שיטות אינטגרציה: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־13:52, 15 במרץ 2019

בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.

אינטגרציה מיידית

אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.

לדוגמא: [math]\displaystyle{ \int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C }[/math]

דף אינטגרליים מיידיים

אינטגרציה בחלקים

לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:

[math]\displaystyle{ \int f'g=f\cdot g-\int fg' }[/math] (ניתן לוודא על ידי גזירה).

דוגמא

[math]\displaystyle{ \int\ln(x)dx }[/math]

לפי השיטה, נסמן [math]\displaystyle{ f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x) }[/math] .

לכן נקבל [math]\displaystyle{ f(x)=x\ ,\ g'(x)=\frac{1}{x} }[/math] .

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:

[math]\displaystyle{ \int\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C }[/math]

הרחבה

אינטגרציה בהצבה

לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:

[math]\displaystyle{ \int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C }[/math] (ניתן לוודא על-ידי גזירה).

דוגמא

[math]\displaystyle{ \int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] .

נבצע הצבה[math]\displaystyle{ u=\sin^2(x)\ }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\ }[/math]

מקבלים:

[math]\displaystyle{ \int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C }[/math] (נזכור כי [math]\displaystyle{ a+u\gt 0 }[/math] , לכן אין צורך בערך מוחלט).

הרחבה

פונקציה רציונאלית

על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ p(x),q(x) }[/math] פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:

אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
נבצע פירוק לשברים חלקיים.
נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

ניתן לקרוא כאן את האלגוריתם המלא.

הצבות אוניברסאליות

הצבות אוניברסאליות הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של פונקציה רציונאלית אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)

הסבר על הצבות אוניברסאליות

ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית

בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב [math]\displaystyle{ u=\tan\left(\frac{x}{2}\right) }[/math] .

נזכור כי [math]\displaystyle{ 1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)} }[/math] , ונקבל [math]\displaystyle{ \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2} }[/math] .

נקבל בנוסף [math]\displaystyle{ \cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2} }[/math] .

לכן:

[math]\displaystyle{ \sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2} }[/math]

ובדרך אחרת:

[math]\displaystyle{ \tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})} }[/math]

ולכן מתקיים

[math]\displaystyle{ \sin(x)=\tan(\frac{x}{2})\cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2} }[/math]

כמו כן, [math]\displaystyle{ x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du }[/math] .

לסיכום,

[math]\displaystyle{ u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du }[/math]

דוגמא

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{2+2\sin(x)} }[/math]

נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב [math]\displaystyle{ u=\tan\left(\frac{x}{2}\right) }[/math] . נקבל:

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du }[/math]

[math]\displaystyle{ =\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C }[/math]

הרחבה

הצבות אוילר

הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם [math]\displaystyle{ x }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} }[/math] .

אוילר 1 - הפולינום פריק

נניח כי הפולינום [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c }[/math] פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) }[/math] .

הצבת אוילר: נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha) }[/math] (אפשר גם את השורש השני). נביע את [math]\displaystyle{ x }[/math] באמצעות [math]\displaystyle{ u }[/math] , ונוכל למצוא גם את [math]\displaystyle{ x }[/math] וגם את [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} }[/math] .

דוגמא

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}} }[/math]

נעזר בהצבת אוילר: נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1) }[/math] .

לכן [math]\displaystyle{ (x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2 }[/math] , כלומר [math]\displaystyle{ x-6=u^2(x-1) }[/math] , ומכאן [math]\displaystyle{ x=\frac{u^2-6}{u^2-1} }[/math] .

לכן [math]\displaystyle{ dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du }[/math] .

בנוסף, [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1} }[/math]

מקבלים:

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6} }[/math] כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.

אוילר 2 - פולינום יותר כללי

ישנן שתי אפשרויות:

בהינתן [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] , נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u }[/math] .
בהינתן [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math] , נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c }[/math] .

נביע את [math]\displaystyle{ x }[/math] באמצעות [math]\displaystyle{ u }[/math] , ונוכל למצוא את [math]\displaystyle{ dx }[/math] ואת [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} }[/math] .

דוגמא

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}} }[/math]

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-7x+6}=x+u }[/math] .

נעלה בריבוע ונקבל [math]\displaystyle{ x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2 }[/math] , כלומר [math]\displaystyle{ x=\frac{6-u^2}{2u+7} }[/math] .

לכן [math]\displaystyle{ dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du }[/math] ,

וכן [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7} }[/math] .

