שיחה:88-132 תשעג סמסטר א

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

• ארכיון שאלות ותשובות 1
• ארכיון שאלות ותשובות 2

שאלות

הערה לגבי הצגת שאלות

כשמתייחסים לשאלה משיעורי הבית אז בשורת הכותרת פרט למספר התרגיל ולמספר השאלה רצוי מאוד לומר על איזה קבוצה מדובר:מתמטיקאים,תיכוניסטים או מדמ"ח. אחרת, זה יכול לבלבל הן את הסטודנטים והן את המתרגלים. --מני 18:27, 31 באוקטובר 2012 (IST)

(מתמטיקאים) תרגיל 7 שאלה 5

כדי להפריך התכנסות של טור מראים שהאיבר הכללי לא שואף לאפס. השאלה שלי האם אפשר להפריד באיבר הכללי ולהראות פעם אחת על האיבר הכללי הזוגי (כאשר n זוגי) שהוא לא מתכנס לאפס ופעם שניה על האיבר הכללי האי זוגי שהוא לא מתכנס לאפס. האם די בכך כדי לטעון שהאיבר הכללי לא מתכנס לאפס?

היי, מקווה שאני לא טועה ומטעה, אבל לדעתי מספיק להוכיח על אחת מתתי הסדרות (זוגיים או אי זוגיים) שאינה שואפת לאפס, בכדי להוכיח שכל הסדרה שאינה שואפת לאפס. הרי מתקיים: אם סדרה an שואפת ל-l אזי כל תת-סדרה ank שואפת ל-l. וזה בדיוק כמו: אם יש תת-סדרה ank שלא שואפת ל-l, אזי הסדרה an אינה שואפת ל-l.

אגב, יש עוד דרכים להפריך התכנסות של טור (להוכיח שסדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת לגבול סופי או להשתמש באחד מהמבחנים לטורים חיוביים- של קושי וחבריו). בהצלחה.

אפשר בבקשה לפרסם את תרגיל 8 למתמטיקאים?

תודה!

תרגיל מס' 8 שאלה 1

לפי לייבניץ, אם an היא סדרה מונוטונית יורדת של מס' חיובים השואפת ל-0, אזי הטור מתכנס, האם נכון גם לגבי תתי-סדרות, זוגיים ואי-זוגיים? האם ניתן להראות מונוטיות יורדת עבור שני איברים זוגיים ולאחר מכן, עבור שני איברים א"ז? תודה.

(לא מתרגל / מרצה) זה אכן אפשרי, אך זה לא אומר כלום על מונוטוניות הסדרה כולה, שכן יכול להיות שגם הזוגיים וגם האי זוגיים מונוטוניים עולים, אבל לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{2n}\gt a_{2n+1} }[/math], ואז אין מונוטוניות של הסדרה כולה --גיא 17:40, 23 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 8 שאלה 5

חסר במקרה נתון של מונוטוניות??.. כי לא ברור איך לפתור.. או שצריך לחלק למיקרים אם Bn מונוטונית ואם לא..

(לא מתרגל / מרצה) לא חסר שום נתון. באיזה כיוון את/ה מתקשה להוכיח? --גיא 06:47, 26 בדצמבר 2012 (IST)

בשני הכיוונים למען האמת, נניח בכיוון הישר הטור An מתכנס בהחלט אז מה זה נותן לי??.. שהסידרה שואפת לאפס אבל לא נתון מונוטונית אז אי אפשר לפי דריכלה כי גם לא נתור שהטור Bn חסום, אבל גם אי אפשר abel כי מי אמר שBn מונוטונית יכולה להיות חסומה ולא מונוטונית... וגם לפי לייבניץ אני לא רואה כיוון כי לא נתון ש An מונוטונית בכלל.. בקיצור איך מתקדמים??..

בכיוון שציינת שווה לנסות להוכיח יותר, עד כמה שזה נשמע מוזר, שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_nb_n }[/math] מתכנס אפילו בהחלט לכל סדרה חסומה. אפשר בהקשר זה לחשוב על מבחני התכנסות נוספים. --מני 10:45, 26 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 8

אם נתונה סדרה חסומה אזי בהכרח הטור של הסדרה חסום???.. ולהיפך?.. אם טור חסום אזי הסדרה חסומה??..

(לא מתרגל / מרצה) בוודאי שלא. לדוגמה ניקח את הטור ההרמוני [math]\displaystyle{ \sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n} }[/math] - הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] חסומה ע"י 1, אבל טורה מתבדר ולכן אינו חסום. לגבי הכיוון השני, אני חושב שגם לו ניתן למצוא הפרכה אבל אני לא בטוח סופית --גיא 06:45, 26 בדצמבר 2012 (IST)

הכיוון השני כן נכון. כי אם קיים [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N} \ M\geq |S_n| }[/math]

אז[math]\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N} \ |a_{n+1}|=|S_{n+1}-S_n|\leq |S_{n+1}|+|S_n|\leq 2M }[/math]. --מני 10:56, 26 בדצמבר 2012 (IST)

זהויות טריגונומטריות

תוכלו בבקשה להעלות קובץ עם הזהויות הטריגונומטריות החיוניות עבורנו? יש בעמוד הראשי קישור לויקיפדיה, אבל יש שם המון זהויות...

