88-212 תשפא סמסטר ב

88-212 מבוא לחוגים ומודולים

מרצה: פרופ' מיכאל שיין.

מתרגל: גיא בלשר.

שעות קבלה: בתיאום מראש.

קישורים

• שאלות ותשובות (כן! גם אתם יכולים לשאול ולענות.)

הודעות

במהלך הקורס יתקיימו שני בחנים, בתאריכים:

• 29.4.2021 - בשעה 18:00
• 20.5.2021 - בשעה 18:00

• העליתי לכם תרגול השלמה ותרגיל בית המתאים לו. בתרגול הבא נעבור על הנושא בזריזות, לכן מומלץ לקרוא את התרגול ולעבור עליו לפני.

מבחן מועד א'

טופס מועד א'. בשאלה 3, כדי להוכיח ש-f קיים אפשר (וכדאי) לזהות את [math]\displaystyle{ M }[/math] עם [math]\displaystyle{ N\times L }[/math].

בוחן 1

טופס הבוחן, ופתרונו. שימו לב שלשאלות מסוימות יכולות להיות מספר תשובות, ולא כולן כתובות פה.

הבוחן הראשון יתקיים ביום חמישי, 29.4, בשעה 18:00. הנושאים לבוחן הם כל מה שלמדנו בהרצאה ובתרגול עד ה-19.4, כולל (החומר של יריעות אלגבריות הוא בגדר העשרה). בבוחן לא תצטרכו לזכור הוכחות משפטים מן ההרצאה, אך כמובן תצטרכו לזכור את ההגדרות ואת המשפטים, וייתכנו הוכחות של טענות קצרות יותר שהופיעו בהרצאה ובתרגול.

בעמודי הקורס מהשנים הקודמות תוכלו למצוא מערכי תרגול ותרגילי בית נוספים. רוב התרגילים שהיו בתרגילים שלכם חופפים לכאלו שהיו בשנים הקודמות, אך יש מעט הבדלים. מבחינת בחנים, הבחנים של תשע"ח ושל תשע"ט שניהם מכסים את החומר שהגענו אליו. הבוחן של תשע"ז מתייחס גם לנושאים שפחות התעסקנו בהם. השאלות שכן בחומר הן שאלה 1 ושאלה 2ב' שאפשר לפתור בלי סעיף א' (וניסוח אלטרנטיבי לסעיף א': הוכיחו שבחוג [math]\displaystyle{ F[x]/\langle x^2\rangle }[/math] יש אידאל מקסימלי יחיד).

בהצלחה!

בוחן 2

טופס הבוחן, ופתרונו.

הבוחן השני יתקיים ביום חמישי, 20.5, בשעה 18:00 אם זה יתאפשר. החומר לבוחן: כל החומר עד תחומי שלמות לסוגיהם (כולל). כלומר: עד הרצאה 10 כולל ועד תרגול 7 כולל. אתם יכולים לתרגל את החומר מתרגילי הבית, לעבור על חוברת הקורס של פרופ' וישנה (יש בה הרבה תרגילים בכל הנושאים), ולהסתכל במבחנים משנים קודמות על השאלות בנושאים הרלוונטיים.

בוחן 2 השני

טופס הבוחן, ופתרונו.

המועד הנוסף לבוחן 2 הוא יום חמישי, 3.6, בשעה 18:00. החומר לבוחן: כל הנושאים שלמדנו בתורת החוגים, וההתחלה של נושא מודולים (כולל: הגדרות בסיסיות, משפטי האיזומורפיזם, מודולים פשוטים, מודולים ציקליים, מודולים נוצרים סופית, מודולים חופשיים). הנושא של מאפס ושל פיתול שלמדתם בהרצאה אינו בחומר לבוחן.

תרגילי בית

תרגילי הבית אינם להגשה, אך מומלץ מאוד לפתור אותם על מנת לעקוב אחרי הנעשה בקורס. בנוסף, ייתכן שבחלק מהתרגולים נשתמש בטענות ובדוגמאות המופיעות בתרגילי הבית.

