דטרמיננטה

בקצרה: הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] היא מספר [math]\displaystyle{ \det(A)=|A| }[/math], המוגדר כסכום על כל התמורות ב-[math]\displaystyle{ S_n }[/math]: [math]\displaystyle{ \det(A)=\sum_{f\in S_n}sign(f)\prod_{i=1}^n [A]_{i,f(i)} }[/math], כלומר סכום מכפלות של איבר אחד מכל שורה ואיבר אחד מכל עמודה, עם סימן לפי התמורה. בפועל מחשבים אותה בעזרת דירוג המטריצה למטריצה משולשית (תוך מעקב אחר השפעת כל פעולת דירוג על הערך) ומכפילים את איברי האלכסון. התכונה המרכזית שלה: [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ \det(A)\neq0 }[/math].

הדטרמיננטה (Determinant) היא פונקציה [math]\displaystyle{ |\cdot|:\mathbb{F}^{n\times n}\rightarrow\mathbb{F} }[/math] המוגדרת על כל מטריצה ריבועית מעל שדה כלשהו, והיא אחד המושגים המרכזיים בפרק 6 של הקורס (פרק הדטרמיננטות). בפרק זה לומדים כיצד להגדיר את הדטרמיננטה בעזרת תמורות, אילו תכונות יש לה (לינאריות לפי שורה, השפעת פעולות דירוג, כפליות, ושוויון לדטרמיננטת המשוחלפת), וכיצד מחשבים אותה ביעילות באמצעות דירוג במקום לפי ההגדרה הישירה. חשיבותה המרכזית של הדטרמיננטה נובעת מהקשר ההדוק שלה להפיכות מטריצה, ובהמשך הקורס היא משמשת גם לנוסחת לפלס, למטריצה הנלווית ולכלל קרמר.

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מטריצה ריבועית מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. נזכיר כי [math]\displaystyle{ S_n }[/math] הוא אוסף כל התמורות מהקבוצה [math]\displaystyle{ \{1,2,\dots,n\} }[/math] לעצמה, ולכל תמורה [math]\displaystyle{ f\in S_n }[/math] מוצמד סימן [math]\displaystyle{ sign(f)\in\{1,-1\} }[/math] (ראו תמורות).

הגדרה. עבור מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר את הדטרמיננטה:

[math]\displaystyle{ \det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\prod_{i=1}^n [A]_{i,f(i)} }[/math]

כלומר: עוברים על כל [math]\displaystyle{ n! }[/math] התמורות ב-[math]\displaystyle{ S_n }[/math], ולכל תמורה [math]\displaystyle{ f }[/math] בוחרים מהשורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] את האיבר שבעמודה [math]\displaystyle{ f(i) }[/math] - כך שבכל מכפלה משתתף בדיוק איבר אחד מכל שורה ואיבר אחד מכל עמודה. כל מכפלה כזו נכנסת לסכום בסימן פלוס אם [math]\displaystyle{ f }[/math] זוגית, ובסימן מינוס אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אי-זוגית.

מקרים פרטיים קטנים:

[math]\displaystyle{ n=1 }[/math]: יש רק תמורה אחת (הזהות), ולכן [math]\displaystyle{ \det(a)=a }[/math].
[math]\displaystyle{ n=2 }[/math]: ב-[math]\displaystyle{ S_2 }[/math] יש שתי תמורות - הזהות (סימן [math]\displaystyle{ + }[/math]) והחילוף [math]\displaystyle{ (1\ 2) }[/math] (סימן [math]\displaystyle{ - }[/math]) - ומתקבל

[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc }[/math]

[math]\displaystyle{ n=3 }[/math]: ב-[math]\displaystyle{ S_3 }[/math] יש שש תמורות (הזהות, שני מחזורים באורך 3 ושלושה חילופים), שלוש מהן תורמות בפלוס ושלוש במינוס, ומתקבלת הנוסחה

[math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} }[/math]

משפטים ותכונות

שתי שורות זהות: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ 1\leq i\neq j\leq n }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ R_i(A)=R_j(A) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ \det(A)=0 }[/math].

