וקטור עצמי: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־17:48, 27 בפברואר 2016

הגדרה

יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb F }[/math] , ותהי [math]\displaystyle{ A\in{\mathbb F}^{n\times n} }[/math] מטריצה ריבועית מעל השדה

יהיו [math]\displaystyle{ 0\ne v\in{\mathbb F}^n }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb F }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math]

אזי v נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של המטריצה A ו- [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הערך העצמי (ע"ע) המתאים לו.

חישוב ע"ע וו"ע

נביט ב- [math]\displaystyle{ f_A }[/math] הפולינום האופייני של המטריצה A. אזי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא ע"ע של A אם"ם [math]\displaystyle{ f_A(\lambda)=0 }[/math] .

כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.

לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב המרחב העצמי:

[math]\displaystyle{ V_\lambda=\{v\in{\mathbb F}^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I) }[/math]

(הזכרו בהגדרה של מרחב האפס)

דוגמאות

א

מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה

[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix} }[/math]

פתרון.

קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math] :

[math]\displaystyle{ f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6) }[/math]

לכן הערכים העצמיים של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הנם 2 ו6.

כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math] .

המרחב העצמי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ (A-\lambda I)v=0 }[/math] .

בסיס למרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-2I) }[/math] הנו [math]\displaystyle{ \{(-1,1,0),(-1,0,1)\} }[/math] ובסיס למרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-6I) }[/math] הנו [math]\displaystyle{ \{(1,2,1)\} }[/math] .

ב

מצא ע"ע וו"ע של המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} }[/math] מעל הממשיים ומעל המרוכבים.

פתרון.

קל לראות כי הפולינום האופייני הינו [math]\displaystyle{ f_\lambda = x^2+1 }[/math], ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.

לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הנם [math]\displaystyle{ \pm i }[/math] והבסיסים למרחבים העצמיים הינם [math]\displaystyle{ \{(1,i)\},\{(1,-i)\} }[/math]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
 ==הגדרה==
-יהי שדה F, ותהי <math>A\in F^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית מעל השדה
+יהי שדה <math>\mathbb F</math> , ותהי <math>A\in{\mathbb F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית מעל השדה
-יהיו <math>0\neq v\in F^n</math> ו-<math>\lambda\in F</math> כך ש:
+יהיו <math>0\ne v\in{\mathbb F}^n</math> ו- <math>\lambda\in\mathbb F</math> כך ש:
 :<math>Av=\lambda v</math>
-אזי v נקרא '''וקטור עצמי (ו"ע)''' של המטריצה A ו<math>\lambda</math> הוא ה'''ערך העצמי (ע"ע)''' המתאים לו.
+אזי v נקרא '''וקטור עצמי (ו"ע)''' של המטריצה A ו- <math>\lambda</math> הוא ה'''ערך העצמי (ע"ע)''' המתאים לו.
 ==חישוב ע"ע וו"ע==
-נביט ב<math>f_A</math> [[הפולינום האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>f_A(\lambda)=0</math>.
+נביט ב- <math>f_A</math> [[הפולינום האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>f_A(\lambda)=0</math> .
 כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.
@@ שורה 17: / שורה 17: @@
 לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב [[מרחב עצמי|המרחב העצמי]]:
-:<math>V_\lambda=\{v\in F^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math>
+:<math>V_\lambda=\{v\in{\mathbb F}^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math>
 (הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה|מרחב האפס]])
@@ שורה 31: / שורה 31: @@
-קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>:
+קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math> :
 <math>f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math>
-לכן '''הערכים העצמיים''' של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הינם  '''2''' ו'''6'''.
+לכן '''הערכים העצמיים''' של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הנם  '''2''' ו'''6'''.
-כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של <math>A</math>.
+כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של <math>A</math> .
-המרחב העצמי של <math>\lambda</math> שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>(A-\lambda I)v=0</math>.
+המרחב העצמי של <math>\lambda</math> שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>(A-\lambda I)v=0</math> .
-בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הינו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הינו <math>\{(1,2,1)\}</math>.
+בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הנו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הנו <math>\{(1,2,1)\}</math> .
 ===ב===
 מצא ע"ע וו"ע של המטריצה <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> מעל הממשיים ומעל המרוכבים.
@@ שורה 53: / שורה 52: @@
 '''פתרון.'''
-קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>f_\lambda = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיוון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.
+קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>f_\lambda = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.
-לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הינם <math>\pm i</math> והבסיסים למרחבים העצמיים הינם <math>\{(1,i)\},\{(1,-i)\}</math>
+לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הנם <math>\pm i</math> והבסיסים למרחבים העצמיים הינם <math>\{(1,i)\},\{(1,-i)\}</math>