• תרגיל 1, פתרון תרגיל 1
• תרגיל 2, פתרון תרגיל 2
• תרגיל 3, פתרון תרגיל 3
• תרגיל 4, פתרון תרגיל 4
• תרגיל 5, פתרון תרגיל 5
• תרגיל 6, פתרון תרגיל 6
• תרגיל 7, פתרון תרגיל 7
• תרגיל 8, פתרון תרגיל 8 יש טעות בשאלה 1ג - הכוונה הייתה לפולינום [math]\displaystyle{ 2ix^5+17 }[/math] ולא [math]\displaystyle{ 2ix^5+71 }[/math]. אבל אפשר להראות ששניהם אי-פריקים לפי אייזנשטיין; את אי-הפריקות של [math]\displaystyle{ 2ix^5+17 }[/math] מראים בפתרון המצורף, ואת אי-הפריקות של [math]\displaystyle{ 2ix^5+71 }[/math] אפשר להראות לפי קריטריון אייזנשטיין עם [math]\displaystyle{ p=71 }[/math] (שימו לב שזהו באמת איבר ראשוני ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[i] }[/math] לפי המיון מתרגיל 7. אחרת, היינו צריכים לפרק גם אותו למכפלה של שני איברים ראשוניים, ואז להשתמש באייזנשטיין עם אחד מהם)
• תרגיל 9, פתרון תרגיל 9
• תרגיל 10, פתרון תרגיל 10
• תרגיל 11, פתרון תרגיל 11 (בשאלה 9ב, זו אכן הוכחה אם מוסיפים את ההנחה [math]\displaystyle{ L\subseteq M }[/math]. אם אין את ההנחה הזו, זו הפרכה)
• תרגיל 12, פתרון תרגיל 12

הדרכה לשאלה 5: זו שאלה די טכנית, אז מספיק שתבדקו את אחד הערכים של [math]\displaystyle{ D }[/math] לצורך העניין. כדי למצוא את הפירוק, אפשר ללכת בשתי דרכים. האחת -- לנסות לפרק את האיבר המתאים (למשל [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ב-[math]\displaystyle{ \mathcal{O}_{11} }[/math]), כי כל פירוק שלו הוא אוטומטית פירוק של האידאל. אחר כך לבדוק האם הגורמים ראשוניים, ואם לא - לנסות לפרק את האידאלים שלהם. אבל דרך קצת יותר ישירה: אנחנו יודעים ש-[math]\displaystyle{ P }[/math] מופיע בפירוק של אידאל [math]\displaystyle{ I }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ I\subseteq P }[/math]. ממשפט ההתאמה, אנחנו יודעים שכל אידאל כזה מתאים לאידאל מקסימלי של חוג המנה [math]\displaystyle{ \mathcal{O}_D/I }[/math]. אז אפשר לחשב את חוג המנה, למצוא את האידאלים המקסימליים שלו, וכך לחזור לאידאלים המקסימליים שמכילים את [math]\displaystyle{ I }[/math].

קבצי הרצאות

• הרצאה 1, 8.3.2021
• הרצאה 2, 10.3.2021
• הרצאה 3, 15.3.2021
• הרצאה 4, 17.3.2021
• הרצאה 5, 5.4.2021
• הרצאה 6, 7.4.2021
• הרצאה 7, 12.4.2021
• הרצאה 8, 19.4.2021
• הרצאה 9, 21.4.2021
• הרצאה 10, 26.4.2021
• הרצאה 11, 28.4.2021
• הרצאה 12, 3.5.2021
• הרצאה 13, 5.5.2021
• הרצאה 14, 12.5.2021
• הרצאה 15, 19.5.2021
• הרצאה 16, 24.5.2021
• הרצאה 17, 26.5.2021
• הרצאה 18, 31.5.2021
• הרצאה 19, 2.6.2021
• הרצאה 20, 7.6.2021
• הרצאה 21, 9.6.2021
• הרצאה 22, 14.6.2021
• הרצאה 23, 16.6.2021
• הרצאה 24, 21.6.2021
• הרצאה 25, 28.6.2021
• הרצאה 26, 30.6.2021

קבצי תרגולים

• תרגול 1, 8.3.2021
• תרגול 2, 15.3.2021
• תרגול 3, 5.4.2021
• תרגול 4, 12.4.2021

השלמה מתרגול 4: הוכחה מלאה לכך ש-[math]\displaystyle{ \mathbb{C}[x,y]/\langle xy-1\rangle\cong\mathbb{C}[t,t^{-1}] }[/math], נמצאת פה.