הוכחה בהרצאה - הרעיון: מספר התמורות הזוגיות ב-[math]\displaystyle{ S_n }[/math] (עבור [math]\displaystyle{ n\geq2 }[/math]) שווה למספר התמורות האי-זוגיות, וניתן לחלק את כל התמורות לזוגות [math]\displaystyle{ \big(f,\ f\circ(i\ j)\big) }[/math]; בזכות השוויון בין השורות ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] וה-[math]\displaystyle{ j }[/math], שני האיברים בכל זוג תורמים בדיוק את אותה מכפלה אך בסימנים הפוכים - ולכן כל הסכום מתאפס.

לינאריות לפי שורה: קבעו וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_n }[/math] והגדירו [math]\displaystyle{ T_i(u) }[/math] להיות הדטרמיננטה של המטריצה ששורותיה הן [math]\displaystyle{ v_1,\dots,v_{i-1},u,v_{i+1},\dots,v_n }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ T_i }[/math] היא העתקה לינארית: [math]\displaystyle{ T_i(cu)=c\cdot T_i(u) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ T_i(u+w)=T_i(u)+T_i(w) }[/math].

הוכחה: בכל מחובר בסכום ההגדרה משתתף איבר יחיד מהשורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math], ושאר האיברים במחובר נקבעים לפי [math]\displaystyle{ v_1,\dots,v_n }[/math] הקבועים. לכן הכפלת השורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] בסקלר [math]\displaystyle{ c }[/math] מכפילה כל מחובר (ולכן את כל הסכום) ב-[math]\displaystyle{ c }[/math]; ואם השורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] היא סכום [math]\displaystyle{ u+w }[/math], כל מחובר בסכום ההגדרה מתפצל לשני מחוברים - אחד עם [math]\displaystyle{ u }[/math] ואחד עם [math]\displaystyle{ w }[/math] - ולכן הדטרמיננטה כולה מתפצלת לסכום שתי הדטרמיננטות. שימו לב: זו אינה טענה שהדטרמיננטה לינארית ביחס לחיבור מטריצות; הלינאריות היא רק כאשר כל השורות פרט לאחת משותפות לשתי המטריצות.

השפעת פעולות דירוג: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ B }[/math] המתקבלת מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי פעולת דירוג אלמנטרית, אזי:
- אם הפעולה היא [math]\displaystyle{ R_i+a\cdot R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math], אזי [math]\displaystyle{ |B|=|A| }[/math].
- אם הפעולה היא [math]\displaystyle{ a\cdot R_i }[/math], אזי [math]\displaystyle{ |B|=a\cdot|A| }[/math].
- אם הפעולה היא [math]\displaystyle{ R_i\leftrightarrow R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math], אזי [math]\displaystyle{ |B|=-|A| }[/math].

הוכחה: נובע מהלינאריות לפי שורה ומהמשפט על שתי שורות זהות. למשל, [math]\displaystyle{ R_i+aR_j }[/math] מפרקת (מהלינאריות) את הדטרמיננטה לסכום של [math]\displaystyle{ \det(A) }[/math] ועוד [math]\displaystyle{ a }[/math] כפול הדטרמיננטה של מטריצה עם שתי שורות זהות (השורות [math]\displaystyle{ i,j }[/math]), שהיא אפס. החלפת שתי שורות מתקבלת משרשור של שלוש פעולות מהסוג הראשון עם כפל בסקלר [math]\displaystyle{ -1 }[/math] (ראו הרצאה לפירוט המלא).

מטריצה משולשית: אם [math]\displaystyle{ A }[/math] משולשית (כל האיברים מתחת לאלכסון הם [math]\displaystyle{ 0 }[/math]), אזי [math]\displaystyle{ \det(A) }[/math] שווה למכפלת איברי האלכסון.

