אהבתם חדו"א 2? אז תעופו על חדו"א 1!

מבחנים לדוגמא

מבחנים לדוגמא של מתמטיקה

מבחנים לדוגמא של מדעי המחשב

שימו לב שפונקציות בשתי משתנים אינן בחומר שלנו.

מבחנים לדוגמא של מבוא לאנליזה 2 למורים

שימו לב שמדובר בקורס מבוא פחות מעמיק מהקורס שלנו.

מבחנים בקורס אנליזה 2 למורים

מבחנים לדוגמא של חדו"א 1 להנדסה

שימו לב שאלות 2 ו6 תמיד רלוונטיות לקורס זה.

קישור למבחנים

סרטוני ותקציר ההרצאות

פלייליסט של כל הסרטונים

פרק 1 - האינטגרל הלא מסויים

הגדרה: F נקראת פונקציה קדומה של f בקטע A אם לכל נקודה בקטע מתקיים כי [math]\displaystyle{ F'=f }[/math]

האינטגרל הלא מסויים [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] מסמן פונקציה קדומה של f.

תהי F קדומה של f, אזי קבוצת כל הקדומות של f שווה ל[math]\displaystyle{ \{F+c|c\in\mathbb{R}\} }[/math]

אינטגרלים מיידיים ידועים לנו מנוסחאות הגזירה.

שיטות למציאת קדומה

תהיינה f,g פונקציות בעלות קדומות, אזי:
- [math]\displaystyle{ \int (cf) = c \int f }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int (f+g) = \int f + \int g }[/math]

אינטגרציה בחלקים

[math]\displaystyle{ \int f'g = fg - \int fg' }[/math]

שיטת הההצבה

פונקציה רציונאלית

פולינום הוא פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ p(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 }[/math]
דרגת הפולינום היא n אם [math]\displaystyle{ a_n x^n }[/math] הוא המונום עם החזקה הגבוהה ביותר כך ש [math]\displaystyle{ a_n\neq 0 }[/math]
אפשר לומר שדרגת פולינום האפס היא מינוס אינסוף.

פולינום נקרא פריק אם ניתן להציג אותו כמכפלה של פולינומים מדרגה 1 ומעלה, נעסוק בפולינומים ממשיים בלבד בהקשר זה.
פולינום מדרגה 1 אינו פריק
פולינום מדרגה 2 (פרבולה) פריק אם ורק אם יש לו שורש ממשי.
כל פולינום מדרגה 3 ומעלה פריק.

מציאת שורשים של פולינום ופירוקו -
- ננחש שורש ונבדוק שהוא אכן מאפס את הפולינום ע"י הצבה
- אם a שורש, נחלק את הפולינום ב[math]\displaystyle{ (x-a) }[/math]
- כך הלאה.

הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים

שבר חלקי של גורם אי פריק לינארי [math]\displaystyle{ x+a }[/math] הוא ביטוי מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{A}{(x+a)^k} }[/math]

שבר חלקי של גורם אי פריק ריבועי [math]\displaystyle{ x^2+bx+c }[/math] (כך שאין לו שורשים ממשיים) הוא ביטוי מהצורה [math]\displaystyle{ \frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^k} }[/math]

כל פונקציה רציונאלית בה דרגת המונה קטנה ממש מדרגת המכנה ניתן להציג באופן יחיד כסכום של שברים חלקיים (כפול קבוע).

פירוק לשברים חלקיים

חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
- נסמן [math]\displaystyle{ I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt }[/math]
- אזי [math]\displaystyle{ I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n }[/math]

כאשר תנאי ההתחלה הוא [math]\displaystyle{ I_1=\arctan(t) }[/math]

הצבות אוניברסאליות

הצבות אוניברסאליות הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של פונקציה רציונאלית אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

הסבר על הצבות אוניברסאליות

פרק 2 - האינטגרל המסויים

סכומי דרבו ואינטגרל עליון ותחתון

הגדרת סכומי דרבו, אינטגרביליות והאינטגרל המסוים

[math]\displaystyle{ P=\{a=x_0\lt x_1\lt ...\lt x_n=b\} }[/math] היא חלוקה של הקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]

