אינטגרל מסויים: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־00:32, 27 בינואר 2016

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע:

הגדרה לפי דרבו: אם גבול סכומי דרבו התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו העליונים אזי הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דרבו.
הגדרה לפי רימן: אם גבול סכומי רימן קיים אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימן.

דוגמאות

פונקצית דיריכלה

הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]:

[math]\displaystyle{ D(x)=\begin{cases} 1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases} }[/math]

הוכחה. כיון שבכל חלוקה ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

[math]\displaystyle{ m_k=\inf\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ M_k=\sup\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\}=1 }[/math]

ולכן כל סכום דרבו תחתון שווה

[math]\displaystyle{ \sum_k0\cdot\Delta_k =0 }[/math]

וכמו כן כל סכום דרבו עליון שווה

[math]\displaystyle{ \sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1 }[/math]

שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.

אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים הנו [math]\displaystyle{ 0 }[/math] והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן הפונקציה אינה אינטגרבילית בקטע.

פונקצית רימן

הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], וכי מתקיים [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] הוא השבר המצומצם של [math]\displaystyle{ x }[/math].

הוכחה. באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דרבו התחתונים הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]. צריך למצוא [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל חלוקה עם פרמטר חלוקה קטן מ [math]\displaystyle{ \delta }[/math], מתקיים שמרחק סכום הדרבו העליון שלה מ- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math].

כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו [math]\displaystyle{ 0 }[/math], צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדרבו העליון קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math].

כעת נראה כי לכל מספר טבעי [math]\displaystyle{ q }[/math] מספר הנקודות בקטע בהן [math]\displaystyle{ R(x)\ge\frac1{q} }[/math] הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-[math]\displaystyle{ n_q }[/math] .

אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q} }[/math] (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

כעת, בהנתן חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] כלשהי, לכל היותר [math]\displaystyle{ n_q }[/math] קטעים מכילים נקודות בהן [math]\displaystyle{ R\ge\frac1{q} }[/math], ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כפול אורך הקטע.

בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי [math]\displaystyle{ \frac1{q} }[/math] .

לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:

[math]\displaystyle{ \overline{S}(R,P)\le \frac1{q}\cdot \Big|[0,1]\Big| + n_q\cdot\lambda(P) }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \lambda(P) }[/math] הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.

בסה"כ, נבחר q כך ש:

[math]\displaystyle{ \frac1{q}\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math]

ולאחר מכן נבחר [math]\displaystyle{ \delta }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ n_q\delta\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math]

