4. תורת ההצגות של חובורות, מודולים מעל חוג החבורה F[G].
  5. קרקטרים של חבורות סופיות, היחסים האורתוגונליים של שור, טבלת הקרקטרים, הצגות מושרות, משפט ההיפוך של פרובניוס.

דרישות קדם. אלגברה קומוטטיבית. רצוי מאד תורת גלואה.

88-817 אלגברה הומולוגית

מבוא לקומפלקסי שרשרת, רזולוציות, ופונקטורים גזורים עבור מודולים וחוגים

  1. קומפלקסי שרשרת
  2. Derived functors (פנקטורים נגזרים)
  3. Tor and Ext
  4. מימד הומולוגי של חוגים
  5. הומולוגיה של חבורות

דרישות קדם: 88-211, 88-212.

ביבליוגרפיה.

  • Weibel, An Introduction to Homological Algebra
  • Bourbaki, Algebre Homologique

88-819 הצגות של חבורות קומפקטיות מקומית

88-820 הצגות של אלגברות

1. חזרה על מודולים, תורת וודרבורן, רדיקלים. 2. מודולים פרויקטיביים, מודולים אנג'קטיביים. 3. אלגברות בסיסיות ואלגברות מסלול. 4. תורת אוסלנדר-רייטן. 5. משפט גבריאל. 6. אלגברות חברות-למחצה. 7. שימושים.

88-821 טופולוגיה אלגברית 2

1. הגדרת קומפלקס שרשראות, וההומולוגיה של קומפלקס שרשראות. 2. הגדרת הומולוגיה סינגולרית, תכונות בסיסיות. 3. איזומורפיזם בין ההומולוגיה הראשונה והאבליניזציה של החבורה היסודית. 4. נושאים באלגברה הומולוגית: סדרה ארוכה מדויקת, למת החמישה, הומוטופיית שרשראות, פנקטורים והעתקות טבעיות. 5. סדרת מאיר ויאטוריס. חישוב הומולוגיה של מרחבים שונים. 6. שימושים שונים: משפט נקודת השבת של בראוור, משפט ג'ורדן הכללי, משפט שימור התחום, שדות וקטוריים על ספירות. 7. הומולוגיה יחסית, משפט הקיצוץ. 8. הומולוגיה של מרחבי CW, אלגוריתם לחישוב מפורש של חבורות ההומולוגיה מתוך מבנה ה CW. 9. הומולוגיה עם מקדמים, מציין אוילר.


88-825 גאומטריה אלגברית 2

  1. מימד, מימד של חיתוך, מימד של סיב.
  2. תמונה של קבוצה סגורה, משפטים על שיכון.
  3. דיביזור, אינדקס של חיתוך, דרגה של יריעה.
  4. דרגה של העתקה, משפט Bezout
  5. מערכת לינארית, דיביזור קאנוני, העתקה פלוריקאנונית.
  6. מיון של משטחים

דרישות קדם. גאומטריה אלגברית 1. רצוי גם אלגברה קומוטטיבית.

88-831 אנליזה מרוכבת 1

חזרה על הנושאים הנחוצים מהקורס "פונקציות מרוכבות": משוואות קושי רימן. אנליטיות. פונקציות אנליטיות בסיסיות. נגזרות פורמליות. מסילות ואינטגרציה. נוסחת קושי. משפט קושי. משפט גרין המרוכב. נוסחת קושי-גרין. משפט מוררה. משפט ליוביל. משפט ווירשטרס. עקרון המקסימום. טורי חזקות. פיתוח טיילור. פיתוח לורן. סוגי סינגולריות. פונקציות הרמוניות. עקרון הארגומנט. משפט רושה. התנהגות מקומית של העתקה אנליטית. העתקות בי-לינאריות. משפט ההעתקה של רימן. פיתוח והכללות של מספר נושאים שנלמדו: הכללת משפט מוררה. התנהגות טורי חזקות על השפה. הלמה של בורל-קראתאודורי. גרסה חזקה של משפט ליוביל. גירסה חלשה של משפט פיקרד. הגירסה הכללית של משפט קושי. משפטי הורוביץ. סכימת טורים בעזרת משפט השארית. תכונות גיאומטריות נוספות של העתקות בי-לינאריות. הלמות של שוורץ ושל שוורץ-פיק. כפיפות (Subordination ) של פונקציות. קומפקטיות במרחבים של פונקציות אנליטיות ומשפט מונטל. משפט ויטלי. הוכחת משפט ההעתקה של רימן. פונקציות הרמוניות ובעיית דיריכלה. עקרון השיקוף של שוורץ.