תהי f חסומה בקטע, ותהי P חלוקה של הקטע.
נסמן
- [math]\displaystyle{ \displaystyle{M_k=\sup_{[x_{k-1},x_k]}(f)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle{m_k=\inf_{[x_{k-1},x_k]}(f)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Delta x_k= x_k-x_{k-1} }[/math]
נגדיר
- סכום דרבו עליון [math]\displaystyle{ \displaystyle{\overline{S}(f,P)=\sum_{k=1}^nM_k\cdot \Delta x_k} }[/math]
- סכום דרבו תחתון [math]\displaystyle{ \displaystyle{\underline{S}(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\cdot \Delta x_k} }[/math]

תהי f פונקציה חסומה בקטע.
נסמן את קבוצת כל סכומי הדרבו העליונים על כל החלוקות של הקטע ב[math]\displaystyle{ \overline{X} }[/math]
נסמן את קבוצת כל סכומי הדרבו התחתונים על כל החלוקות של הקטע ב[math]\displaystyle{ \underline{X} }[/math]
נגדיר את האינטגרל העליון להיות [math]\displaystyle{ \displaystyle{\overline{\int_a^b}f=\inf (\overline{X})} }[/math]
נגדיר את האינטגרל התחתון להיות [math]\displaystyle{ \displaystyle{\underline{\int_a^b}f=\sup (\underline{X})} }[/math]
נגדיר שf אינטגרבילית בקטע אם [math]\displaystyle{ \displaystyle{\overline{\int_a^b}f=\underline{\int_a^b}f} }[/math]
במקרה שf אינטגרבילית נגדיר את האינטגרל המסויים שלה להיות [math]\displaystyle{ \displaystyle{\int_a^bf=\overline{\int_a^b}f=\underline{\int_a^b}f} }[/math]

דוגמא:
פונקצית דיריכלה היא [math]\displaystyle{ D(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb{Q}\\0&x\not\in\mathbb{Q}\end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ \displaystyle{\overline{\int_0^1}D=1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \displaystyle{\underline{\int_0^1}D=0} }[/math]
לכן פונקצית דיריכלה אינה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math].

תכונות של סכומי דרבו והאינטגרל המסוים

[math]\displaystyle{ m(b-a)\leq \underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,P)\leq M(b-a) }[/math]

נגדיר את פרמטר של חלוקה להיות אורך תת הקטע הגדול ביותר:
[math]\displaystyle{ \lambda(P)=\max \Delta x_k }[/math]

תהי חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] ותהי העדנה שלה [math]\displaystyle{ R=P\cup \{a\} }[/math]
[math]\displaystyle{ 0\leq \overline{S}(f,P)-\overline{S}(f,R)\leq \lambda(P)(M-m) }[/math]
[math]\displaystyle{ 0\leq \underline{S}(f,R)-\underline{S}(f,P)\leq \lambda(P)(M-m) }[/math]

[math]\displaystyle{ \underline{S}(f,P)\leq \underline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{S}(f,R) }[/math]

התכנסות סכומי דרבו

התכנסות סכומי הדרבו העליונים לאינטגרל העליון
תהי f פונקציה חסומה בקטע.
תהי סדרת חלוקות של הקטע [math]\displaystyle{ P_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \lambda(P_n)\to 0 }[/math]
אזי [math]\displaystyle{ \displaystyle{\overline{S}(f,P_n)\to\overline{\int_a^b}f} }[/math]
כמובן שבאופן דומה [math]\displaystyle{ \displaystyle{\underline{S}(f,P_n)\to\underline{\int_a^b}f} }[/math]

פונקציות אינטגרביליות

פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו

תהי f אינטגרבילית בקטעים [math]\displaystyle{ [a,b],[b,c] }[/math] אזי:
- היא אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,c] }[/math]
- מתקיים כי [math]\displaystyle{ \displaystyle{\int_a^c f = \int_a^bf+\int_b^cf} }[/math]

פונקציה חסומה בקטע סופי, ורציפה פרט למספר סופי של נקודות, אינטגרבילית בו

לכל פונקציה אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] נגדיר כי:
- [math]\displaystyle{ \int_b^a f=-\int_a^b f }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_a^a f = 0 }[/math]

