88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב/תרגילים: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
|||
| שורה 78: | שורה 78: | ||
'''הערה:''' בשלב זה של הקורס אין צורך להראות ש-<math>[\mathbb{Q}[\sqrt[n]{a}]:\mathbb{Q}]=n</math> עבור <math>a</math> שהוא ראשוני או מכפלה של ראשוניים ''שונים''. | '''הערה:''' בשלב זה של הקורס אין צורך להראות ש-<math>[\mathbb{Q}[\sqrt[n]{a}]:\mathbb{Q}]=n</math> עבור <math>a</math> שהוא ראשוני או מכפלה של ראשוניים ''שונים''. | ||
== תרגיל 8 == | |||
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex8.pdf|תרגיל 8]] | |||
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 13.1.12. '''שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 9).''' | |||
'''הערה:''' טענת עזר שלא הזכרנו בכיתה ואתם רשאים להשתמש בה בתרגילי הבית: אם <math>E/F</math> הרחבת גלואה ו-<math>G=Gal(E/F)</math>, אז <math>E^G=F</math> (באשר <math>E^G</math> הם האיברים <math>a\in E</math> המקיימים <math>\sigma a=a</math> לכל <math>\sigma\in G</math>). | |||
גרסה מ־22:45, 29 בדצמבר 2011
ציונים
טבלת ציונים ניתן לראות כאן.
אם הגשתם באחור, יתכן והציון שלכם יתפרסם מאוחר יותר.
הציון באתר קובע. אם משום מה הציון שונה מהרשום לכם על התרגיל פנו למתרגל עם התרגיל.
תרגיל 1
נוסח התרגיל: תרגיל 1
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 10.11.11.
אין צורך לפתור את שתי השאלות האחרונות (4 ו-5). הן כנראה תעבורנה לתרגיל הבא.
פיתרון: פיתרון תרגיל 1
תרגיל 2
נוסח התרגיל תרגיל 2
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 17.11.11.
תיקון קל: בשאלה 3, הפולינום הוא [math]\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c }[/math] ולא [math]\displaystyle{ x^3+ax+bx+c }[/math].
פיתרון: פיתרון תרגיל 2
תרגיל 3
נוסח התרגיל: תרגיל 3
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 24.11.11.
פיתרון: פתרון תרגיל 3
תרגיל 4
נוסח התרגיל: תרגיל 4
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 1.12.11. איחורים לא יתקבלו.
הבהרה: ב"חימום" אין צורך לפתור את התרגילים המופיעים בסיכום "שדות - תכונות בסיסיות".
פיתרון: פיתרון תרגיל 4
תזכורת: בשיעור הזכרנו את הדברים הבאים. אפשר (וכנראה כדאי) להשתמש בהם:
- אם [math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq L }[/math] שדות אז [math]\displaystyle{ [L:F] }[/math] מתחלק ב-[math]\displaystyle{ [K:F] }[/math]. (הסבר: זה נובע מ-[math]\displaystyle{ [L:K]\cdot[K:F]=[L:F] }[/math])
- בהנחות הנ"ל, אם [math]\displaystyle{ a\in L }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] אז [math]\displaystyle{ [K[a]:K]\leq [F[a]:F] }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ f(x)\in F[x] }[/math] פולינום ו-[math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n }[/math] הם השורשים של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בשדה גדול המכיל את [math]\displaystyle{ F }[/math] אז שדה הפיצול של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] (מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]) הוא [math]\displaystyle{ F[a_1,\ldots,a_n] }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני, אז הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ \rho_p=\exp(2\pi i/p) }[/math] (שורש יחידה פרימיטיבי מסדר [math]\displaystyle{ p }[/math]) מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1 }[/math].
תרגיל 5
נוסח התרגיל: תרגיל 5
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 8.12.11. איחורים לא יתקבלו.
פתרון: פתרון תרגיל 5
תרגיל 6
נוסח התרגיל: תרגיל 6
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 15.12.11.
תזכורת: הוכחתם (או לפחות הייתם אמורים להוכיח) את המשפט הבא בהרצאה:
יהיו [math]\displaystyle{ F,F' }[/math] שדות, [math]\displaystyle{ \psi:F\to F' }[/math] איזומורפיזם של שדות ו-[math]\displaystyle{ f(x)\in F[x] }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ E }[/math] שדה פיצול של [math]\displaystyle{ f }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ E' }[/math] שדה פיצול של [math]\displaystyle{ \psi(f) }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F' }[/math]. אזי קיים איזומורפיזם של שדות [math]\displaystyle{ \Psi:E\to E' }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \Psi|_F=\psi }[/math].
תרגיל 7
נוסח התרגיל: תרגיל 7
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 22.12.11.
שימו לב: הניסוח של שאלה 1 השתנה במעט ב-16.12.11 (יום ו) בשעה 10. אנא ודאו כי יש לכם את הניסוח העדכני. --אוריה 10:14, 16 בדצמבר 2011 (IST)
הערה: בשלב זה של הקורס אין צורך להראות ש-[math]\displaystyle{ [\mathbb{Q}[\sqrt[n]{a}]:\mathbb{Q}]=n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a }[/math] שהוא ראשוני או מכפלה של ראשוניים שונים.
תרגיל 8
נוסח התרגיל: תרגיל 8
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 13.1.12. שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 9).
הערה: טענת עזר שלא הזכרנו בכיתה ואתם רשאים להשתמש בה בתרגילי הבית: אם [math]\displaystyle{ E/F }[/math] הרחבת גלואה ו-[math]\displaystyle{ G=Gal(E/F) }[/math], אז [math]\displaystyle{ E^G=F }[/math] (באשר [math]\displaystyle{ E^G }[/math] הם האיברים [math]\displaystyle{ a\in E }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ \sigma a=a }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \sigma\in G }[/math]).