88-833 אנליזה פונקציונלית

(לשעבר "אנליזה מודרנית 2").

  1. מרחבים לינאריים נורמיים.
  2. איזומטריה של מרחבים.
  3. ספרביליות. שלמות. משפט ההשלמה.
  4. מרחבי הילברט.
  5. אורתוגונליות. קירוב טוב ביותר.
  6. בסיסים אורתונורמליים.
  7. קומפקטיות. משפט ארצלה.
  8. פונקציונלים לינאריים.
  9. משפט ההצגה של ריס.
  10. המרחב הצמוד. התכנסות חלשה ובנורמה.
  11. משפט האן-בנך.
  12. אופרטורים לינאריים.
  13. אלגברה של אופרטורים. אופרטורים הפיכים.
  14. ספקטרום של אופרטור.
  15. אופרטורים עם דרגה סופית.
  16. אופרטורים קומפקטיים.
  17. משפט האלטרנטיבה של פרדהולם.
  18. אופרטורים צמודים לעצמם.
  19. משפט הילברט על אופרטור קומפקטי צמוד לעצמו.
  20. אופרטורים אינטגרליים.

88-835 אנליזה הרמונית

  1. טורי פורייה על המעגל. תורת [math]\displaystyle{ \,L^2 }[/math].
  2. משפטי התכנסות ותופעת התבדרות של טור פורייה.
  3. סכימה של טור פורייה על-ידי ממוצעי Fejér.
  4. אופרטור הזזה. מרחבים אינוואריאנטיים להזזות.
  5. מקדמי פורייה של מידה. משפט הרגלוץ על סדרת מספרים חיובית לחלוטין.
  6. מידה ספקטרלית. המשפט הארגודי של פון נוימן.
  7. התפלגות אסימפטוטית של סדרת נקודות. סיבוב אי-רציונאלי על המעגל.
  8. טרנספורם פורייה על הישר הממשי. משפט פלנשרל.
  9. נוסחת הסכום של פואסון.
  10. עקרון אי-הוודאות.
  11. טרנפורם פורייה במישור המרוכב. משפט Paley-Wiener.
  12. דגימה של אותות מוגבלי תדר ובעלי מספר תחומי תדרים. צפיפות של ברלינג-לנדאו.

88-843 אנליזה מודרנית 3

  1. אופרטורים קומפקטים.
    1. הגדרה ושרשים קלאסיים.
    2. תכונות יסודיות וספקטרליות.
    3. אופרטורים קומפקטים צמודים לעצמם והמשפט הספקטרלי.
    4. ישומים למד"ח.
  2. אופרטורים ליניארים במרחבי בנך.
    1. תכונות יסודיות וספקטרליות.
    2. המרחב [math]\displaystyle{ \ L(X) }[/math] של אופרטורים ליניארים וחסומים מ-X לתוך עצמו.
  3. אלגברות בנך.
    1. הגדרה ותכונות יסודיות.
    2. הספקטרום והרדיוס הספקטרלי של אלמנט באלגברה.
    3. הומומורפיסמים מרוכבים ואידיאלים מקסימלים.
    4. משפט בנך אלאגלו.
    5. מרחב האידיאלים המקסימלים.
    6. משפט האינברסיה של וינר.
  4. אלגברות [math]\displaystyle{ \ C^* }[/math] והמשפט הספקטרלי.
    1. הגדרה ודוגמאות של אלגברות [math]\displaystyle{ \ C^* }[/math] ובפרט [math]\displaystyle{ \ L(H) }[/math] כאשר H מרחב הלברט.
    2. משפט סטון-וירשטראס.
    3. משפט גלפנד- ניימרק.
    4. אופרטורים נורמלים והאלגברות שהן יוצרות.
    5. מגלפנד-ניימרק למשפט הספקטרלי לאופורטורים נורמלים.

