דמיון בין מטריצות
הגדרה[עריכה]
נביט בקבוצה כל המטריצות הריבועיות מסדר n ונגדיר את יחס הדמיון בין מטריצות על ידי:
- A דומה ל B אם קיימת מטריצה הפיכה P כך ש
- [math]\displaystyle{ A=P^{-1}BP }[/math]
שימוש בדמיון לחקר העתקות לינארית[עריכה]
- ראשית, קל להראות כי יחס הדמיון הינו יחס שקילות
- שנית, ניזכר כי כל מטריצה הפיכה מהווה מטריצת מעבר בין בסיסים
- שלישית נזכר בנוסחא להעברת בסיסים של מטריצה המייצגת העתקה
משלושת אלה יחדיו נסיק כי:
- מטריצות הינן דומות זו לזו אם"ם הן מייצגות את אותה העתקה לינארית לפי בסיסים כלשהם
לכן על מנת לחקור העתקות לינאריות נמצא מטריצה "יפה" הדומה למטריצה המייצגת את ההעתקה.
דוגמא[עריכה]
נבחן את המטריצה
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1.5 & -0.5\\ -0.5 & 1.5\end{pmatrix} }[/math]
מטריצה זו מייצגת את ההעתקה הלינארית הבאה:
- [math]\displaystyle{ T(a,b)=\Big(\frac{3a-b}{2},\frac{3b-a}{2}\Big) }[/math]
לאחר מציאת ערכים עצמיים והפעלת אלגוריתם ללכסון מטריצה נקבל כי המטריצה המייצגת את T הינה
- [math]\displaystyle{ [T]_B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ B=\{v_1=(1,1),v_2=(1,-1)\} }[/math]
לכן לפי התכונות של מטריצה מייצגת מתקיים
- [math]\displaystyle{ Tv_1=v_1,Tv_2=2v_2 }[/math]
במילים פיזיקליות, ההעתקה מכפילה את הכוח בכיוון 135 מעלות.
הערה:
אמנם לא כל העתקה ניתן להביא לצורה יפה כזו, אך כאשר נלמד את משפט ז'ורדן נאפיין בדיוק את כל ההעתקות הלינאריות מעל המרוכבים לפי צורות הז'ורדן שלהן.