תודה

אני לא יודע בשלב זה לספק רשימת זהויות חיוניות. אני מניח שכל הזהויות שניתקלים בהן בהרצאה, תרגול/ש"ב הן הזהויות ההכרחיות. דברים שכן חשובים ואני יכול להצביע עליהם אלו הזהויות של קוסינוס וסינוס זווית כפולה וגם מעבר ממכפלה לסכום (יש טבלה כזו בקישור שציינת). --מני 19:51, 26 בדצמבר 2012 (IST)

שלילת התכנסות טור

האם על סמך התנאי an+1/an>1 ניתן להסיק ש lim an שונה מ-0 ? ובכך לקבוע ישירות התבדרות הטור.

• (לא מתרגל) כן, כי אם כך (החל ממקום מסוים) איברי הסדרה עולים ממש, וכן חיוביים ולכן לא שואפים ל-0 בטוח. לכן לפי הטענה:

אם הטור מתכנס אז הסדרה שואפת לאפס.

אפשר להסיק שהטור מתבדר.

נכון. תובנה יפה. בהמשך לכך שימו לב שאם התנאי [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}\gt 1 }[/math] מתקיים נניח החל מ[math]\displaystyle{ n_0 }[/math] אז אם

[math]\displaystyle{ a_{n_0} }[/math] שלילי אז התנאי דווקא יגרום לכך שהסדרה מונוטונית יורדת מאותו מקום,וגם אז הגבול לא יכול להיות אפס. כי אם תהיה התכנסות הגבול יהיה קטן או שווה ל[math]\displaystyle{ a_{n_0} }[/math] שהוא שלילי. --מני 20:02, 26 בדצמבר 2012 (IST)

תרגיל 6 שאלת בונוס (מתמטיקאים)

נתון בשאלה שמתקיים: [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} (a_{n+1}-a_{n})=0 }[/math] כלומר, לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_{0} }[/math] שהחל ממנו [math]\displaystyle{ \left |a_{n+1}-a_{n} \right |\lt \varepsilon }[/math]

ניסיתי להשתמש בקושי ולטעון: [math]\displaystyle{ \left | a_{n+p}-a_{n} \right |=\left | a_{n+p}-a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-a_{n+p-2}+...+a_{n+1}-a_{n} \right |\leq \left | a_{n+p}-a_{n+p-1} \right |+\left | {n+p-1}-a_{n+p-2} \right |+...+\left | a_{n+1}-a_{n} \right | }[/math]

ולכל [math]\displaystyle{ n\geq n_{0} }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \left | a_{n+p}-a_{n} \right |\lt \varepsilon +\varepsilon +...+\varepsilon =p\cdot \varepsilon }[/math]

נבחר [math]\displaystyle{ \varepsilon=\frac{\varepsilon _{0}}{p} \Rightarrow \varepsilon \cdot p=\varepsilon _{0} }[/math]

ונקבל : לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon _{0} }[/math] (בהתאם לבחירת [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] כרצוננו):

[math]\displaystyle{ \left | a_{n+p}-a_{n}\right |\lt \varepsilon _{0} }[/math]

ולכן, לפי קושי, הסדרה מתכנסת לגבול סופי.

האם זה נכון?

לא. יש בעיה עם הכמתים (קיים,לכל). בהגדרה לפי קושי, אם אשתמש בסימונים שלך צריך להוכיח שלכל [math]\displaystyle{ \epsilon_0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\geq n_0 }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ p }[/math] טבעי[math]\displaystyle{ \left | a_{n+p}-a_{n}\right |\lt \varepsilon _{0} }[/math].

אני אציג מה שלא עובד בהוכחה שציינת. בגדול אי אפשר יהיה לקבוע מהו [math]\displaystyle{ n_0 }[/math]. למה?

נציב לפי ההצעה שלך [math]\displaystyle{ p }[/math] טבעי מסוים ועבור [math]\displaystyle{ \varepsilon _0 }[/math] מסוים, [math]\displaystyle{ \epsilon=\frac{\varepsilon_0}{p} }[/math] ונשתמש בגבול הנתון ונסיק שקיים [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] שתלוי ב [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] ולכן תלוי ב[math]\displaystyle{ p }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\geq n_{0} }[/math] ועבור אותו [math]\displaystyle{ p }[/math] ספציפי [math]\displaystyle{ \left | a_{n+p}-a_{n}\right |\lt \varepsilon _{0} }[/math]. אבל כדי להוכיח קריטריון קושי צריך שהנ"ל יתקיים לכל [math]\displaystyle{ p }[/math] ולא ל [math]\displaystyle{ p }[/math] מסויים. אם היינו משנים את [math]\displaystyle{ p }[/math] גם [math]\displaystyle{ n_0 }[/math] היה יכול להשתנות (כי הוא תלוי ב[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] שתלוי ב[math]\displaystyle{ p }[/math]).

