שדה סופי: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־14:01, 2 בספטמבר 2018

שדה סופי הוא – למה כבר אפשר לצפות – שדה סופי, כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.

הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, [math]\displaystyle{ \Z_p }[/math] , אבל יש גם שדות סופיים אחרים.

כמו בחבורות, ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם איזומורפיים.

סדרים אפשריים

המאפיין של שדה סופי הוא מספר ראשוני [math]\displaystyle{ p }[/math] . השדה מכיל תת-שדה ראשוני שהוא איזומורפי ל־[math]\displaystyle{ \Z_p }[/math] . השדה הוא מרחב וקטורי מעל תת־השדה הזה, ומכיוון שיש לו ממד סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל־[math]\displaystyle{ \Z_p^n }[/math] (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני [math]\displaystyle{ p }[/math] .

קיום

לכל חזקת ראשוני [math]\displaystyle{ q=p^n }[/math] קיים שדה מסדר [math]\displaystyle{ q }[/math] .

הוכחה. נתבונן בפולינום [math]\displaystyle{ x^{q}-x }[/math] מעל השדה הראשוני [math]\displaystyle{ F=\Z_p }[/math] . יהי [math]\displaystyle{ K }[/math] שדה מפצל של הפולינום הזה. נתבונן בתת־הקבוצה [math]\displaystyle{ K_0=\{a\in K:a^q=a\} }[/math] . קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל אוטומורפיזם פרובניוס. לכן זהו תת־שדה. יש בו בדיוק [math]\displaystyle{ q }[/math] אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:

מספר השורשים של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
הפולינום ספרבילי ולכן אין לו שורשים חוזרים;
הפולינום מתפצל ב־[math]\displaystyle{ K_0 }[/math] מכיוון שהוא מתפצל ב־[math]\displaystyle{ K }[/math] .

כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר [math]\displaystyle{ q=p^n }[/math] , יש להכיר פולינום אי-פריק [math]\displaystyle{ f\in F[x] }[/math] ממעלה [math]\displaystyle{ n }[/math] . במקרה זה, חוג המנה [math]\displaystyle{ F[x]/F[x]f(x) }[/math] הוא שדה מכיוון ש־[math]\displaystyle{ F[x]f(x) }[/math] אידיאל מקסימלי.

יחידות

העובדה שמכל סדר [math]\displaystyle{ q }[/math] יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות שדה הפיצול (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-'''שדה סופי''' הוא - למה כבר אפשר לצפות - [[שדה]] [[קבוצה סופית|סופי]], כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.
+'''שדה סופי''' הוא – למה כבר אפשר לצפות – [[שדה]] [[קבוצה סופית|סופי]], כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.
-הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\ \mathbb{Z}_p</math>, אבל יש גם שדות סופיים אחרים.
+הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\Z_p</math> , אבל יש גם שדות סופיים אחרים.
 כמו ב[[חבורה|חבורות]], ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]].
-== סדרים אפשריים ==
+==סדרים אפשריים==
+ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני <math>p</math> . השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל־<math>\Z_p</math> . השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת־השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל־<math>\Z_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני <math>p</math> .
-ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני, p. השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל-<math>\ \mathbb{Z}_p</math>. השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת-השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל-<math>\ \mathbb{Z}_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני p.
+==קיום==
+לכל חזקת ראשוני <math>q=p^n</math> קיים שדה מסדר <math>q</math> .
-== קיום ==
+'''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>F=\Z_p</math> . יהי <math>K</math> [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת־הקבוצה <math>K_0=\{a\in K:a^q=a\}</math> . קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת־שדה. יש בו בדיוק <math>q</math> אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:
+#מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
+#הפולינום [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים;
+#הפולינום מתפצל ב־<math>K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב־<math>K</math> .
-לכל חזקת ראשוני <math>\ q = p^n</math> קיים שדה מסדר q.
+כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר <math>q=p^n</math> , יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>f\in F[x]</math> מ[[מעלה]] <math>n</math> . במקרה זה, [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מכיוון ש־<math>F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]].
-'''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>\ x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>\ F = \mathbb{Z}_p</math>. יהי K [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת-הקבוצה <math>\ K_0 = \{a \in K : a^q = a\}</math>. קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת-שדה. יש בו בדיוק q אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:
+==יחידות==
-# מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
-# הפולינום [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים;
-# הפולינום מתפצל ב-<math>\ K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב-K.
-כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר <math>\ q=p^n</math>, יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>\ f \in F[x]</math> מ[[מעלה]] n. במקרה זה, [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מכיוון ש-<math>\ F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]].
+העובדה שמכל סדר <math>q</math> יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").
-== יחידות ==
-העובדה שמכל סדר q יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").
 [[קטגוריה:תורת גלואה]]
 [[קטגוריה:89214]]