הוכחה: לכל תמורה השונה מתמורת הזהות קיים אינדקס [math]\displaystyle{ J }[/math] (הגדול ביותר שאינו נשלח לעצמו) המקיים [math]\displaystyle{ f(J)<J }[/math], ולכן האיבר [math]\displaystyle{ [A]_{J,f(J)} }[/math] נמצא מתחת לאלכסון ושווה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] - כך שכל מכפלה כזו מתאפסת. נשארת רק תמורת הזהות, שסימנה [math]\displaystyle{ +1 }[/math] ותורמת בדיוק את מכפלת איברי האלכסון.

קשר להפיכות: מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ \det(A)\neq0 }[/math].

הוכחה: מדרגים את [math]\displaystyle{ A }[/math] לצורה מדורגת קנונית; כל פעולת דירוג מכפילה את הדטרמיננטה בסקלר שונה מ-[math]\displaystyle{ 0 }[/math] (לפי הסעיף הקודם), ולכן דטרמיננטת הצורה הקנונית שווה לסקלר כלשהו השונה מ-[math]\displaystyle{ 0 }[/math], כפול [math]\displaystyle{ \det(A) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, הצורה הקנונית היא [math]\displaystyle{ I }[/math] ודטרמיננטתה [math]\displaystyle{ 1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \det(A)\neq0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה, הצורה הקנונית (שהיא גם משולשית) מכילה שורת אפסים, ולכן יש [math]\displaystyle{ 0 }[/math] על האלכסון ודטרמיננטתה [math]\displaystyle{ 0 }[/math], ומכאן ש-[math]\displaystyle{ \det(A)=0 }[/math].

כפליות: לכל שתי מטריצות ריבועיות [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |AB|=|A|\cdot|B| }[/math].

הוכחה בהרצאה - הרעיון: אם [math]\displaystyle{ AB }[/math] אינה הפיכה, לפחות אחת מ-[math]\displaystyle{ A,B }[/math] אינה הפיכה ושני האגפים מתאפסים. אם [math]\displaystyle{ AB }[/math] הפיכה, גם [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה; מדרגים את [math]\displaystyle{ A }[/math] ל-[math]\displaystyle{ I }[/math] ומפעילים את אותן פעולות הדירוג במקביל על [math]\displaystyle{ AB }[/math] (מתקבל [math]\displaystyle{ I\cdot B=B }[/math]), והשוואת ההשפעה של הפעולות על שתי הדטרמיננטות נותנת בדיוק את השוויון המבוקש.

דטרמיננטת המשוחלפת: לכל [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |A^t|=|A| }[/math].

הוכחה: בסכום ההגדרה עבור [math]\displaystyle{ A^t }[/math] מציבים [math]\displaystyle{ g=f^{-1} }[/math], משתמשים בכך ש-[math]\displaystyle{ sign(f)=sign(f^{-1}) }[/math] (כי [math]\displaystyle{ sign(f)\cdot sign(f^{-1})=sign(f\circ f^{-1})=sign(I)=1 }[/math]), ובכך שריצה על כל [math]\displaystyle{ f\in S_n }[/math] שקולה לריצה על כל ההופכיות שלהן - ומתקבל בדיוק סכום ההגדרה של [math]\displaystyle{ \det(A) }[/math].

פעולות דירוג על עמודות: פעולת דירוג המבוצעת על עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math] משפיעה על הדטרמיננטה בדיוק כמו אותה פעולה המבוצעת על שורות.

הוכחה: משחלפים את [math]\displaystyle{ A }[/math] (אינו משנה את הדטרמיננטה), מבצעים את פעולת השורה המתאימה על המטריצה המשוחלפת (זו בדיוק פעולת העמודה המקורית על [math]\displaystyle{ A }[/math]) ומשחלפים בחזרה (שוב אינו משנה את הדטרמיננטה) - ובסך הכל בוצעה אותה פעולה, הפעם על עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math].