אגב, אי אפשר להוכיח שקריטריון קושי מתקיים ושהסדרה מתכנסת שכן קיימות דוגמאות נגדיות לסדרות שלא יתכנסו אך עדיין יקימו את התנאי בשאלה. --מני 11:50, 28 בדצמבר 2012 (IST)

נכון. תודה (:

מועד הבוחן

מתי יתקיים הבוחן השני לתיכוניסטים?

(לא מתרגל / מרצה) התאריך אמור להתפרסם בקרוב :) --גיא 21:58, 1 בינואר 2013 (IST)

תיכוניסטים תרגיל 9 שאלה 3

האם L ממשי או שייך לקו הממשי המורחב(כלומר כולל פלוס ומינוס אינסוף)?

ממשי --ארז שיינר

תרגיל 9 שאלה 1

כאשר רוצים לדרוש ערך מוחלט גדול מחיובי כלשהו (חסם לפי קושי)..אפשר לבחור את דלתא עצמה??.. כי ידוע שהיא חיובית, תודה!

אם הבנתי נכון את השאלה אז התשובה היא לא. אנחנו לא יודעים שדלתא חיובית. אנחנו רוצים להוכיח שקיימת דלתא חיובית כך ש...

חוץ מזה אנחנו לוקחים איקס לפי דלתא למשל [math]\displaystyle{ \delta\gt |x-1|\gt 0 }[/math] כשבודקים גבול פונקציה בנקודה 1. בעצם כתוב כאן קיימת דלתא כך שלכל איקס המקיים [math]\displaystyle{ \delta\gt |x-1|\gt 0 }[/math]. לכן האיקסים אמורים להיות תלויים בדלתא ולא ההיפך... אי אפשר להגיד פתאום ש [math]\displaystyle{ |x+5|\gt \delta }[/math]. הרעיון הוא להוסיף אילוץ על דלתא שלא תלוי באיקס למשל שדלתא קטנה משליש ואז דווקא לקבל מידע על הטווח של האיקסים לפי [math]\displaystyle{ \delta\gt |x-1|\gt 0 }[/math] בדוגמא שלי --מני 20:28, 2 בינואר 2013 (IST)

תיכוניסטים תרגיל 9 שאלה 2b

ניתן להניח שאם [math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - \infty }f(x)=- \infty }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - \infty }g(x)=- \infty }[/math] אז [math]\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow - \infty }f(x)g(x)= \infty }[/math] ?

(לא מתרגל / מרצה) כן, לפי אריתמטיקה של גבולות --גיא 20:07, 4 בינואר 2013 (IST)

שאלה כללית

איך אני מחשב גבולות חד צדדיים של פונקציות?

• (לא מתרגל) באופן כללי יש הרבה דרכים, ומשפטי עזר לנושא. לדוגמא, אפשר לחשב על ידי אריתמטיקה, או על ידי משפט הסנדוויץ'. בנוסף אפשר לדעת על קיומו של גבול חד צדדי לפי המשפטון הבא:

אם f פונקציה חסומה ומונוטונית בקטע סגור [a,b] אזי קיימים הגבול מימין של a והגבול משמאל של b. דבר נחמד נוסף הוא שבמקרה בו הפונקציה עולה לדוגמא, הגבול השמאלי של b הוא הsup של כל ה(f(x בקטע, ובנוגע לגבול הימני בa הוא הinf בהתאמה. ביורדת בדומה. כלומר, אפשר לפתור את הבעיה עם חסמים במידה ומתרחש מקרה כמו המתואר לעיל.

דרך נוספת היא ממש לפי ההגדרה - לפי קושי/היינה, אבל לרוב זה לא נחמד ולא שימושי כל כך.

רציפות במידה שווה

אפשר הסבר להבדל בין רציפות לבין רציפות במידה שווה מבחינת הגדרה? כי אמרו שהדלתא יכול להיות תלוי ב x, בעוד שבמידה שווה זה לא כך.

לא הבנתי כל-כך למה זה נכון..

(לא מתרגל / מרצה) הנה ההסבר שלי:

ההגדרה לרציפות היא נקודתית. כלומר [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם [math]\displaystyle{ lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0\exists\delta\gt 0\forall x,0\lt |x-x_0|\lt \delta: |f(x)-f(x_0)|\lt \varepsilon }[/math]. כלומר בבחירת [math]\displaystyle{ \delta }[/math] יש גם תלות ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].