תרגיל: אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות ב[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f+g }[/math] אינטגרבילית בקטע, וכך גם [math]\displaystyle{ cf }[/math] לכל קבוע [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{R} }[/math]. כמו כן מתקיים כי:
- [math]\displaystyle{ \int_a^b (f+g) = \int_a^b f + \int_a^b g }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_a^b (cf) = c\cdot \int_a^b f }[/math]

סכומי רימן

תהי f המוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]
תהי P חלוקה של הקטע
תהי [math]\displaystyle{ C=\{c_1,...,c_n\} }[/math] קבוצת נקודות בתתי הקטעים [math]\displaystyle{ c_k\in[x_{k-1},x_k] }[/math]
נגדיר את סכום הרימן [math]\displaystyle{ \displaystyle{S_R(f,P,C)=\sum_{k=1}^n f(c_k)\cdot \Delta x_k} }[/math]

אומרים שf אינטגרבילית רימן בקטע אם קיים גודל סופי [math]\displaystyle{ S\in\mathbb{R} }[/math] כך ש:
- לכל סדרת חלוקות [math]\displaystyle{ P_n }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ \lambda(P_n)\to 0 }[/math]
- ולכל סדרת בחירת נקודות [math]\displaystyle{ C_n }[/math] המתאימה לחלוקות
- מתקיים כי [math]\displaystyle{ S_R(f,P_n,C_n)\to S }[/math]
במקרה שf אינטגרבילית רימן בקטע מסמנים [math]\displaystyle{ S=\int_a^bf }[/math]

משפט: f אינטגרבילית רימן בקטע אם"ם f חסומה בקטע ואינטגרבילית (לפי דרבו)
כמו כן, במקרה שהפונקציה אינטגרבילית, האינטגרל המסויים שווה לפי רימן ולפי דרבו.

משפט מאד שימושי:
- תהי פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] הרציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] אזי:
- [math]\displaystyle{ a_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \to \int_0^1 f }[/math]

אורך עקומה

[math]\displaystyle{ L=\int_a^b \sqrt{(f'(x))^2+1}dx }[/math]

אי שיוויון המשולש לאינטגרלים

[math]\displaystyle{ \left|\int_a^b f\right|\leq \int_a^b |f| }[/math]

פרק 3 - הקשר בין האינטגרל המסויים ללא מסויים

כבר במאות ה4 וה3 לפנה"ס אוקלידס וארכימדס ידעו לחשב היקפים, שטחים ונפחים, אך רק במאה ה17 לספירה ניוטון ולייבניץ המציאו את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

כלומר, ההבנה שיש קשר בין שטחים (האינטגרל המסויים) לבין פונקציות קדומות (אינטגרל לא מסוים) הגיעה כמעט 2000 שנה לאחר שכבר ידעו לחשב שטחים.

בפרק זה נוכיח את הקשר הזה שבין החשבון הדיפרנציאלי לאינטגרלי בעזרת המשפט היסודי של החדו"א.

המשפט היסודי של החדו"א

עבור פונקציה אינטגרבילית, בנקודות בהן היא רציפה מתקיים כי [math]\displaystyle{ \displaystyle{S'(x)=\left(\int_a^x f(t)dt\right)' = f(x)} }[/math]

נוסחאת ניוטון לייבניץ

תהי f אינטגרבילית וF קדומה אזי [math]\displaystyle{ \displaystyle{\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)} }[/math]

גרסא חלשה ופשוטה של המשפט היסודי

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ S(x)=\int_a^x f(t)dt }[/math] פונקצית השטח שלה.
אזי לכל [math]\displaystyle{ a\lt x_0\lt b }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ S'(x_0)=f(x_0) }[/math]

הוכחה

לפי משפט ערך הממוצע האינטגרלי לכל x בקטע קיימת c בקטע כך ש [math]\displaystyle{ f(c)=\frac{\int_{x_0}^x f(t)dt}{x-x_0}=\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0} }[/math]

לכן לכל סדרה [math]\displaystyle{ x_0\gt x_n \to x_0 }[/math] קיימת סדרת נקודות [math]\displaystyle{ x_0\leq c_n \leq x_n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f(c_n)=\frac{S(x_n)-S(x_0)}{x_n-x_0} }[/math]