שיטה / איך מחשבים

בפועל לא מחשבים דטרמיננטה ישירות מההגדרה (סכום על [math]\displaystyle{ n! }[/math] תמורות) פרט למטריצות קטנות מאוד - זה לא יעיל. השיטה הנפוצה:

מדרגים את [math]\displaystyle{ A }[/math] באמצעות פעולות דירוג אלמנטריות לכדי מטריצה משולשית (מדורגת) [math]\displaystyle{ U }[/math].
עוקבים אחר ההשפעה של כל פעולה על הדטרמיננטה: הוספת כפולת שורה לשורה אחרת - אין שינוי; כפל שורה בסקלר [math]\displaystyle{ c\neq0 }[/math] - מכפילים את המכפלה המצטברת ב-[math]\displaystyle{ c^{-1} }[/math]; החלפת שתי שורות - מכפילים ב-[math]\displaystyle{ -1 }[/math].
מחשבים את מכפלת איברי האלכסון של [math]\displaystyle{ U }[/math].
[math]\displaystyle{ \det(A) }[/math] שווה למכפלה המצטברת מצעד 2, כפול מכפלת איברי האלכסון של [math]\displaystyle{ U }[/math].

עבור מטריצות מסדר [math]\displaystyle{ 1,2,3 }[/math] נוח פעמים רבות להשתמש ישירות בנוסחאות שבסעיף ההגדרה, במקום לדרג.

דוגמאות

דוגמה 1 (מטריצה 1×1). [math]\displaystyle{ \det(5)=5 }[/math] - התמורה היחידה ב-[math]\displaystyle{ S_1 }[/math] היא הזהות.

דוגמה 2 (מטריצה 2×2, שורות פרופורציוניות). [math]\displaystyle{ \begin{vmatrix}\alpha x&\alpha y\\x&y\end{vmatrix}=\alpha x\cdot y-\alpha y\cdot x=0 }[/math]. אין זה מקרה: כפי שנראה, מטריצה עם שתי שורות פרופורציוניות תמיד אינה הפיכה, ולכן דטרמיננטתה אפס.

דוגמה 3 (מטריצה 3×3 לפי הנוסחה). עבור [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \det(A)=1\cdot1\cdot0+2\cdot4\cdot5+3\cdot0\cdot6-3\cdot1\cdot5-2\cdot0\cdot0-1\cdot4\cdot6=0+40+0-15-0-24=1 }[/math]

דוגמה 4 (חישוב באמצעות דירוג, עם פרמטרים). נחשב את [math]\displaystyle{ \det\begin{pmatrix}A&B&B\\B&A&B\\B&B&A\end{pmatrix} }[/math]. נוסיף לשורה הראשונה את השורה השנייה ואת השורה השלישית (אינו משנה את הדטרמיננטה): השורה הראשונה הופכת ל-[math]\displaystyle{ (A+2B,\ A+2B,\ A+2B)=(A+2B)\cdot(1,1,1) }[/math], ולכן ניתן להוציא את [math]\displaystyle{ A+2B }[/math] כגורם משותף מהשורה:

[math]\displaystyle{ =(A+2B)\cdot\begin{vmatrix}1&1&1\\B&A&B\\B&B&A\end{vmatrix} }[/math]

כעת מחסרים [math]\displaystyle{ B }[/math] כפול השורה הראשונה מהשורה השנייה ומהשורה השלישית (אינו משנה את הדטרמיננטה), ומקבלים מטריצה משולשית:

[math]\displaystyle{ =(A+2B)\cdot\begin{vmatrix}1&1&1\\0&A-B&0\\0&0&A-B\end{vmatrix}=(A+2B)(A-B)^2 }[/math]

שאלות תרגול

שאלה 1. חשבו בעזרת דירוג את [math]\displaystyle{ \det\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&5&0\\-1&-3&2\end{pmatrix} }[/math].