לעומת זאת, ההגדרה לרציפות במידה שווה היא כוללת. פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] היא רציפה שווה בקטע [math]\displaystyle{ A }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0\exists\delta\gt 0\forall x_1,x_2\in A, |x_1-x_2|\lt \delta:|f(x_1)-f(x_2)|\lt \varepsilon }[/math]. כלומר פה אין קודם בחירה של הנקודה, אלא ה-[math]\displaystyle{ \delta }[/math] מתאים לכל שתי נקודות.

זו הכוונה בכך ש-[math]\displaystyle{ \delta }[/math] אינו תלוי ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. --גיא 23:21, 6 בינואר 2013 (IST)

תודה רבה הבנתי :) כשאמרו שבחירת הדלתא תלוי ב x, לא הבנתי שהם מתכוונים ל xo.

שאלה טכנית

אם יש לי, נניח, דבר כזה:

[math]\displaystyle{ lim_{x\rightarrow 0} (\frac{1}{x}+x) }[/math]

ואני רוצה לחשב גבולות חד-צדדיים. האם מותר לי, לפני חישוב הגבולות, לומר:

[math]\displaystyle{ lim_{x\rightarrow 0} (\frac{1}{x}+x)=lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x} + 0=lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x} }[/math]

כאילו לעשות מעבר גבול על "חלק" מהארגומנט, אותו החלק שאינו תלוי בצד הגבול (מימין או משמאל)?

יש קצת בעיה לכתוב את זה כך כי גבול שווה לסכום הגבולות בהנחה שהגבולות בכלל קיימים בדוגמא שציינת הגבול [math]\displaystyle{ lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x} }[/math] כלל לא קיים ומן הסתם גם הגבול שהתחלת איתו לא קיים. מצד שני לכתוב

[math]\displaystyle{ lim_{x\rightarrow 0^+} (\frac{1}{x}+x)=lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x} + 0=lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{x} }[/math] נראה יותר מדוייק וכנ"ל בגבול החד צדדי השמאלי שכן הגבולות החד צדדיים האלו כן קיימים--מני 15:04, 8 בינואר 2013 (IST)

בתרגיל 10 שאלה 1ב (מתמטיקאים)

צריך להוכיח רציפות של הפונקציות sin ו-cos?

לא. --מני 16:19, 9 בינואר 2013 (IST)

חומר לבוחן (תיכוניסטים)

מה החומר לבוחן (הקבוצה של פרופ' אגרונובסקי)?

העלאת תרגיל 10 לתיכוניסיטים

ניתן בבקשה להעלאות את התרגיל של השבוע?

הבחנים

מה התאריכים של הבחנים, ומה החומר שהם יכסו? תודה

שאלה כללית

מה ההבדל בין סופרמום של פונקציה למקסימום שלה??..ואם אפשר לרשום את ההגדרה הפורמלית של כל אחד מהמושגים, תודה!

http://www.math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%97%D7%A1%D7%9E%D7%99%D7%9D

הגדרת גבול של פונקציה

אם פונקציה שואפת לאינסוף, מה זה אומר??

הגדרת גבול של פונקציה

אם פונקציה שואפת לאינסוף, מה זה אומר??

כלומר אם איקס שואף לאינסוף, והגבול הוא L, מה זה אומר??

(לא מתרגל / מרצה) [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0\exists\delta\gt 0\forall x, x\gt \frac{1}{\delta}:|f(x)-L|\lt \varepsilon }[/math], כי כזכור [math]\displaystyle{ U_\delta (+\infty)=(\frac{1}{\delta},+\infty) }[/math]. --גיא 19:24, 12 בינואר 2013 (IST)

קצת מבלבל אותי הסביבות הללו XD

(לא מתרגל / מרצה) אם [math]\displaystyle{ x\rightarrow\infty }[/math] והגבול הוא [math]\displaystyle{ L }[/math], אז לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] שנבחר (מרחק על ציר [math]\displaystyle{ y }[/math]), קיים מרחק על ציר [math]\displaystyle{ x }[/math], שבשפה מתמטית קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\gt \frac{1}{\delta} }[/math], ערכי הפונקציה יהיו באזור של [math]\displaystyle{ L }[/math], כלומר יתקיים [math]\displaystyle{ |f(x)-L|\lt \varepsilon }[/math]. מקווה שיותר מובן :) --גיא 18:24, 16 בינואר 2013 (IST)

האם יש מחר לימודים ??? (תיכוניסטים) דחוף !

מתקיימים מחר הרצאות ותירגולים ??? כי יש בגרות באנגלית מחר והיא חופפת לשעות הלמידה. בבקשה תשובה בהקדם !

(לא מתרגל) כן. כרגיל