אינטגרל מסויים: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־15:21, 12 בפברואר 2017

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] . אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע:

הגדרה לפי דארבו: אם גבול סכומי דארבו התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דארבו העליונים אזי הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דארבו.
הגדרה לפי רימאן: אם גבול סכומי רימאן קיים אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימאן.

דוגמאות

פונקצית דיריכלה

הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] :

[math]\displaystyle{ D(x)=\begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases} }[/math]

הוכחה.

כיון שבכל חלוקה ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

[math]\displaystyle{ m_k=\inf\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ M_k=\sup\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=1 }[/math]

ולכן כל סכום דארבו תחתון שווה

[math]\displaystyle{ \sum_k0\cdot\Delta_k=0 }[/math]

וכמו כן כל סכום דארבו עליון שווה

[math]\displaystyle{ \sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1 }[/math]

שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.

אם כך, גבול סכומי דארבו התחתונים הנו [math]\displaystyle{ 0 }[/math] והוא שונה מגבול סכומי דארבו העליונים שהוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן הפונקציה אינה אינטגרבילית בקטע.

פונקצית רימאן

הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] , וכי מתקיים [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] הוא השבר המצומצם של [math]\displaystyle{ x }[/math].

הוכחה.

באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דארבו התחתונים הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] . צריך למצוא [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל חלוקה עם פרמטר חלוקה קטן מ- [math]\displaystyle{ \delta }[/math] , מתקיים שמרחק סכום הדארבו העליון שלה מ- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] .

כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדארבו העליון קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] .

כעת נראה כי לכל מספר טבעי [math]\displaystyle{ q }[/math] מספר הנקודות בקטע בהן [math]\displaystyle{ R(x)\ge\frac1{q} }[/math] הוא סופי, ונסמן מספר זה ב- [math]\displaystyle{ n_q }[/math] .

אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q} }[/math] (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

כעת, בהנתן חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] כלשהי, לכל היותר [math]\displaystyle{ n_q }[/math] קטעים מכילים נקודות בהן [math]\displaystyle{ R\ge\frac1{q} }[/math] , ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כפול אורך הקטע.

בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי [math]\displaystyle{ \frac1{q} }[/math] .

לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:

[math]\displaystyle{ \overline{S}(R,P)\le\frac1{q}\cdot\Big|[0,1]\Big|+n_q\cdot\lambda(P) }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \lambda(P) }[/math] הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.

בסה"כ, נבחר q כך ש:

[math]\displaystyle{ \frac1{q}\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math]

ולאחר מכן נבחר [math]\displaystyle{ \delta }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ n_q\delta\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math]

וכך קיבלנו את שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

חישוב האינטגרל המסוים

קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש בנוסחת ניוטון-לייבניץ.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+[[קטגוריה:אינפי]]
 ==הגדרה==
-תהי f פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסויים של f בקטע:
+תהי <math>f</math> פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math> . אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של <math>f</math> בקטע:
-*הגדרה לפי '''דרבו''': אם גבול [[סכום דרבו|סכומי דרבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו העליונים אזי הפונקציה f '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסויים בקטע שווה לגבול סכומי הדרבו
+*הגדרה לפי '''דארבו''': אם גבול [[סכום דרבו|סכומי דארבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דארבו העליונים אזי הפונקציה <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דארבו.
-*הגדרה לפי '''רימן''': אם גבול [[סכום רימן|סכומי רימן]] קיים אזי f '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסויים בקטע שווה לגבול סכומי הרימן
+*הגדרה לפי '''רימאן''': אם גבול [[סכום רימן|סכומי רימאן]] קיים אזי <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימאן.
 ==דוגמאות==
+===פונקצית דיריכלה===
+הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> :
+:<math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>
+;הוכחה.
+כיון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:
+:<math>m_k=\inf\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=0</math>
+:<math>M_k=\sup\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=1</math>
+ולכן '''כל''' [[סכום דרבו|סכום דארבו]] תחתון שווה
+:<math>\sum_k0\cdot\Delta_k=0</math>
+וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו|סכום דארבו]] עליון שווה
+:<math>\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1</math>
+שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.
+אם כך, גבול סכומי דארבו התחתונים הנו <math>0</math> והוא שונה מגבול סכומי דארבו העליונים שהוא <math>1</math>, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.
+===פונקצית רימאן===
+הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> , וכי מתקיים <math>\displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0</math>
+:<math>R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>
+כאשר <math>\frac{p}{q}</math> הוא '''השבר המצומצם''' של <math>x</math>.
+;הוכחה.
+באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דארבו התחתונים הוא <math>0</math>. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא <math>0</math>.
+יהי <math>\epsilon>0</math> . צריך למצוא <math>\delta>0</math> כך ש'''לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה|פרמטר חלוקה]] קטן מ- <math>\delta</math> , מתקיים שמרחק סכום הדארבו העליון שלה מ- <math>0</math> קטן מ- <math>\epsilon</math> .
+כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו <math>0</math> , צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדארבו העליון קטן מ- <math>\epsilon</math> .
+כעת נראה כי לכל מספר טבעי <math>q</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)\ge\frac1{q}</math> הוא סופי, ונסמן מספר זה ב- <math>n_q</math> .
-===פונקצית דיריכלה===
+אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).
-הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>:
+כעת, בהנתן חלוקה <math>P</math> כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\ge\frac1{q}</math> , ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר <math>1</math> כפול אורך הקטע.
+בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי <math>\frac1{q}</math> .
+לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:
+:<math>\overline{S}(R,P)\le\frac1{q}\cdot\Big|[0,1]\Big|+n_q\cdot\lambda(P)</math>
+כאשר <math>\lambda(P)</math> הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.
+בסה"כ, נבחר q כך ש:
+:<math>\frac1{q}<\frac{\epsilon}{2}</math>
+ולאחר מכן נבחר <math>\delta</math> כך ש:
+:<math>n_q\delta<\frac{\epsilon}{2}</math>
+וכך קיבלנו את שרצינו. <math>\blacksquare</math>
-::<math>f(x)=\begin{cases} 1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math>
+==חישוב האינטגרל המסוים==
+קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש ב[[המשפט היסודי של החדוא|נוסחת ניוטון-לייבניץ]].