פתרון

נדרג: [math]\displaystyle{ R_2-2R_1,\ R_3+R_1 }[/math] (אינם משנים את הדטרמיננטה) נותנים [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&2&-1\\0&1&2\\0&-1&1\end{pmatrix} }[/math], ולאחר [math]\displaystyle{ R_3+R_2 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&2&-1\\0&1&2\\0&0&3\end{pmatrix} }[/math] - מטריצה משולשית עם אלכסון [math]\displaystyle{ 1,1,3 }[/math]. לכל אורך הדרך לא בוצעו כפל בסקלר או החלפת שורות, ולכן [math]\displaystyle{ \det=1\cdot1\cdot3=3 }[/math].

שאלה 2. תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה הפיכה. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)} }[/math].

פתרון

מ-[math]\displaystyle{ A\cdot A^{-1}=I }[/math] ומכפליות הדטרמיננטה מתקבל [math]\displaystyle{ \det(A)\cdot\det(A^{-1})=\det(I)=1 }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, [math]\displaystyle{ \det(A)\neq0 }[/math], ולכן מותר לחלק ולקבל [math]\displaystyle{ \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)} }[/math].

שאלה 3. תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מטריצה אנטי-סימטרית ([math]\displaystyle{ A^t=-A }[/math]), כאשר [math]\displaystyle{ n }[/math] אי-זוגי ובשדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 1+1\neq0 }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \det(A)=0 }[/math].

פתרון

לפי דטרמיננטת המשוחלפת, [math]\displaystyle{ \det(A)=\det(A^t)=\det(-A) }[/math]. המטריצה [math]\displaystyle{ -A }[/math] מתקבלת מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי הכפלת כל אחת מ-[math]\displaystyle{ n }[/math] השורות בסקלר [math]\displaystyle{ -1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \det(-A)=(-1)^n\det(A) }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ n }[/math] אי-זוגי, [math]\displaystyle{ (-1)^n=-1 }[/math], ומתקבל [math]\displaystyle{ \det(A)=-\det(A) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ 2\det(A)=0 }[/math]. מכיוון ש-[math]\displaystyle{ 1+1\neq0 }[/math] ניתן לחלק ב-[math]\displaystyle{ 2 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \det(A)=0 }[/math].

שאלה 4. לכל אילו ערכי הפרמטר [math]\displaystyle{ t\in\mathbb{R} }[/math] המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}t&1&1\\1&t&1\\1&1&t\end{pmatrix} }[/math] אינה הפיכה?

פתרון

זהו מקרה פרטי של דוגמה 4 לעיל עם [math]\displaystyle{ A=t,\ B=1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \det=(t+2)(t-1)^2 }[/math]. המטריצה אינה הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שווה [math]\displaystyle{ 0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ t=-2 }[/math] או [math]\displaystyle{ t=1 }[/math].

שאלה 5. תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה ריבועית שיש בה שתי שורות פרופורציוניות (קיימים [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] וסקלר [math]\displaystyle{ c }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ R_i(A)=c\cdot R_j(A) }[/math]). הוכיחו כי [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה.

פתרון

אם [math]\displaystyle{ c=0 }[/math], השורה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] היא שורת אפסים, ומהלינאריות לפי שורה (עם סקלר [math]\displaystyle{ 0 }[/math]) מתקבל [math]\displaystyle{ \det(A)=0 }[/math]. אחרת, מבצעים [math]\displaystyle{ R_i-cR_j }[/math] (אינו משנה את הדטרמיננטה לפי השפעת פעולות הדירוג) ומקבלים שורת אפסים במקום ה-[math]\displaystyle{ i }[/math], ולכן שוב [math]\displaystyle{ \det(A)=0 }[/math]. בשני המקרים [math]\displaystyle{ \det(A)=0 }[/math], ולפי הקשר להפיכות - [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה.