88-853 הילוכים אקראיים

הילוכים אקראיים הם אחד מהכלים המרכזיים בהסתברות המודרנית, ולהם שימושים רבים בתחומים רבים במתימטיקה, מדעי המחשב התאורטיים והיישומיים, פיזיקה וביולוגיה. בקורס נלמד על הילוכים מקריים ועל חלק מהתורות והמשפטים המרכזיים בתחום. הקורס מתאים לתלמידי תארים מתקדמים ולתלמידי תואר ראשון מצטיינים.

נושאי הקורס: הילוכים מקריים על גרפים. תכונות של הילוכים מקריים, נשנות וחולפות. מרטינגלים ופונקציות הרמוניות. רשתות חשמליות ופירושן ההסתברותי. הסתברויות חזרה והקשר לתכונות הגרף עליו מוגדר ההילוך. הילוכים מקריים מיוחדים, מערכות חלקיקים ומודלי גידול. מבחר נושאים נוספים לפי הזמן. להלן פירוט:

  1. הילוך מקרי פשוט על גרף. הילוכים מקריים על השריגים Zd, משפט פוליה על נשנות וחולפות – ההלך השיכור ימצא את ביתו אך הציפור השיכורה עלולה לטעות לעד. הילוכים מקריים על גרפים ממושקלים.
  2. מרטינגלים בדידים ושימושיהם. משפטי התכנסות, זמני עצירה ומשפטי עצירה.
  3. פונקציות הרמוניות על גרפים והקשר למרטינגלים, זמני פגיעה והסתברויות פגיעה. תכונת ליוביל.
  4. רשתות חשמליות והלוכים מקריים. פירוש הסתברותי של פוטנציאל, זרם והתנגדות. זרימות ואנרגיה. משפט תומפסון ועקרון המונוטוניות של ריילי.
  5. הסתברויות חזרה, גידול נפח, אי-שוויונות איזופרימטריים ואמנביליות.
  6. מבחר נושאים מתוך הבאים, בהתאם לזמן – מבוא להילוכים מקריים בסביבה מקרית, self avoiding walk, loop erased random walk , עצים פורשים ואלגוריתם וילסון, שרשראות מרקוב, , diffusion limited aggregation, מערכות חלקיקים. שימושים של הילוכים מקריים בתחומים שונים במתמטיקה ומדעים אחרים, תנועה בראונית . והתכנסות של הילוך מקרי מנורמל לתנועה בראונית.

88-854 אלגברות וחבורות לי

  1. מבוא.
    1. חבורות טופולוגיות.
    2. יריעות, שדות וקטוריים (חזרה קצרה).
    3. חבורות לי.
    4. העתקות כיסוי וחבורות יסודיות.
    5. פעולת חבורה ומרחבים הומוגניים.
    6. אלגברות לי.
  2. חבורות לי לינאריות:
    1. הגדרה ודוגמאות. מחלקות מיוחדות.
    2. ההעתקה האקספוננציאלית.
    3. ההתאמה בין תת-חבורות ותת-אלגברות.
    4. חבורות לי קשירות ופשוטות קשר. החבורה היסודית.
    5. פירוק Iwasawa ל- [math]\displaystyle{ \ \operatorname{GL}(k) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \ k = \mathbb{R}, \mathbb{C} }[/math].
  3. אלגברות לי לינאריות.
    1. אידיאלים, תת-חבורות נורמליות והומומורפיזמים.
    2. הומומורפיזמים והצגות.
  4. אלגברות לי פתירות ונילפוטנטיות.
    1. נילפוטנטיות.
    2. פתירות.
    3. משפט אנגל.
  5. אלגברות וחבורות לי פשוטות למחצה:
    1. פירוק ז'ורדן
    2. תבנית קילינג, קריטריון קרטן ואלגברות לי פשוטות למחצה
    3. הצגות של [math]\displaystyle{ \ sl(2,\mathbb{C}) }[/math].
  6. שורשים ומשקלים:
    1. טורי מקסימליים ושורשים.
    2. תכונות של מערכות שורשים: שלמות, רציונליות.
    3. מערכות שורשים פשוטות וחבורות וייל.
    4. מיון של מערכות שורשים.
    5. המיון של אלגברות לי פשוטות

דרישות קדם: תורת החבורות. רצוי אלגברה לא קומוטטיבית.

