אינטגרל מסויים

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] . אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע:

• הגדרה לפי דארבו: אם גבול סכומי דארבו התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דארבו העליונים אזי הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דארבו.
• הגדרה לפי רימאן: אם גבול סכומי רימאן קיים אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימאן.

דוגמאות

פונקצית דיריכלה

הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] :

[math]\displaystyle{ D(x)=\begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases} }[/math]

הוכחה.

כיון שבכל חלוקה ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

[math]\displaystyle{ m_k=\inf\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ M_k=\sup\Big\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=1 }[/math]

ולכן כל סכום דרבו תחתון שווה

[math]\displaystyle{ \sum_k0\cdot\Delta_k=0 }[/math]

וכמו כן כל סכום דרבו עליון שווה

[math]\displaystyle{ \sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1 }[/math]

שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.

אם כך, גבול סכומי דארבו התחתונים הנו [math]\displaystyle{ 0 }[/math] והוא שונה מגבול סכומי דארבו העליונים שהוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן הפונקציה אינה אינטגרבילית בקטע.

פונקצית רימאן

הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] , וכי מתקיים [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] הוא השבר המצומצם של [math]\displaystyle{ x }[/math].

הוכחה.

באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דארבו התחתונים הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] . צריך למצוא [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל חלוקה עם פרמטר חלוקה קטן מ- [math]\displaystyle{ \delta }[/math] , מתקיים שמרחק סכום הדארבו העליון שלה מ- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] .

כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדארבו העליון קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] .

כעת נראה כי לכל מספר טבעי [math]\displaystyle{ q }[/math] מספר הנקודות בקטע בהן [math]\displaystyle{ R(x)\ge\frac1{q} }[/math] הוא סופי, ונסמן מספר זה ב- [math]\displaystyle{ n_q }[/math] .

אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q} }[/math] (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

כעת, בהנתן חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] כלשהי, לכל היותר [math]\displaystyle{ n_q }[/math] קטעים מכילים נקודות בהן [math]\displaystyle{ R\ge\frac1{q} }[/math] , ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כפול אורך הקטע.

בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי [math]\displaystyle{ \frac1{q} }[/math] .

לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:

[math]\displaystyle{ \overline{S}(R,P)\le\frac1{q}\cdot\Big|[0,1]\Big|+n_q\cdot\lambda(P) }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \lambda(P) }[/math] הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.

בסה"כ, נבחר q כך ש:

[math]\displaystyle{ \frac1{q}\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math]

ולאחר מכן נבחר [math]\displaystyle{ \delta }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ n_q\delta\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math]

וכך קיבלנו את שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

חישוב האינטגרל המסוים

קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש בנוסחת ניוטון-לייבניץ.