שדה סופי

שדה סופי הוא - למה כבר אפשר לצפות - שדה סופי, כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.

הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, [math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_p }[/math], אבל יש גם שדות סופיים אחרים.

כמו בחבורות, ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם איזומורפיים.

סדרים אפשריים

המאפיין של שדה סופי הוא מספר ראשוני, p. השדה מכיל תת-שדה ראשוני שהוא איזומורפי ל-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_p }[/math]. השדה הוא מרחב וקטורי מעל תת-השדה הזה, ומכיוון שיש לו ממד סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל-[math]\displaystyle{ \ \mathbb{Z}_p^n }[/math] (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני p.

קיום

לכל חזקת ראשוני [math]\displaystyle{ \ q = p^n }[/math] קיים שדה מסדר q.

הוכחה. נתבונן בפולינום [math]\displaystyle{ \ x^{q}-x }[/math] מעל השדה הראשוני [math]\displaystyle{ \ F = \mathbb{Z}_p }[/math]. יהי K שדה מפצל של הפולינום הזה. נתבונן בתת-הקבוצה [math]\displaystyle{ \ K_0 = \{a \in K : a^q = a\} }[/math]. קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל אוטומורפיזם פרובניוס. לכן זהו תת-שדה. יש בו בדיוק q אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:

1. מספר השורשים של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
2. הפולינום ספרבילי ולכן אין לו שורשים חוזרים;
3. הפולינום מתפצל ב-[math]\displaystyle{ \ K_0 }[/math] מכיוון שהוא מתפצל ב-K.

כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר [math]\displaystyle{ \ q=p^n }[/math], יש להכיר פולינום אי-פריק [math]\displaystyle{ \ f \in F[x] }[/math] ממעלה n. במקרה זה, חוג המנה [math]\displaystyle{ \ F[x]/F[x]f(x) }[/math] הוא שדה מכיוון ש-[math]\displaystyle{ \ F[x]f(x) }[/math] אידיאל מקסימלי.

יחידות

העובדה שמכל סדר q יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות שדה הפיצול (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").