88-856 פולינומים אורתוגונליים

88-861 הצפנה

1. יסודות של הצפנה עם מפתח פומבי (שבוע 2-1) (תזכורת ל-88-577)

פונקציות חד-כיווניות, החלפת מפתחות לפי דיפי-הלמן, הצפנה וחתימה דיגיטלית לפי אל-גמל, מערכות לוגריתם דיסקרטי, התקפות גנריות: צעד תינוק - צעד ענק, אלגוריתמים של פולרד (רו ולמדה), שיטת פוליג-הלמן.

2. עקומים אליפטיים (שבוע 5-3)

משוואת ויירשטרס, דיסקרימיננטה, האינווריאנט j, חוק החבורה, הערכת הסה, מימוש יעיל של מערכות עקומות אליפטיים: קואורדינטות פרויקטיביות, פרוייקטיביות-ממושקלות, קואורדינטות של יעקבי, של צ'ודנובסקי, קואורדינטות מעורבות, צורת מונטגומרי, התקפות על מערכות DLP (סקירה כללית), בסיסי פקטור וחשבון אינדקסים.

3. ספירת נקודות על עקומות אליפטיים מעל שדות סופיים (שבוע 7-6)

תיאור של שיטת שכוף (איזוגניות, פולינומי חילוק, עקבת פרובניוס).

4. מערכות הצפנה המבוססות על ת.ז. (שבוע 12-8)

העתקות דו-לינאריות, החלפת מפתחות תלת-צדדית לפי דיפי-הלמן, זיווג וייל: דיוויזורים, פונקציות רציונליות, נקודות פיתול, בניית זיווג ותכונותיו העיקריות. זיווג טייט-ליכטנבאום, האלגוריתם של מילר לחישוב של זיווגים. מערכות המבוססות על פונקציה חד-כיוונית קידוד-פענוח.

5. מערכות היפר-אליפטיות (שבוע 13)

סקירה כללית.

88-862 סמינר באנליזה

תורת משפחות נורמליות של פונקציות מירומורפיות המוגדרות בתחומים של מישור המרוכב, ונושאים נלווים.

88-870 הסתברות וגאומטריה של חבורות

88-875 מרטינגיילים

88-900 שיטות מתמטיות למשוואות דיפרנציאליות

1 משוואות מסדר ראשון, עקומות מאפיינות, פתרונות מוכללים ופתרונות וריאציונאליים. 2 משוואות מסדר גבוה יותר, בעיות מוצבות היטב. 3 משוואת הגל, משוואת החם, בעיות תנאי התחלה, פתרונות קלאסיים ופתרונות L2. 4 אנליזת פוריה, התפלגויות (distributions). 5 מרחבי סובולב. 6 משוואות אליפטיות. 7 שיטות קלאסיות: פתרונות יסודיים, כלל המקסימום, בעיות שפה למשוואת לפלס, הפרדת משתנים.

88-901 שימושי משוואות דיפרנציאליות

1 חזרה על התיאוריה הקלאסית של משוואות אליפטיות מסדר 2. 2 שיטות שונות, קלאסיות ואחרות, לפתרון בעיות שפה למשוואות אליפטיות מסדר 2. 3 אנליזה פונקציונאלית למרחבים שונים של התפלגויות (distributions). 4 אופרטורים פסידו-דפנרציאליים והשימוש בהם בפתרון בעיות אליפטיות. תורת הרגולריות ופרמטריסים. 5 שיטות של אופרטורים פסידו-דיפרנציאליים למשוואות היפרבוליות. אנליזה מיקרולוקאלית וההתקדמות של סינגולריות. 6 אנליזה פונקציונאלית לא לינארית: תיאורית נקודות שבט ותיאורית דרגה (degree theory). 7 תורת ההסתעפויות.

88-902 שיטות נומריות מתקדמות

1. מבוא לבעיות אליפטיות . 2. ניסוח וריאציונאלי. קיום ויחידות. 3. השיטה של גלרקין. שיטת של האלמנטיים הסופיים. 4. התכנסות וערכות של השגיאה. דוגמאות. מבוא לבעיות פרבוליות משוואת החום 5. שיטה ספקטראלית. ערכים עצמים ווקטורים עצמים. מבוא לבעיות "mixed" . 6. מבוא לבעיות היפרבוליות לא לינאריות. 7. המשוואה של Burgers.שיטת האופיינים. 8. פתרון חלש- אנטרופיה. 9. שיטות נומריות לבעיות היפרבוליות לא לינאריות.

