שיטות אינטגרציה

בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.

אינטגרציה "רגילה"

הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמא,

[math]\displaystyle{ \int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(|x|)+C }[/math]

דף אינטגרלים

ראה כאן

השלמה לריבוע

כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שניה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהעזר ב- [math]\displaystyle{ \arctan }[/math] .

דוגמא

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{x^2+x+\frac{5}{4}} }[/math]

נעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{x^2+x+\frac{5}{4}}=\int\frac{dx}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1}=\arctan\left(x+\frac{1}{2}\right)+C }[/math]

אינטגרציה בחלקים

לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:

[math]\displaystyle{ \int f'g=f\cdot g-\int fg' }[/math] (ניתן לוודא על ידי גזירה).

דוגמא

[math]\displaystyle{ \int\ln(x)dx }[/math]

לפי השיטה, נסמן [math]\displaystyle{ f'(x)=1\ ,\ g(x)=\ln(x) }[/math] .

לכן נקבל [math]\displaystyle{ f(x)=x\ ,\ g'(x)=\frac{1}{x} }[/math] .

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:

[math]\displaystyle{ \int\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+C }[/math]

הרחבה

אינטגרציה בהצבה

לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:

[math]\displaystyle{ \int f(g(x))\cdot g'(x)dx=F(g(x))+C }[/math] (ניתן לוודא על-ידי גזירה).

דוגמא

[math]\displaystyle{ \int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] .

נבצע הצבה: [math]\displaystyle{ u=\sin^2(x)\ \Rightarrow\ du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\ }[/math]

מקבלים:

[math]\displaystyle{ \int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx=\int\frac{du}{a+u}=\ln(a+u)+C=\ln\big(a+\sin^2(x)\big)+C }[/math] (נזכור כי [math]\displaystyle{ a+u\gt 0 }[/math] , לכן אין צורך בערך מוחלט).

הרחבה

ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית

בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב [math]\displaystyle{ u=\tan\left(\frac{x}{2}\right) }[/math] .

נזכור כי [math]\displaystyle{ 1+\tan^2(\alpha)=\frac{1}{\cos^2(\alpha)} }[/math] , ונקבל [math]\displaystyle{ \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{1+u^2} }[/math] .

נקבל בנוסף [math]\displaystyle{ \cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\frac{2}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2} }[/math] .

לכן:

[math]\displaystyle{ \sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}=\sqrt{1-\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2} }[/math]

כמו כן, [math]\displaystyle{ x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du }[/math] .

לסיכום,

[math]\displaystyle{ u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du }[/math]

דוגמא

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{2+2\sin(x)} }[/math]

נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב [math]\displaystyle{ u=\tan\left(\frac{x}{2}\right) }[/math] . נקבל:

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{2+2\sin(x)}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot\frac{2}{1+u^2}du=\frac{1}{2}\int\frac{1+u^2}{u^2+2u+1}\cdot\frac{2}{1+u^2}du }[/math]

[math]\displaystyle{ =\int\frac{du}{(u+1)^2}=-\frac{1}{u+1}+C=-\frac{1}{1+\tan\left(\frac{x}{2}\right)}+C }[/math]

הרחבה

הצבות אוילר

הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם [math]\displaystyle{ x }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} }[/math] .

אוילר 1 - הפולינום פריק

נניח כי הפולינום [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c }[/math] פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) }[/math] .

הצבת אוילר: נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=u(x-\alpha) }[/math] (אפשר גם את השורש השני). נביע את [math]\displaystyle{ x }[/math] באמצעות [math]\displaystyle{ u }[/math] , ונוכל למצוא גם את [math]\displaystyle{ x }[/math] וגם את [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} }[/math] .

דוגמא

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}} }[/math]

נעזר בהצבת אוילר: נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1) }[/math] .

לכן [math]\displaystyle{ (x-1)(x-6)=u^2(x-1)^2 }[/math] , כלומר [math]\displaystyle{ x-6=u^2(x-1) }[/math] , ומכאן [math]\displaystyle{ x=\frac{u^2-6}{u^2-1} }[/math] .

לכן [math]\displaystyle{ dx=\frac{2u(u^2-1)-2u(u^2-6)}{(u^2-1)^2}du=\frac{10u}{(1-u^2)^2}du }[/math] .

בנוסף, [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-7x+6}=u(x-1)=u\left(\frac{u^2-6}{u^2-1}-1\right)=-\frac{5u}{u^2-1} }[/math]

מקבלים:

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2-6}{u^2-1}\cdot\frac{5u}{u^2-1}}\cdot\frac{10u}{(1-u^2)^2}du=-2\int\frac{du}{u^2-6} }[/math] כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.

אוילר 2 - פולינום יותר כללי

ישנן שתי אפשרויות:

1. בהינתן [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] , נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+u }[/math] .
2. בהינתן [math]\displaystyle{ c\gt 0 }[/math] , נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c}=xu+\sqrt c }[/math] .

נביע את [math]\displaystyle{ x }[/math] באמצעות [math]\displaystyle{ u }[/math] , ונוכל למצוא את [math]\displaystyle{ dx }[/math] ואת [math]\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} }[/math] .

דוגמא

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}} }[/math]

ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-7x+6}=x+u }[/math] .

נעלה בריבוע ונקבל [math]\displaystyle{ x^2-7x+6=x^2+2xu+u^2 }[/math] , כלומר [math]\displaystyle{ x=\frac{6-u^2}{2u+7} }[/math] .

לכן [math]\displaystyle{ dx=\frac{-2u(2u+7)-2(6-u^2)}{(2u+7)^2}du=-2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du }[/math] ,

וכן [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2-7x+6}=x+u=\frac{6-u^2}{2u+7}+u=\frac{6-u^2+2u^2+7u}{2u+7}=\frac{u^2+7u+6}{2u+7} }[/math] .

מקבלים:

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2-7x+6}}=-\int\frac{1}{\frac{u^2+7u+6}{2u+7}}\cdot2\cdot\frac{u^2+7u+6}{(2u+7)^2}du=-\int\frac{2}{2u+7}du=-\ln(|2u+7|)+C=-\ln\left(\left|\sqrt{x^2-7x+6}-x\right|\right)+C }[/math]

הרחבה

פונקציה רציונאלית

על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ p(x),q(x) }[/math] פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:

• אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
• נבצע פירוק לשברים חלקיים.
• נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

ניתן לקרוא כאן את האלגוריתם המלא.

סיכום

דף מסכם