טעויות נפוצות

לחשוב ש-[math]\displaystyle{ \det(A+B)=\det(A)+\det(B) }[/math] - לא נכון באופן כללי; הלינאריות היא רק לפי שורה בודדת, כאשר כל שאר השורות משותפות לשתי המטריצות.
לבלבל בין הכפלת שורה אחת בסקלר [math]\displaystyle{ c }[/math] (מכפילה את הדטרמיננטה ב-[math]\displaystyle{ c }[/math]) לבין הכפלת כל המטריצה (כל [math]\displaystyle{ n }[/math] השורות) בסקלר [math]\displaystyle{ c }[/math], שמכפילה את הדטרמיננטה ב-[math]\displaystyle{ c^n }[/math].
לשכוח שהחלפת שתי שורות שונות הופכת את סימן הדטרמיננטה, ולכן חשוב לעקוב אחרי מספר ההחלפות תוך כדי דירוג.
לנסות לחשב דטרמיננטה של מטריצה גדולה ישירות מההגדרה (סכום על [math]\displaystyle{ n! }[/math] תמורות) במקום לדרג אותה למטריצה משולשית.
לשכוח שהמשפט "הפיכה אם ורק אם דטרמיננטה שונה מ-0" עובד בשני הכיוונים - הן להוכחת אי-הפיכות (על ידי חישוב [math]\displaystyle{ \det=0 }[/math]) והן להוכחת הפיכות (על ידי חישוב [math]\displaystyle{ \det\neq0 }[/math]), למשל כשצריך למצוא ערכי פרמטר.

שאלות ממבחנים

מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשע"ט, שאלה 3 — מבחן · פתרון (הוכחת קיום בסיסים B,C להעתקה הפיכה כך שדטרמיננטת המטריצה המייצגת שווה 1, והפרכת קיום בסיס יחיד B עם אותה תכונה)
מועד א' קיץ תשע"ז, שאלה 5 — מבחן · פתרון (זהות על דטרמיננטות של מטריצה לא הפיכה, חישוב דרגה ממינור 2x2, והוכחת הפיכות לכל t≠i)
מבחן מועד א' קיץ תשעג עם פתרונות, שאלה 8 — מבחן (נכון/לא נכון: מטריצה ממשית עם כל האיברים חיוביים ⇒ הדטרמיננטה חיובית)
מבחן דמה 1 קיץ תשעא, שאלה 5ב — מבחן (מציאת כל האפשרויות למטריצה סימטרית עם דטרמיננטה 0 בהינתן חלק מערכיה)
מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 2 — מבחן · פתרון (הוכחת הנוסחה A·Adj(A)=|A|·I עבור A∈ℝ^{n×n})
מבחן דמה 2 קיץ תשעא, שאלה 4ב — מבחן · פתרון (הוכחה שקיים v≠0 עם Av=λv אם ורק אם |A-λI|=0)
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 4 — מבחן (הוכחת קיום מטריצה B מדרגה 1 כך ש-A+B הפיכה ובעלת דטרמיננטה 1, עבור A הפיכה נתונה)
עוד פתרונות לשאלות נבחרות ממבחנים לא פתורים, שאלה 6 — מבחן (חישוב |3A·A^t·A^{-1}·adj(A)| עבור A∈R^{3x3} עם |A|=2)
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 3א — מבחן · פתרון (מציאת מטריצה B כך ש-det(BAB^t)=det(A)+det(B) בעזרת תכונת כפליות הדטרמיננטה)
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 4א — מבחן · פתרון (הוכחה כי W={(a,b,c): קיים B עם det(AA^t)=det(-B^tB)} תת-מרחב, ומציאת בסיס לו)
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 4 — מבחן · פתרון (אי-תלות הדטרמיננטה והעקבה בבחירת בסיס למטריצה מייצגת, והפרכת אותה טענה עבור המטריצה הנלווית)
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 4 — מבחן · פתרון (דוגמה למטריצות A,B≠0 עם det(A+BC)≠1 לכל C, והוכחה/הפרכה על det(A+DBC)≠0 באמצעות אי-שוויוני דרגה)
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 3 — מבחן · פתרון (בניית מטריצה B עם אותם מרחבי שורה ועמודה ודטרמיננטה הפוכה בסימן, בהבחנה בין n=3 ל-n=2)
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 1 — מבחן · פתרון (שייכות וקטור לפרישה עם פרמטר, מימד מרחב הפרישה וחישוב דטרמיננטה תלוית-פרמטר)