לפי משפט הסנדביץ' [math]\displaystyle{ c_n \to x_0 }[/math] וכיוון ש[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, נובע כי [math]\displaystyle{ f(c_n)\to f(x_0) }[/math]

לכן קיבלנו כי [math]\displaystyle{ lim_{x\to x_0^+}\frac{S(x)-S(x_0)}{x-x_0}=f(x_0) }[/math]

ניתן להוכיח באופן דומה שזה גם הגבול השמאלי, ובסה"כ לפי הגדרת הנגזרת קיבלנו כי [math]\displaystyle{ S'(x_0)=f(x_0) }[/math]

הגדרת המספר π, וחישוב היקף ושטח מעגל

נפח גוף סיבוב

[math]\displaystyle{ \int_a^b \pi f^2(x)dx }[/math]

פרק 4 - אינטגרלים לא אמיתיים (מוכללים)

השופר של גבריאל

הגדרת אינטגרלים לא אמיתיים

תהי f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,t] }[/math] לכל [math]\displaystyle{ t\geq a }[/math] אזי:
- [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)dx = \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x)dx }[/math]
תהי f שאינה חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ואינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [t,b] }[/math] לכל [math]\displaystyle{ a\lt t\lt b }[/math] אזי:
- [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = \lim_{t\to a^+} \int_t^b f(x)dx }[/math]

משפט:
- האינטגרל [math]\displaystyle{ \displaystyle{\int_0^1\frac{1}{x^\alpha}dx} }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ \alpha\lt 1 }[/math]
- האינטגרל [math]\displaystyle{ \displaystyle{\int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx} }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ \alpha\gt 1 }[/math]

הערה: נניח [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)dx }[/math] מתכנס, האם [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{x\to\infty} f(x)= 0} }[/math]?
- בלי נתונים נוספים
- כאשר f רציפה
- כאשר f רציפה וחיובית
- כאשר נתון שלf יש גבול

מבחני השוואה לאינטגרלים חיוביים

מבחן ההשוואה הראשון:
- תהיינה [math]\displaystyle{ f\geq g \geq 0 }[/math] עבורן מוגדר אינטגרל לא אמיתי באותו הקטע עם אותה הנקודה הבעייתית אזי-
- אם [math]\displaystyle{ \int f }[/math] מתכנס בקטע, גם [math]\displaystyle{ \int g }[/math] מתכנס בקטע
מבחן ההשוואה הגבולי:
- תהיינה [math]\displaystyle{ f,g\geq 0 }[/math] עבורן מוגדר אינטגרל לא אמיתי באותו הקטע עם אותה הנקודה הבעייתית.
- נחשב בנוסף את הגבול בנקודה הבעייתית [math]\displaystyle{ \lim \frac{f}{g} =c }[/math].
- אזי:
  - אם [math]\displaystyle{ c=\infty }[/math], אזי אם [math]\displaystyle{ \int f }[/math] מתכנס גם [math]\displaystyle{ \int g }[/math] מתכנס.
  - אם [math]\displaystyle{ c=0 }[/math] אזי אם [math]\displaystyle{ \int g }[/math] מתכנס גם [math]\displaystyle{ \int f }[/math] מתכנס.
  - אם [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt \infty }[/math] אזי האינטגרלים חברים [math]\displaystyle{ \int f \sim \int g }[/math] כלומר שניהם מתכנסים או שניהם מתבדרים.

התכנסות בהחלט וקריטריון היינה

קריטריון היינה:
- אינטגרל לא אמיתי מקיים קריטריון היינה אם לכל שתי סדרות בקטע השואפות לנקודה הבעייתית מתקיים כי:
- [math]\displaystyle{ \int_{a_n}^{b_n} f(x)dx \to 0 }[/math]

אינטגרל לא אמיתי מתכנס אם"ם הוא מקיים את קריטריון היינה.

פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] עליה מוגדר אינטגרל לא אמיתי נקראת מתכנסת בהחלט בקטע אם [math]\displaystyle{ \int |f| }[/math] מתכנס בקטע.

