אינטגרל לא מסויים: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
האינטגרל הלא | האינטגרל הלא-מסוים <math>\displaystyle\int{f(x)dx}</math> של פונקציה <math>f</math> שווה לפונקציה קדומה ל- <math>f</math>, כלומר <math>\displaystyle\int{f(x)dx}=F</math> כאשר <math>F'=f</math>. | ||
'''משפט.''' אם F ו-G | '''משפט.''' אם <math>F</math> ו- <math>G</math> הנן פונקציות קדומה לפונקציה <math>f</math> אזי קיים מספר קבוע <math>C</math> כך ש- <math>F=G+C</math> . | ||
'''הוכחה | '''הוכחה:''' | ||
<math>(F-G)'=f-f=0</math> והפונקציה היחידה שהנגזרת שלה היא | <math>(F-G)'=f-f=0</math> והפונקציה היחידה שהנגזרת שלה היא <math>0</math> בכל נקודה היא הפונקציה הקבועה. | ||
מסקנה- אם F | מסקנה- אם <math>F</math> הנה פונקציה קדומה של <math>f</math> אזי קבוצת כל הפונקציות הקדומות של <math>f</math> הנה <math>\{F+C|C\in\R\}</math> (קל להראות הכלה דו-כיוונית). לכן מספיק למצוא פונקציה קדומה אחת בלבד. | ||
| שורה 16: | שורה 16: | ||
*[[שיטת ההצבה]] (כולל הצבות אוניברסאליות) | *[[שיטת ההצבה]] (כולל הצבות אוניברסאליות) | ||
*[[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|אינטגרל על פונקציה רציונאלית]] (כלומר, פולינום חלקי פולינום) | *[[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|אינטגרל על פונקציה רציונאלית]] (כלומר, פולינום חלקי פולינום) | ||
* [[שיטות אינטגרציה]] - כולל קישורים לדפים מתאימים וקובץ מסכם | *[[שיטות אינטגרציה]] - כולל קישורים לדפים מתאימים וקובץ מסכם | ||
גרסה אחרונה מ־21:22, 27 בינואר 2016
הגדרה
האינטגרל הלא-מסוים [math]\displaystyle{ \displaystyle\int{f(x)dx} }[/math] של פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] שווה לפונקציה קדומה ל- [math]\displaystyle{ f }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \displaystyle\int{f(x)dx}=F }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ F'=f }[/math].
משפט. אם [math]\displaystyle{ F }[/math] ו- [math]\displaystyle{ G }[/math] הנן פונקציות קדומה לפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] אזי קיים מספר קבוע [math]\displaystyle{ C }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ F=G+C }[/math] .
הוכחה:
[math]\displaystyle{ (F-G)'=f-f=0 }[/math] והפונקציה היחידה שהנגזרת שלה היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] בכל נקודה היא הפונקציה הקבועה.
מסקנה- אם [math]\displaystyle{ F }[/math] הנה פונקציה קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math] אזי קבוצת כל הפונקציות הקדומות של [math]\displaystyle{ f }[/math] הנה [math]\displaystyle{ \{F+C|C\in\R\} }[/math] (קל להראות הכלה דו-כיוונית). לכן מספיק למצוא פונקציה קדומה אחת בלבד.
שיטות למציאת האינטגרל
- אינטגרציה בחלקים
- שיטת ההצבה (כולל הצבות אוניברסאליות)
- אינטגרל על פונקציה רציונאלית (כלומר, פולינום חלקי פולינום)
- שיטות אינטגרציה - כולל קישורים לדפים מתאימים וקובץ מסכם