88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/1/פתרון

פתרון לתרגיל 1

1

נחשב את הפולינום האופייני ונמצא את השורשים שלו, הם הערכים העצמיים. לכל ערך עצמי נחשב את המרחב העצמי המתאים לו.

א

[math]\displaystyle{ p_A(x)=\det|xI-A|=\det\begin{pmatrix}x-1 & -1 & 0 \\ 0 & x-1 & 0 \\ 0 & 0 & x-2\end{pmatrix} = (x-1)^2(x-2) }[/math]

ולכן הערכים העצמיים הינם 1,2

המרחבים העצמיים הינם:

[math]\displaystyle{ V_1=N(1\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}=span\{(1,0,0)\} }[/math]

[math]\displaystyle{ V_2=N(2\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=span\{(0,0,1)\} }[/math]

ב

[math]\displaystyle{ p_A(x)=\det|xI-A|=\det\begin{pmatrix}x-1 & -1 & -1 \\ -1 & x-1 & -1 \\ -1 & -1 & x-1\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}0 & -1+(x-1)^2 & -1-(x-1) \\ -1 & x-1 & -1 \\ 0 & -1-(x-1) & x\end{pmatrix} = }[/math]

[math]\displaystyle{ =\det\begin{pmatrix}x^2-2x & -x \\ -x & x\end{pmatrix}=x(x^2-2x)-x^2 = x^2(x-3) }[/math]

ולכן הע"ע הינם 0,3

המרחבים העצמים הינם

[math]\displaystyle{ V_0=N(0\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}-1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1\end{pmatrix}=span\{(-1,1,0),(-1,0,1)\} }[/math]

[math]\displaystyle{ V_3=N(0\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{pmatrix}=span\{(1,1,1)\} }[/math]

2

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של הוקטורים

[math]\displaystyle{ av_1+bv_2=0 }[/math]

נכפול במטריצה A משמאל לקבל

[math]\displaystyle{ aAv_1+bAv_2=0 }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ ax_1v_1+bx_2v_2=0 }[/math]

כיוון ש[math]\displaystyle{ x_1\neq x_2 }[/math], בלי הגבלת הכלליות נניח כי [math]\displaystyle{ x_1\neq 0 }[/math] ונחלק בו

[math]\displaystyle{ av_1+b\frac{x_2}{x_1}v_2=0 }[/math]

וביחד עם המשוואה הראשונה [math]\displaystyle{ av_1+bv_2=0 }[/math] נקבל

[math]\displaystyle{ b(\frac{x_2}{x_1}-1)v_2=0 }[/math]

וכיוון ש[math]\displaystyle{ v_2 }[/math] וקטור עצמי ולכן שונה מאפס, וכיוון ש [math]\displaystyle{ x_1\neq x_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{x_2}{x_1}-1\neq 0 }[/math]

וביחד יוצא

[math]\displaystyle{ b=0 }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ av_1=0 }[/math]

כיוון ש [math]\displaystyle{ v_1\neq 0 }[/math] (כי הוא וקטור עצמי) אזי

[math]\displaystyle{ a=0 }[/math]

וסה"כ הוקטורים בת"ל.

3

לפי משפט מלינארית 1, [math]\displaystyle{ rank(AB)\leq rank(A) }[/math]. במקרה זה, כאשר מדובר בוקטור בשורה מתקיים

[math]\displaystyle{ rank(v^Tv)\leq 1 }[/math]