פונקציה מתכנסת בהחלט בקטע מתכנסת.
- [math]\displaystyle{ \left|\int_{a_n}^{b_n} f(x)dx\right| \leq \left|\int_{a_n}^{b_n} |f(x)|dx\right|\to 0 }[/math]

מבחן דיריכלה

תהי פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] אשר מקיימת 3 תנאים בקטע [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]
- [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית יורדת
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 }[/math]
- הנגזרת [math]\displaystyle{ f' }[/math] רציפה.
תהי בנוסף פונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] אשר מקיימת 2 תנאים באותו הקטע:
- [math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה.
- ל[math]\displaystyle{ g }[/math] יש קדומה [math]\displaystyle{ G }[/math] חסומה.
אזי האינטגרל [math]\displaystyle{ \displaystyle{\int_a^\infty f(x)g(x)}dx }[/math] מתכנס.

פרק 5 - סדרות וטורי פונקציות

פונקצית הגבול

העשרה - סוגי סכימה שונים

התכנסות במ"ש

בדיקת התכנסות במ"ש:
- נחשב את פונקצית הגבול. בשלב זה x קבוע וn שואף לאינסוף.
- נחשב את סדרת החסמים [math]\displaystyle{ d_n=\sup_A |f(x)-f_n(x)| }[/math]. בשלב זה n קבוע, וx נע בקטע A.
- יש התכנסות במ"ש אם"ם [math]\displaystyle{ d_n\to 0 }[/math].

אם סדרה מתכנסת במ"ש בקטע, וכל הפונקציות בסדרה רציפות בנק' מסויימת, גם פונקצית הגבול רציפה באותה נקודה.

אינטגרציה וגזירה איבר איבר

סדרת פונקציות אינטגרביליות המתכנסת במ"ש, מתכנסת לפונקציה אינטגרבילית.
כמו כן, במקרה זה, סדרת שטחי הפונקציות מתכנסת לשטח פונקצית הגבול.
עבור טור פונקציות אינטגרביליות המתכנס במ"ש מתקיים כי:
- [math]\displaystyle{ \int_a^b \left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right) dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n(x)dx }[/math]

סדרת פונקציות המתכנסת בנקודה, שנגזרותיה רציפות ומתכנסות במ"ש בA מקיימת בA:
- [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f'_n\to f' }[/math]
טור פונקציות המתכנס בנקודה, שנגזרותיו רציפות וטור הנגזרות מתכנס במ"ש בA מקיים בA:
- [math]\displaystyle{ \left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)' = \sum_{n=1}^\infty f'_n(x) }[/math]

מבחן הM של ויירשטראס

תהי סדרת פונקציות החסומה בערך מוחלט ע"י סדרת מספרים בקטע A:
- [math]\displaystyle{ |f_n(x)|\leq M_n }[/math]
אזי אם טור המספרים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty M_n }[/math] מתכנס, טור הפונקציות [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מתכנס במ"ש בקטע A.

פרק 6 - טורי טיילור וקירובים

פולינום טיילור

הקדמה

פולינום טיילור
- [math]\displaystyle{ P_n(f,a)(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k }[/math]
שארית טיילור
- [math]\displaystyle{ R_n(f,a,x) = f(x)-P_n(f,a)(x) }[/math]

שארית טיילור בצורת לגראנז'
תהי f הגזירה n+1 פעמים בסביבה של a ותהי נקודה בסביבה זו. אזי קיימת נקודה c בין a לx כך שהשארית מקיימת:
- [math]\displaystyle{ R_n(f,a,x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} }[/math]

הוכחת שארית טיילור בצורת לגראנז'
- נפעיל את משפט קושי על הפונקציות [math]\displaystyle{ h(t)=R_n(f,t,x) }[/math] ו[math]\displaystyle{ g(t)=(x-t)^{n+1} }[/math] בקטע שבין a ל x.

