שדה סופי

שדה סופי הוא – למה כבר אפשר לצפות – שדה סופי, כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.

הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, [math]\displaystyle{ \Z_p }[/math] , אבל יש גם שדות סופיים אחרים.

כמו בחבורות, ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם איזומורפיים.

סדרים אפשריים

המאפיין של שדה סופי הוא מספר ראשוני [math]\displaystyle{ p }[/math] . השדה מכיל תת-שדה ראשוני שהוא איזומורפי ל־[math]\displaystyle{ \Z_p }[/math] . השדה הוא מרחב וקטורי מעל תת־השדה הזה, ומכיוון שיש לו ממד סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל־[math]\displaystyle{ \Z_p^n }[/math] (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני [math]\displaystyle{ p }[/math] .

קיום

לכל חזקת ראשוני [math]\displaystyle{ q=p^n }[/math] קיים שדה מסדר [math]\displaystyle{ q }[/math] .

הוכחה. נתבונן בפולינום [math]\displaystyle{ x^{q}-x }[/math] מעל השדה הראשוני [math]\displaystyle{ F=\Z_p }[/math] . יהי [math]\displaystyle{ K }[/math] שדה מפצל של הפולינום הזה. נתבונן בתת־הקבוצה [math]\displaystyle{ K_0=\{a\in K:a^q=a\} }[/math] . קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל אוטומורפיזם פרובניוס. לכן זהו תת־שדה. יש בו בדיוק [math]\displaystyle{ q }[/math] אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:

1. מספר השורשים של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
2. הפולינום ספרבילי ולכן אין לו שורשים חוזרים;
3. הפולינום מתפצל ב־[math]\displaystyle{ K_0 }[/math] מכיוון שהוא מתפצל ב־[math]\displaystyle{ K }[/math] .

כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר [math]\displaystyle{ q=p^n }[/math] , יש להכיר פולינום אי-פריק [math]\displaystyle{ f\in F[x] }[/math] ממעלה [math]\displaystyle{ n }[/math] . במקרה זה, חוג המנה [math]\displaystyle{ F[x]/F[x]f(x) }[/math] הוא שדה מכיוון ש־[math]\displaystyle{ F[x]f(x) }[/math] אידיאל מקסימלי.

יחידות

העובדה שמכל סדר [math]\displaystyle{ q }[/math] יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות שדה הפיצול (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").