וקטור עצמי: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
|||
| (גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | ||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
יהי שדה F, ותהי <math>A\in F^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית מעל השדה | יהי שדה <math>\mathbb F</math> , ותהי <math>A\in{\mathbb F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית מעל השדה | ||
יהיו <math>0\ | יהיו <math>0\ne v\in{\mathbb F}^n</math> ו- <math>\lambda\in\mathbb F</math> כך ש: | ||
:<math>Av=\lambda v</math> | :<math>Av=\lambda v</math> | ||
אזי v נקרא '''וקטור עצמי (ו"ע)''' של המטריצה A ו<math>\lambda</math> הוא ה'''ערך העצמי (ע"ע)''' המתאים לו. | אזי v נקרא '''וקטור עצמי (ו"ע)''' של המטריצה A ו- <math>\lambda</math> הוא ה'''ערך העצמי (ע"ע)''' המתאים לו. | ||
==חישוב ע"ע וו"ע== | ==חישוב ע"ע וו"ע== | ||
נביט ב<math>f_A</math> [[הפולינום האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>f_A(\lambda)=0</math>. | נביט ב- <math>f_A</math> [[הפולינום האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>f_A(\lambda)=0</math> . | ||
כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם. | כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם. | ||
| שורה 17: | שורה 17: | ||
לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב [[מרחב עצמי|המרחב העצמי]]: | לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב [[מרחב עצמי|המרחב העצמי]]: | ||
:<math>V_\lambda=\{v\in F^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math> | :<math>V_\lambda=\{v\in{\mathbb F}^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math> | ||
(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה|מרחב האפס]]) | (הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה|מרחב האפס]]) | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
| שורה 60: | שורה 31: | ||
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>: | קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math> : | ||
<math>f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math> | <math>f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math> | ||
לכן '''הערכים העצמיים''' של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, | לכן '''הערכים העצמיים''' של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הנם '''2''' ו'''6'''. | ||
כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של <math>A</math>. | כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של <math>A</math> . | ||
המרחב העצמי של <math>\lambda</math> שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>(A-\lambda I)v=0</math>. | המרחב העצמי של <math>\lambda</math> שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>(A-\lambda I)v=0</math> . | ||
בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> | בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הנו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הנו <math>\{(1,2,1)\}</math> . | ||
===ב=== | ===ב=== | ||
מצא ע"ע וו"ע של המטריצה <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> מעל הממשיים ומעל המרוכבים. | מצא ע"ע וו"ע של המטריצה <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> מעל הממשיים ומעל המרוכבים. | ||
| שורה 82: | שורה 52: | ||
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>f_\lambda = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים | קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>f_\lambda = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים. | ||
לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע | לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הנם <math>\pm i</math> והבסיסים למרחבים העצמיים הינם <math>\{(1,i)\},\{(1,-i)\}</math> | ||
גרסה אחרונה מ־17:48, 27 בפברואר 2016
הגדרה
יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb F }[/math] , ותהי [math]\displaystyle{ A\in{\mathbb F}^{n\times n} }[/math] מטריצה ריבועית מעל השדה
יהיו [math]\displaystyle{ 0\ne v\in{\mathbb F}^n }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb F }[/math] כך ש:
- [math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math]
אזי v נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של המטריצה A ו- [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הערך העצמי (ע"ע) המתאים לו.
חישוב ע"ע וו"ע
נביט ב- [math]\displaystyle{ f_A }[/math] הפולינום האופייני של המטריצה A. אזי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא ע"ע של A אם"ם [math]\displaystyle{ f_A(\lambda)=0 }[/math] .
כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.
לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב המרחב העצמי:
- [math]\displaystyle{ V_\lambda=\{v\in{\mathbb F}^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I) }[/math]
(הזכרו בהגדרה של מרחב האפס)
דוגמאות
א
מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה
[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix} }[/math]
פתרון.
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math] :
[math]\displaystyle{ f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6) }[/math]
לכן הערכים העצמיים של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הנם 2 ו6.
כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math] .
המרחב העצמי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ (A-\lambda I)v=0 }[/math] .
בסיס למרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-2I) }[/math] הנו [math]\displaystyle{ \{(-1,1,0),(-1,0,1)\} }[/math] ובסיס למרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-6I) }[/math] הנו [math]\displaystyle{ \{(1,2,1)\} }[/math] .
ב
מצא ע"ע וו"ע של המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} }[/math] מעל הממשיים ומעל המרוכבים.
פתרון.
קל לראות כי הפולינום האופייני הינו [math]\displaystyle{ f_\lambda = x^2+1 }[/math], ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.
לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הנם [math]\displaystyle{ \pm i }[/math] והבסיסים למרחבים העצמיים הינם [math]\displaystyle{ \{(1,i)\},\{(1,-i)\} }[/math]