שארית פיאנו
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] הגזירה [math]\displaystyle{ n }[/math] פעמים בסביבה של [math]\displaystyle{ a }[/math]. אזי:
- [math]\displaystyle{ R_n(f,a,x)=o\left((x-a)^n\right) }[/math]
- כלומר
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a} \frac{R_n(f,a,x)}{(x-a)^n} = 0 }[/math]

טורי חזקות/טיילור/מקלורן

הגדרת טורי חזקות [math]\displaystyle{ \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n} }[/math]

רדיוס התכנסות

הגדרת רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R=\frac{1}{\overline{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}} }[/math]
אם הגבול של המנה קיים במובן הרחב, אזי [math]\displaystyle{ R=\lim \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| }[/math]

רדיוס ההתכנסות אומר לנו על תחום ההתכנסות:
- אם [math]\displaystyle{ R=\infty }[/math] אזי הטור מתכנס בהחלט בכל הממשיים.
- אם [math]\displaystyle{ R=0 }[/math] הטור מתכנס רק עבור [math]\displaystyle{ x=a }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ 0\lt R\lt \infty }[/math] אזי
  - הטור מתכנס בהחלט בתחום [math]\displaystyle{ \left(a-R,a+R\right) }[/math].
  - הטור מתבדר כאשר [math]\displaystyle{ |x-a|\gt R }[/math].
  - את שני הקצוות [math]\displaystyle{ x=a\pm R }[/math] צריך להציב, ולבחון את התכנסות טורי המספרים שנקבל באמצעות מבחני התכנסות.

דוגמא לחישוב תחומי ההתכנסות של טורי החזקות
- [math]\displaystyle{ \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n}x^{2n}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n}(x+2)^{2n}} }[/math]

עבור טור חזקות מהצורה [math]\displaystyle{ \sum a_n (x-a)^{b_n} }[/math] מתקיים כי רדיוס ההתכנסות הינו [math]\displaystyle{ R=\frac{1}{\overline{\lim} \sqrt[b_n]{|a_n|}} }[/math]

פיתוח טורי טיילור

גזירה ואינטגרציה איבר איבר של טורי חזקות

יהי טור חזקות בעל רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n }[/math]
אזי לכל x המקיים [math]\displaystyle{ |x-a|\lt R }[/math] מתקיים כי:
- [math]\displaystyle{ f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\cdot a_n(x-a)^{n-1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_a^xf=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1} }[/math]

פיתוח טורי טיילור באמצעות גזירה ואינטגרציה
- [math]\displaystyle{ e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+... }[/math]
- [math]\displaystyle{ ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+... }[/math]
- [math]\displaystyle{ arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+... }[/math]

יחידות וקיום טור טיילור

עבור פונקציה הגזירה אינסוף פעמים בסביבת הנקודה a טור הטיילור הוא:
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n }[/math]

אם פונקציה שווה לטור חזקות בעל רדיוס התכנסות חיובי בקטע, אזי זה טור הטיילור שלה.

ייתכן שפונקציה גזירה אינסוף פעמיים בכל הממשיים, טור הטיילור שלה בעל רדיוס התכנסות חיובי, ועדיין אינו מתכנס אליה פרט לנקודה סביבה פיתחנו.
דוגמא:
- [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}} & x\neq 0 \\ 0 & x=0\end{cases} }[/math]
- מתקיים כי [math]\displaystyle{ f^{(n)}(0)=0 }[/math] לכל n.
- לכן טור הטיילור של הפונקציה הוא טור אפסים, אבל הפונקציה אינה שווה לאפס פרט לנקודה [math]\displaystyle{ x=0 }[/math].

טורי הטיילור של סינוס וקוסינוס, ואקספוננט של מספר מרוכב

[math]\displaystyle{ \sin(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+... }[/math]

נוכיח כי [math]\displaystyle{ e^{it}=cis(t) }[/math]
- [math]\displaystyle{ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} }[/math]
- נגדיר את e בחזקת מרוכב באמצעות טור הטיילור, ונציב:
- [math]\displaystyle{ e^{i\cdot t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\cdot t)^n}{n!} }[/math]
- נפריד לסכום האיברים במקומות הזוגיים והאי זוגיים.
- [math]\displaystyle{ e^{i\cdot t}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(i\cdot t)^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(i\cdot t)^{2n+1}}{(2n+1)!}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}t^{2n} + i\cdot\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n+1}=\cos(t)+i\cdot \sin(t) }[/math]
זה מוביל לזהות אוילר המפורסמת [math]\displaystyle{ e^{i\pi}+1=0 }[/math]