מקבלים:

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C }[/math]

הרחבה

סיכום

דף מסכם

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש.
+בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
-== אינטגרציה "רגילה" ==
+==אינטגרציה מיידית==
+אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.
-הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה, <BR>
+לדוגמא: <math>\int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C</math>
-<math>\int \left(e^x+\frac{1}{x} \right )dx=e^x+ln\left | x \right |+c</math>.
-=== השלמה לריבוע ===
+[[מדיה:אינטגרלים.pdf|דף אינטגרליים מיידיים]]
-כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-<math>arctan</math>.
+==אינטגרציה בחלקים==
+לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:
-==== דוגמה ====
+<math>\int f'g=f\cdot g-\int fg'</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
-<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx</math>
+===דוגמא===
+<math>\int\ln(x)dx</math>
-ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
+לפי השיטה, נסמן <math>f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x)</math> .
-<math>\int\frac{1}{x^2+x+1\frac{1}{4}}dx=\int\frac{1}{\left (x+\frac{1}{2} \right )^2+1}dx=arctan\left (x+\frac{1}{2} \right )+c</math>
+לכן נקבל <math>f(x)=x\ ,\ g'(x)=\frac{1}{x}</math> .
+לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
+<math>\int\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C</math>
-== אינטגרציה בחלקים ==
-לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים: <BR>
+[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
-<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
-=== דוגמה ===
+==אינטגרציה בהצבה==
+לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
-נחפש את <math>\int ln\ x \ dx</math>.
+<math>\int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C</math> (ניתן לוודא על-ידי גזירה).
-לפי השיטה, נסמן <math>f'\left (x \right )=1</math>, <math>g(x)=ln\ x</math>.
+===דוגמא===
+<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .
-לכן נקבל <math>f(x)=x</math>, <math>g'(x)=\frac{1}{x}</math>.
+נבצע הצבה<math>u=\sin^2(x)\</math> ולכן <math>du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\</math>
-לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
+מקבלים:
+<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math> , לכן אין צורך בערך מוחלט).
+[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
+==פונקציה רציונאלית==
+על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:
+*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
+*נבצע פירוק לשברים חלקיים.
+*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
-<math>\int ln\ x \ dx=x\cdot ln\ x-\int x\cdot \frac{1}{x}\ dx=x\cdot ln\ x-\int 1\ dx=x\cdot ln\ x-x+c</math>.
+ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|כאן]] את האלגוריתם המלא.
-=== הרחבה ===
+==הצבות אוניברסאליות==
+'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.
-[[אינטגרציה בחלקים|הרחבה]]
+הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)
-== אינטגרציה בהצבה ==
+*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]
-לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים: <BR>
+==ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית==
-<math>\int f\left (g\left(x \right ) \right )\cdot g'\left (x \right )\ dx=F\left (g\left(x \right ) \right )+c</math> (ניתן לוודא על ידי גזירה).
+בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> .
-=== דוגמה ===
+נזכור כי <math>1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)}</math> , ונקבל <math>\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2}</math> .
-נחפש את <math>\int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx</math> כאשר <math>a>0</math>.
+נקבל בנוסף <math>\cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math> .
-נבצע הצבה: <math>du=2\cdot sin\ x\cdot cos\ x\ dx=sin\left(2x \right )dx \ \Leftarrow u=sin^2 x</math>. מקבלים:
+לכן:
-<math>\int \frac{sin\left(2x \right )}{a+sin^2 x}dx=\int \frac{1}{a+u}du=ln\left ( a+u \right )+c=ln(a+sin^2 x)+c</math> (נזכור כי <math>a+u>0</math>, לכן אין צורך בערך מוחלט).
+<math>\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=</math>
-=== הרחבה ===
+<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>
-[[שיטת ההצבה|הרחבה]]
+ובדרך אחרת:
-== ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית ==
+<math>\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}</math>
-בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>.
+ולכן מתקיים
-נזכור כי <math>1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha}</math>, ונקבל <math>cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}</math>.
+<math>\sin(x)=\tan(\frac{x}{2})\cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2}</math>
-נקבל בנוסף <math>cos\ x=2\cdot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>.
-לכן <math>sin\ x=\sqrt{ 1-cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2}  \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4  \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>
+כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> .
-כמו כן, <math>x=2\cdot arctan\ t</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>.
+לסיכום,
+ <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math>
-=== דוגמה ===
+===דוגמא===
+<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}</math>
-<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx</math>
+נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)</math> . נקבל:
-ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב <math>u=tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. נקבל:
+<math>\int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du</math>
-<math>\int\frac{1}{2+2\cdot sin\ x}dx=\int\frac{1}{2+2\cdot \frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1+u^2}{2+2u^2+4u}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\int\frac{1}{u^2+2u+1}du=\int\frac{1}{\left (u+1\right )^2}du=-\frac{1}{u+1}+c=-\frac{1}{1+tan\left (\frac{x}{2}\right )}+c</math>
+<math>=\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C</math>
-=== הרחבה ===
 [[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
-== פירוק לשברים חלקיים ==
+==הצבות אוילר==
+הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו- <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
-כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה 1 ובמכנה שלה פולינום, נרצה לפרק את השבר לשברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרד. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שנייה.
+===אוילר 1 - הפולינום פריק===
+נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math> .
-[[מדיה:שברים חלקיים.pdf|הסבר ודוגמה]]
+הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha)</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
-== הצבות אוילר ==
+====דוגמא====
+<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
-הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם <math>x</math> ו-<math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
-=== אוילר 1 - הפולינום פריק ===
+נעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)</math> .
-נניח כי הפולינום <math>ax^2+bx+c</math> פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן <math>ax^2+bx+c=a\left (x-\alpha\right )\left (x-\beta\right )</math>.
-הצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=u\cdot\left (x-\alpha\right )</math> (אפשר גם את השורש השני). נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא גם את <math>x</math> וגם את <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
+לכן <math>(x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2</math> , כלומר <math>x-6=u^2(x-1)</math> , ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math> .
-==== דוגמה ====
-<math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math>
+לכן <math>dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du</math> .
-ניעזר בהצבת אוילר: נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left (x-1\right )</math>. לכן <math>\left(x-1 \right )\left(x-6 \right )=u^2\left(x-1 \right )^2</math>, כלומר <math>x-6=u^2\left(x-1 \right )</math>, ומכאן <math>x=\frac{u^2-6}{u^2-1}</math>. לכן <math>dx=\frac{2u\left (u^2-1  \right )-2u\left (u^2-6  \right )}{\left (u^2-1  \right )^2}du=\frac{10u}{\left (1-u^2  \right )^2}du</math>. בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u\cdot\left ( x-1 \right )=u\cdot\left ( \frac{u^2-6}{u^2-1}-1 \right )=-\frac{5u}{u^2-1}</math>
+בנוסף, <math>\sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1}</math>
 מקבלים:
-<math>\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot \frac{5u}{u^2-1}\ }\cdot\frac{10u}{\left ( 1-u^2 \right )^2}du=-2\int \frac{1}{u^2-6}du</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
+<math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6}</math> כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
+===אוילר 2 - פולינום יותר כללי===
+ישנן שתי אפשרויות:
+# בהינתן <math>a>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u</math> .
+# בהינתן <math>c>0</math> , נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c</math> .
+נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math> , ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math> .
-=== אוילר 2 - פולינום יותר כללי ===
+====דוגמא====
+<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}</math>
-ישנן שתי אפשרויות:
+ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math> .
-# בהינתן <math>a>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot x+u</math>.
-# בהינתן <math>c>0</math>, נציב <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt{c}</math>.
+נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math> , כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math> .
-נביע את <math>x</math> באמצעות <math>u</math>, ונוכל למצוא את <math>dx</math> ואת <math>\sqrt{ax^2+bx+c}</math>.
-==== דוגמה ====
+לכן <math>dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du</math> ,
-<math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx</math>
-ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u</math>. נעלה בריבוע ונקבל <math>x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2</math>, כלומר <math>x=\frac{6-u^2}{2u+7}</math>. לכן <math>dx=\frac{-2u\left (2u+7  \right )-2\left (6-u^2  \right )}{\left (2u+7  \right )^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du</math>, וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math>.
+וכן <math>\sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7}</math> .
 מקבלים:
-<math>\int\frac{1}{\sqrt{x^2-7x+6}}dx=-\int\frac{1}{\ \frac{u^2+7u+6}{2u+7} \ }\cdot 2\cdot\frac{u^2+7u+6}{\left ( 2u+7 \right )^2}du=-\int\frac {2}{2u+7}du=-ln\left | 2u+7 \right |+c=-ln\left | \sqrt{x^2-7x+6}-x \right |+c</math>
+<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C</math>
-=== הרחבה ===
 [[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]]
+==סיכום==
+'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf|דף מסכם]]'''