וכך קיבלנו את שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

חישוב האינטגרל המסוים

קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש בנוסחת ניוטון-לייבניץ.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קטגוריה:אינפי]]
 ==הגדרה==
-תהי f פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסויים של f בקטע:
+תהי <math>f</math> פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של <math>f</math> בקטע:
-*הגדרה לפי '''דרבו''': אם גבול [[סכום דרבו|סכומי דרבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו העליונים אזי הפונקציה f '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסויים בקטע שווה לגבול סכומי הדרבו
+*הגדרה לפי '''דרבו''': אם גבול [[סכום דרבו|סכומי דרבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו העליונים אזי הפונקציה <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דרבו.
-*הגדרה לפי '''רימן''': אם גבול [[סכום רימן|סכומי רימן]] קיים אזי f '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסויים בקטע שווה לגבול סכומי הרימן
+*הגדרה לפי '''רימן''': אם גבול [[סכום רימן|סכומי רימן]] קיים אזי <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימן.
 ==דוגמאות==
 ===פונקצית דיריכלה===
 הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>:
-::<math>D(x)=\begin{cases} 1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math>
+:<math>D(x)=\begin{cases} 1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>
 '''הוכחה.'''
-כיוון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי רציונאלית, מתקיים לכל קטע:
+כיון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:
-::<math>m_k=\inf\{D(x)|x_{k-1}\leq x\leq x_k\}=0</math>
-::<math>M_k=\sup\{D(x)|x_{k-1}\leq x\leq x_k\}=1</math>
+:<math>m_k=\inf\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>
+:<math>M_k=\sup\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math>
 ולכן '''כל''' [[סכום דרבו]] תחתון שווה
-::<math>\sum_k0\cdot\Delta_k =0</math>
+:<math>\sum_k0\cdot\Delta_k =0</math>
 וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו]] עליון שווה
-::<math>\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=|[0,1]|=1-0=1</math>
+:<math>\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1</math>
-שכן סכום אורכי כל תתי הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.
+שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.
-אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים הינו אפס והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא 1, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.
+אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים הנו <math>0</math> והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא <math>1</math>, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.
 ===פונקצית רימן===
+הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>, וכי מתקיים <math>\displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0</math>
-הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>, וכי מתקיים <math>\int_0^1R(x)dx=0</math>
+:<math>R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>
-::<math>R(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math>
-כאשר <math>\frac{p}{q}</math> הוא '''השבר המצומצם''' של x.
+כאשר <math>\frac{p}{q}</math> הוא '''השבר המצומצם''' של <math>x</math>.
 '''הוכחה.'''
-באופן דומה לתרגיל על פונקציה דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי הדרבו התחתונים הוא אפס. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים הוא אפס גם כן.
+באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דרבו התחתונים הוא <math>0</math>. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא <math>0</math>.
-יהי אפסילון גדול מאפס. צריך למצוא דלתא גדול מאפס כך ש'''לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה|פרמטר חלוקה]] קטן מדלתא, מתקיים שמרחק סכום הדרבו העליון שלה מאפס קטן מאפסילון.
+יהי <math>\epsilon>0</math>. צריך למצוא <math>\delta>0</math> כך ש'''לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה|פרמטר חלוקה]] קטן מ <math>\delta</math>, מתקיים שמרחק סכום הדרבו העליון שלה מ- <math>0</math> קטן מ- <math>\epsilon</math>.
-כיוון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הינו אפס, צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדרבו העליון קטן מאפסילון.
+כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו <math>0</math>, צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדרבו העליון קטן מ- <math>\epsilon</math>.
+כעת נראה כי לכל מספר טבעי <math>q</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)\ge\frac1{q}</math> הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-<math>n_q</math> .
-כעת נראה כי לכל מספר טבעי <math>q</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)\geq\frac{1}{q}</math> הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-<math>n_q</math>
+אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).
+כעת, בהנתן חלוקה <math>P</math> כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\ge\frac1{q}</math>, ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר <math>1</math> כפול אורך הקטע.
-אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},...,\frac{1}{q},...,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שייתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).
+בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי <math>\frac1{q}</math> .
-כעת, בהנתן חלוקה P כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\geq\frac{1}{q}</math>, ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר 1 כפול אורך הקטע.
-בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על ידי <math>\frac{1}{q}</math>.
 לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:
-::<math>\overline{S}(R,P)\leq \frac{1}{q}\cdot |[0,1]| + n_q\cdot\lambda(P)</math>
+::<math>\overline{S}(R,P)\le \frac1{q}\cdot \Big|[0,1]\Big| + n_q\cdot\lambda(P)</math>
 כאשר <math>\lambda(P)</math> הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.
@@ שורה 65: / שורה 59: @@
 בסה"כ, נבחר q כך ש:
-::<math>\frac{1}{q}<\frac{\epsilon}{2}</math>
+:<math>\frac1{q}<\frac{\epsilon}{2}</math>
-ולאחר מכן נבחר דלתא כך ש:
+ולאחר מכן נבחר <math>\delta</math> כך ש:
-::<math>n_q\delta < \frac{\epsilon}{2}</math>
+:<math>n_q\delta<\frac{\epsilon}{2}</math>
-וכך קיבלנו את המשל.
+וכך קיבלנו את שרצינו. <math>\blacksquare</math>
 ==חישוב האינטגרל המסוים==
 קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש ב[[המשפט היסודי של החדוא|נוסחת ניוטון-לייבניץ]].