משפט אבל על התכנסות בקצה התחום

יהי טור [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n }[/math] עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ 0\lt R\lt \infty }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f(a+R) }[/math] מתכנס אזי [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{x\to (a+R)^-}f(x)=f(a+R)} }[/math]
אם [math]\displaystyle{ f(a-R) }[/math] מתכנס אזי [math]\displaystyle{ \displaystyle{\lim_{x\to (a-R)^+}f(x)=f(a-R)} }[/math]

קירובים והערכות שגיאה

שיטות הערכות שגיאה - לגראנז', לייבניץ, חסימה על ידי טור הנדסי

יהי טור [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n }[/math]
- קירוב מסדר k לטור הוא [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{k-1} a_n }[/math], זהו סכום k האיברים הראשונים.
- השגיאה עבור קירוב זה היא כמובן [math]\displaystyle{ R_k=\sum_{n=k}^\infty a_n }[/math]

אם מדובר בטור לייבניץ, השגיאה מקיימת [math]\displaystyle{ |R_k|\leq |a_k| }[/math] לפי מבחן לייבניץ להתכנסות טורים.

אם הטור חסום ע"י טור הנדסי אזי השגיאה מקיימת:
- [math]\displaystyle{ |R_k|\leq \sum_{n=k}^\infty c\cdot q^n = c(\sum_{n=0}^\infty q^n - \sum_{n=0}^{k-1}q^n) = c(\frac{1}{1-q} - \frac{1-q^k}{1-q})=\frac{c\cdot q^k}{1-q} }[/math]

טור הטיילור של ההופכית של סינוס, וקירוב מהיר של π

נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt{1+x} }[/math]
נוכיח באינדוקציה כי הנגזרת מסדר n הינה:
[math]\displaystyle{ f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)n!4^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}} }[/math]
- עבור n=1 אכן מתקיים כי [math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{2}{4}(1+x)^{-\frac{1}{2}} }[/math]
- יהי n עבורו הטענה נכונה, צ"ל כי [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+2}(2n+2)!}{(2n+1)(n+1)!4^{n+1}}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}} }[/math]
- צ"ל [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n+1)n!(n+1)4^n\cdot 4}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}} =\frac{(-1)^{n+2}(2n)!}{n!4^n\cdot 2}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}} }[/math]
- אכן בעזרת הנחת האינדוקציה [math]\displaystyle{ f^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}\right)'(x)=\left(\frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)n!4^n}(1+x)^{-\frac{2n-1}{2}}\right)'=\frac{(-1)^{n+2}(2n)!}{n!4^n\cdot 2}(1+x)^{-\frac{2n+1}{2}} }[/math]

לכן טור המקלורן של [math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt{1+x} }[/math] הינו [math]\displaystyle{ \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}x^n} }[/math]
על מנת להוכיח שהוא שווה לפונקציה, צ"ל שהשגיאה שואפת לאפס.
יהי [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2}\lt x\lt \frac{1}{2} }[/math], נוכיח שהשגיאה עבורו שואפת לאפס.
[math]\displaystyle{ \left|R_{n-1}(f,0,x)\right| = \frac{(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}\frac{1}{(1+c)^{\frac{2n-1}{2}}}|x|^n \leq \frac{(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}\frac{1}{(1-|x|)^{\frac{2n-1}{2}}}|x|^n }[/math]
נחשב את גבול המנה של הביטוי שקיבלנו:
- [math]\displaystyle{ \frac{(2n+2)!}{(2n+1)((n+1)!)^24^{n+1}}\frac{|x|^{n+1}}{(1-|x|)^{\frac{2n+1}{2}}}\cdot \frac{(2n-1)(n!)^24^n}{(2n)!}\frac{(1-|x|)^{\frac{2n-1}{2}}}{|x|^n}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\frac{(2n-1)(2n+2)}{4(n+1)^2}\frac{|x|}{1-|x|}\to \frac{|x|}{1-|x|} \lt \frac{|x|}{1-\frac{1}{2}}=2|x|\lt 1 }[/math]
לכן לפי מבחן המנה השגיאה שואפת לאפס בתחום זה, וטור המקלורן מתכנס לפונקציה בתחום זה.