• תרגול 5, 19.4.2021
• תרגול 6, 26.4.2021
• תרגול 7, 3.5.2021
• תרגול השלמה - לקריאה עצמית. הוספתי בהמשך העמוד הזה הוכחה למשפט 3 בתרגול למעוניינים. בנוסף, שימו לב שבמסקנה 24 צריך להניח ש-[math]\displaystyle{ g }[/math] הוא פרימיטיבי בעצמו.
• תרגול 9, 24.5.2021
• תרגול 10, 31.5.2021

תיקון לטעות קטנה שאמרתי בתרגול: אם [math]\displaystyle{ R }[/math] תחום ראשי ו-[math]\displaystyle{ M }[/math] מודול נוצר סופית מעל [math]\displaystyle{ R }[/math], הגדרנו אפימורפיזם [math]\displaystyle{ \pi:R^n\to M }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math] יוצרים של [math]\displaystyle{ M }[/math]). טענתי ש-[math]\displaystyle{ \ker\pi }[/math] נוצר סופית. הסיבה לכך היא שהוא תת-מודול של [math]\displaystyle{ R^n }[/math], ולפי הטענה מתחילת החלק הזה הוא בהכרח חופשי בעצמו ונוצר על ידי לכל היותר [math]\displaystyle{ n }[/math] איברים.

• תרגול 11, 7.6.2021, ולהלן מודולים מעל תחום ראשי - הסיפור הכמעט מלא עם הוכחות לחלק מהטענות שטענתי בתרגול. לשאלות / הערות / בקשות לגביו, מוזמנים לשלוח מייל.
• תרגול 12, 14.6.2021
• תרגול 13, 21.6.2021

בתרגול מופיעה הטענה שכל אידאל בתחום דדקינד נוצר על ידי לכל היותר שני איברים. הנה ניסוח קצת יותר טוב של תחילת ההוכחה: יהי [math]\displaystyle{ 0\neq I\vartriangleleft R }[/math] אידאל לא אפסי, ויהי [math]\displaystyle{ 0\neq a\in I }[/math]. נתבונן בפירוק [math]\displaystyle{ \left\langle a\right\rangle=P_1^{f_1}\cdots P_r^{f_r} }[/math] של [math]\displaystyle{ \left\langle a\right\rangle }[/math] לאידאלים ראשוניים, כאשר [math]\displaystyle{ f_i\gt 0 }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ \left\langle a\right\rangle\subseteq I }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ I\mid\left\langle a\right\rangle }[/math], ולכן הפירוק של [math]\displaystyle{ I }[/math] למכפלת אידאלים ראשוניים הוא מהצורה [math]\displaystyle{ I=P_1^{e_1}\cdots P_r^{e_r} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ 0\leq e_i\leq f_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math]. עכשיו אפשר להמשיך כמו בתרגול: נבחר את האיבר [math]\displaystyle{ b }[/math] כמו שמצוין שם; האידאל [math]\displaystyle{ \left\langle a\right\rangle\subseteq\left\langle a,b\right\rangle }[/math], ולכן גם הגורמים הראשוניים שלו הם [math]\displaystyle{ P_1,\dots,P_r }[/math], ומראים שהחזקות הן [math]\displaystyle{ e_1,\dots,e_r }[/math] בהתאמה לפי הנימוק מהתרגול.

• תרגול 14, 28.6.2021

תשובות לשאלות מהתרגול

שאלה: האם קיימים חוגים לא איזומורפיים [math]\displaystyle{ R,S }[/math] כך שהחבורות החיבוריות שלהם איזומורפיות וגם המונואידים הכפליים שלהם (כלומר [math]\displaystyle{ R\setminus\{0\},S\setminus\{0\} }[/math] ביחס לפעולות הכפל המתאימות) איזומורפיים?

תשובה: כן. אפשר למשל לקחת [math]\displaystyle{ R=F[x],S=F[x,y] }[/math].

רעיון ההוכחה: שני החוגים [math]\displaystyle{ R }[/math] ו-[math]\displaystyle{ S }[/math] שכתבנו הם תחומי פריקות יחידה. לכן המונואידים הכפליים שלהם איזומורפיים למכפלה ישרה של [math]\displaystyle{ \mathbb{N}\cup\{0\} }[/math], לפי כמות האיברים האי-פריקים בכל אחד מהחוגים. אבל בשניהם יש אותה עוצמה של איברים אי-פריקים, לכן המונואידים הכפליים איזומורפיים.

שאלה: האם מכפלה נקודתית של קוסטים שווה למכפלה של קוסטים כפי שהגדרנו אותה? כלומר, האם [math]\displaystyle{ (a+I)(b+I)=ab+I\overset{?}{=}\{(a+x)(b+y)\mid x,y\in I\} }[/math]?

