אינטגרל מסויים

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע:

• הגדרה לפי דרבו: אם גבול סכומי דרבו התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו העליונים אזי הפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דרבו.
• הגדרה לפי רימן: אם גבול סכומי רימן קיים אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימן.

דוגמאות

פונקצית דיריכלה

הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]:

[math]\displaystyle{ D(x)=\begin{cases} 1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases} }[/math]

הוכחה. כיון שבכל חלוקה ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

[math]\displaystyle{ m_k=\inf\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ M_k=\sup\{D(x)|x_{k-1}\le x\le x_k\}=1 }[/math]

ולכן כל סכום דרבו תחתון שווה

[math]\displaystyle{ \sum_k0\cdot\Delta_k =0 }[/math]

וכמו כן כל סכום דרבו עליון שווה

[math]\displaystyle{ \sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big|[0,1]\Big|=1-0=1 }[/math]

שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.

אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים הנו [math]\displaystyle{ 0 }[/math] והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן הפונקציה אינה אינטגרבילית בקטע.

פונקצית רימן

הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math], וכי מתקיים [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] הוא השבר המצומצם של [math]\displaystyle{ x }[/math].

הוכחה. באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דרבו התחתונים הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math]. צריך למצוא [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל חלוקה עם פרמטר חלוקה קטן מ [math]\displaystyle{ \delta }[/math], מתקיים שמרחק סכום הדרבו העליון שלה מ- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math].

כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו [math]\displaystyle{ 0 }[/math], צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדרבו העליון קטן מ- [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math].

כעת נראה כי לכל מספר טבעי [math]\displaystyle{ q }[/math] מספר הנקודות בקטע בהן [math]\displaystyle{ R(x)\ge\frac1{q} }[/math] הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-[math]\displaystyle{ n_q }[/math] .

אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q} }[/math] (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

כעת, בהנתן חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] כלשהי, לכל היותר [math]\displaystyle{ n_q }[/math] קטעים מכילים נקודות בהן [math]\displaystyle{ R\ge\frac1{q} }[/math], ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כפול אורך הקטע.

בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי [math]\displaystyle{ \frac1{q} }[/math] .

לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:

[math]\displaystyle{ \overline{S}(R,P)\le \frac1{q}\cdot \Big|[0,1]\Big| + n_q\cdot\lambda(P) }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \lambda(P) }[/math] הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.

בסה"כ, נבחר q כך ש:

[math]\displaystyle{ \frac1{q}\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math]

ולאחר מכן נבחר [math]\displaystyle{ \delta }[/math] כך ש:

[math]\displaystyle{ n_q\delta\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math]

וכך קיבלנו את שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

חישוב האינטגרל המסוים

קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש בנוסחת ניוטון-לייבניץ.