וקטור עצמי

הגדרה

יהי שדה F, ותהי [math]\displaystyle{ A\in F^{n\times n} }[/math] מטריצה ריבועית מעל השדה

יהיו [math]\displaystyle{ 0\neq v\in F^n }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \lambda\in F }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math]

אזי v נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של המטריצה A ו[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הערך העצמי (ע"ע) המתאים לו.

חישוב ע"ע וו"ע

נביט ב[math]\displaystyle{ f_A }[/math] הפולינום האופייני של המטריצה A. אזי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא ע"ע של A אם"ם [math]\displaystyle{ f_A(\lambda)=0 }[/math].

כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.

לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב המרחב העצמי:

[math]\displaystyle{ V_\lambda=\{v\in F^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I) }[/math]

(הזכרו בהגדרה של מרחב האפס)

הוכחה:

כל התנאים הבאים שקולים:

• x הינו ע"ע של המטריצה A

לפי ההגדרה:

• קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av=xv }[/math]

מעבר אגפים:

• קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av-xv=0 }[/math]

(דיסטריביוטיביות של כפל מטריצות:)

• קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A-xI)v=0 }[/math]

לפי ההגדרה:

• קיים פתרון לא טריוויאלי במרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-xI) }[/math]

משפט מלינארית 1:

• המטריצה [math]\displaystyle{ A-xI }[/math] אינה הפיכה

משפט מלינארית 1:

• [math]\displaystyle{ |A-xI|=0 }[/math]

לפי הגדרה:

• [math]\displaystyle{ f_A(x)=0 }[/math]

דוגמאות

א

מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה

[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix} }[/math]

פתרון.

קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math]:

[math]\displaystyle{ f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6) }[/math]

לכן הערכים העצמיים של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הינם 2 ו6.

כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math].

המרחב העצמי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ (A-\lambda I)v=0 }[/math].

בסיס למרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-2I) }[/math] הינו [math]\displaystyle{ \{(-1,1,0),(-1,0,1)\} }[/math] ובסיס למרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-6I) }[/math] הינו [math]\displaystyle{ \{(1,2,1)\} }[/math].

ב

מצא ע"ע וו"ע של המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} }[/math] מעל הממשיים ומעל המרוכבים.

פתרון.

קל לראות כי הפולינום האופייני הינו [math]\displaystyle{ f_\lambda = x^2+1 }[/math], ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיוון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.

לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הינם [math]\displaystyle{ \pm i }[/math] והבסיסים למרחבים העצמיים הינם [math]\displaystyle{ \{(1,i)\},\{(1,-i)\} }[/math]