תשובה: לא! באופן כללי יש הכלה של המכפלה הנקודתית (אגף ימין) באגף שמאל, אך לא חייב להיות שוויון. ניקח למשל [math]\displaystyle{ R=\mathbb{Z} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ I=4\mathbb{Z} }[/math]. אפשר לבדוק שבמקרה הזה [math]\displaystyle{ (2+4\mathbb{Z})^2=4\mathbb{Z} }[/math] לפי הגדרת הכפל שלנו, אך [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אינו מופיע כאיבר במכפלה הנקודתית (כי אף קוסט אינו מכיל את [math]\displaystyle{ 0 }[/math]).

שאלה: איך נראה חוג שבו כל תת-חוג הוא אידאל? (לחוגים שמקיימים את התכונה הזו קוראים חוגים המילטוניים, ובאנגלית בקיצור H-rings).

תשובה: נראה כי חוג כזה חייב להיות [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math] או [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]. נניח שהחוג שלנו הוא לא חוג האפס, ונסתכל על תת-החוג [math]\displaystyle{ S }[/math] הנוצר על ידי [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. זו בעצם התמונה של ההומומורפיזם היחיד [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\to R }[/math]. לפי ההנחה, [math]\displaystyle{ S }[/math] חייב להיות אידאל. אבל אז לכל [math]\displaystyle{ a\in R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a=a\cdot 1\in S }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ R=S }[/math]. מפה אפשר לקבל את הטענה בקלות.

השאלה הזו נהיית מעניינת יותר אם עוברים לחוגים בלי יחידה. שם אין לנו מיון מלא של כל החוגים ההמילטוניים ללא יחידה, אבל יש עבודות בנושא.

שאלה: מדוע עבור חוג חילופי [math]\displaystyle{ R }[/math], איבר [math]\displaystyle{ c\in R }[/math] ופולינום [math]\displaystyle{ f(x)\in R[x] }[/math], מתקיים ש-[math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ (x-c)\mid f(x) }[/math]?

תשובה: כדי להוכיח את זה, ניעזר בטענה שמעל כל חוג חילופי [math]\displaystyle{ R }[/math] ניתן לחלק עם שארית אם הפולינום שמחלקים בו הוא מתוקן. השתמשנו בטענה הזו מספר פעמים, אתם יכולים למצוא הוכחה שלה בתשובה הראשונה כאן.

אם [math]\displaystyle{ (x-c)\mid f(x) }[/math], ברור ש-[math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math]. בכיוון השני, נניח [math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math], ונחלק את [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בפולינום המתוקן [math]\displaystyle{ x-c }[/math] עם שארית: [math]\displaystyle{ f(x)=q(x)\cdot (x-c)+r }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ r }[/math] חייב להיות קבוע. נציב [math]\displaystyle{ x=c }[/math] במשוואה ונקבל [math]\displaystyle{ 0=f(c)=q(c)\cdot 0+r=r }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ f(x)=q(x)\cdot (x-c) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (x-c)\mid f(x) }[/math].

שימו לב שלמרות שהטענה הזו נכונה, זה לא אומר שהפירוק יחיד. למשל, בחוג [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} }[/math] יש לפולינום [math]\displaystyle{ x^2+x }[/math] ארבעה שורשים שונים: [math]\displaystyle{ 0,2,3,5 }[/math]. ואכן, מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} }[/math] אפשר לכתוב את הפולינום כך: [math]\displaystyle{ x^2+x=x(x-5)=(x-2)(x-3) }[/math] (כי עובדים מודולו [math]\displaystyle{ 6 }[/math]). אלו שני פירוקים לא שקולים של [math]\displaystyle{ x^2+x }[/math] למכפלה של גורמים לינאריים, וזו לא בעיה כי [math]\displaystyle{ \left(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\right)[x] }[/math] הוא לא תחום פריקות יחידה.

חומר נוסף

• חוברת מערכי תרגול משנת תשע"ח גרסה 1.15, נכתבה על ידי תומר באואר. שימו לב כי אמנם ההתחלה תהיה דומה, אך במהלך הקורס יהיו שינויים יותר משמעותיים במערכי התרגול, בהתאם לקצב ההתקדמות ולנושאים שיילמדו השנה.

• העשרה: מאמר עם הוכחה שו[math]\displaystyle{ \dim R+1\leq\dim R[x]\leq 2\dim R+1 }[/math] נמצא כאן (משפט 2). אפשר לנסות לקרוא גם את ההמשך, אבל הוא מכיל מושגים שלא התייחסנו אליהם בינתיים.