88-906 תורת הקטגוריות

  1. מבוא: דוגמאות חשובות של קטגוריות: העצמים וההעתקות המתאימות ((Set)),((Mon)),((Group)),((Ab)),((Top)),((Top,*)),((k-Vect)),((R-Mod)),((k-Alg))
  2. אקסיומות של קטגוריה.
  3. פונקטר קוווריאנטי וקוטרהווריאנטי וטרספורמציה טבעית.
  4. בעיות ביסודות תורת הקבוצות וקטגוריות "קטנות".
  5. הפונקטור המצורף (adjoint) מימין ומשמאל. פונקטור השיכחה. יחידה וקו-יחידה.
  6. הלמה של יונידה.
  7. התאוריה של קן.
  8. קטגוריות חיבוריות וקטגוריות אבליות
  9. שקילות בין קטגויות
  10. קומפלקסים, הומולוגיה והומוטופיה של קומפלקסים סימפליציאליים
  11. דוגמה: קומפלקסים, הומולוגיה והומוטופיה של מודולים מעל אלגברה ממימד סופי
  • Categories for the Working Mathematician, Saunders MacLane
  • Category Theory for Scientists (Old Version),free online

88-912 תבניות ריבועיות

  1. בעיות קלאסיות בתורת המספרים; מקורות נוספים לתבניות ריבועיות.
  2. איזומורפיזם של תבניות ופעולות (סכום ישר, מכפלה טנזורית).
  3. תבניות היפרבוליות. הפירוק לחלק היפרבולי וחלק איזוטרופי.
  4. חוג וויט. האידיאל היסודי.
  5. הדיסקרימיננטה.
  6. תבניות מעל שדה הממשיים ושדה המרוכבים.
  7. תבניות מעל שדה סופי.
  8. שדות מקומיים; הלמה של הנזל. תבניות מעל שדה מקומי.
  9. שדות סדורים; סידורים של שדות מספרים; אינווריאנט סילווסטר.
  10. משפט על הפיתול של ההעתקה מחוג וויט לאינווריאנטים של הסדר.
  11. אלגברות קליפורד.
  12. אלגברות קווטרניונים וחבורת בראוור. האינווריאנט של Hasse-Witt.
  13. תבניות ריבועיות מעל הרציונליים. עקרון Hasse.
  14. תבניות מעל השלמים ה-p-אדיים.
  15. תבניות מעל השלמים: הגנוס, הגנוס הספינורי. משפט ה-15 ומשפט ה-290.

88-922 סמינר במתמטיקה שימושית

כל סטודנט יכין הרצאה או בנושא כללי (כגון: שימושים במד"ח, מודלים בביולוגיה, מודלים בכלכלה, שיטות חישוביות, עיבוד תמונה) או על מאמר חשוב ומרכזי בתחום.

הדגש בסמינר יהיה יותר על הבנת הבסיס בתחום הנבחר - רקע, מוטיבציה (למה זה מעניין?), דוגמאות, הבנת הבעיה (למה זה קשה?) וגישה לפתרון.

88-962 הסתברות ותהליכים סטוכסטיים

  1. חזרה על עיקרי תורת ההסתברות
    1. משתנים מקריים
    2. התפלגויות הסתברותיות
    3. מומנטים
    4. פונקציות יוצרות
    5. חוק המספרים הגדולים
    6. משפט הגבול המרכזי
  2. תהליכים סטוכסטיים
    1. הגדרה ודוגמאות
    2. תהליך מרקוב
    3. תהליך נייח (סטציונרי)
    4. תהליך בעל תוספות בלתי-תלויות
  3. שרשרות מרקוב בזמן רציף
    1. תהליך פואסון
    2. תהליך לידה ומוות
  4. תהליכי התחדשות
  5. תנועה בראונית
  6. תהליכי הסתעפות
  7. מרטינגלים
אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=סילבוסים&oldid=61966"