הוכחנו שבתחום [math]\displaystyle{ \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) }[/math] מתקיים
[math]\displaystyle{ \sqrt{1+x} = \displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!}{(2n-1)(n!)^24^n}x^n} = 1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{8}-... }[/math]
נגזור ונקבל שבקטע מתקיים
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(2n)!n}{(2n-1)(n!)^24^n}x^{n-1} }[/math]
נבצע הזזת אינדקסים [math]\displaystyle{ k=n-1 }[/math] ונקבל
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{1+x}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+2}(2k+2)!(k+1)}{(2k+1)((k+1)!)^24^{k+1}}x^k }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{(-1)^{k+2}(2k+2)!(k+1)}{(2k+1)((k+1)!)^24^{k+1}}=\frac{(-1)^{k}(2k)!(2k+1)(2k+2)(k+1)}{(2k+1)(k!)^2(k+1)^24^k\cdot 4} }[/math]
סה"כ בתחום זה נקבל
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n)!}{(n!)^24^n}x^n }[/math]
נציב [math]\displaystyle{ -x }[/math] ונקבל באותו תחום [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1-x}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}x^n }[/math]

הערה - טורי הטיילור שפיתחנו כאן מתכנסים בעצם לפונקציות שלהן בתחום בין מינוס אחד לאחד, אך ההוכחה של זה מורכבת יותר ולא נחוצה לנו כרגע.

כעת נציב [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] ונקבל שבתחום [math]\displaystyle{ \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) }[/math] מתקיים
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}x^{2n} }[/math]
נבצע אינטגרציה מ0 עד x ונקבל
[math]\displaystyle{ \arcsin(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^24^n}x^{2n+1}=x+\frac{x^3}{6}+... }[/math]
נציב [math]\displaystyle{ x=\frac{1}{2} }[/math] שנמצא בתחום ונקבל:
[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{6}=\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}{(2n+1)(n!)^24^n}\frac{1}{2^{2n+1}} }[/math]
ולכן

[math]\displaystyle{ \pi =\sum_{n=0}^\infty \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} }[/math]

כעת המנה של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^24^n} }[/math] היא
- [math]\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^24^{n+1}}\cdot\frac{(n!)^24^n}{(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(2(n+1))^2}\lt 1 }[/math]
לכן מדובר בסדרה יורדת שכל איבריה קטנים או שווים ל[math]\displaystyle{ a_0=1 }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} = \frac{(2n)!}{(n!)^24^n}\cdot\frac{3}{(2n+1)4^n}\leq \frac{3}{(2n+1)4^n} }[/math]
לכן בקירוב [math]\displaystyle{ \pi }[/math] ע"י k האיברים הראשונים נקבל שגיאה:
- [math]\displaystyle{ |R_k|=\sum_{n=k}^\infty \frac{3(2n)!}{(2n+1)(n!)^2(16)^n} \leq \sum_{n=k}^\infty \frac{3}{(2n+1)4^n}\leq }[/math]
- [math]\displaystyle{ \leq\frac{3}{(2k+1)}\sum_{n=k}\frac{1}{4^n} = \frac{3}{(2k+1)}\frac{\frac{1}{4^k}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{(2k+1)4^{k-1}} }[/math]

למשל, קירוב של 6 האיברים הראשונים יספק שגיאה קטנה מ[math]\displaystyle{ 10^{-4} }[/math] כלומר רמת דיוק של 4 ספרות אחרי הנקודה העשרונית, לפחות.
[math]\displaystyle{ \pi\approx 3+\frac{3\cdot 2!}{3\cdot (1!)^2 \cdot 16}+\frac{3\cdot 4!}{5\cdot (2!)^2 \cdot 16^2}+ \frac{3\cdot 6!}{7\cdot (3!)^2 \cdot 16^3}+\frac{3\cdot 8!}{9\cdot (4!)^2 \cdot 16^4}+\frac{3\cdot 10!}{11\cdot (5!)^2 \cdot 16^5} }[/math]

אהבתם חדו"א 2? אז תעופו על חדו"א 1!