88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב/תרגילים
ציונים
טבלת ציונים ניתן לראות כאן.
אם הגשתם באחור, יתכן והציון שלכם יתפרסם מאוחר יותר.
הציון באתר קובע. אם משום מה הציון שונה מהרשום לכם על התרגיל פנו למתרגל עם התרגיל.
תרגיל 1
נוסח התרגיל: תרגיל 1
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 10.11.11.
אין צורך לפתור את שתי השאלות האחרונות (4 ו-5). הן כנראה תעבורנה לתרגיל הבא.
פיתרון: פיתרון תרגיל 1
תרגיל 2
נוסח התרגיל תרגיל 2
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 17.11.11.
תיקון קל: בשאלה 3, הפולינום הוא [math]\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c }[/math] ולא [math]\displaystyle{ x^3+ax+bx+c }[/math].
פיתרון: פיתרון תרגיל 2
תרגיל 3
נוסח התרגיל: תרגיל 3
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 24.11.11.
פיתרון: פתרון תרגיל 3
תרגיל 4
נוסח התרגיל: תרגיל 4
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 1.12.11. איחורים לא יתקבלו.
הבהרה: ב"חימום" אין צורך לפתור את התרגילים המופיעים בסיכום "שדות - תכונות בסיסיות".
פיתרון: פיתרון תרגיל 4
תזכורת: בשיעור הזכרנו את הדברים הבאים. אפשר (וכנראה כדאי) להשתמש בהם:
- אם [math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq L }[/math] שדות אז [math]\displaystyle{ [L:F] }[/math] מתחלק ב-[math]\displaystyle{ [K:F] }[/math]. (הסבר: זה נובע מ-[math]\displaystyle{ [L:K]\cdot[K:F]=[L:F] }[/math])
- בהנחות הנ"ל, אם [math]\displaystyle{ a\in L }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] אז [math]\displaystyle{ [K[a]:K]\leq [F[a]:F] }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ f(x)\in F[x] }[/math] פולינום ו-[math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n }[/math] הם השורשים של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בשדה גדול המכיל את [math]\displaystyle{ F }[/math] אז שדה הפיצול של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] (מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]) הוא [math]\displaystyle{ F[a_1,\ldots,a_n] }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני, אז הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ \rho_p=\exp(2\pi i/p) }[/math] (שורש יחידה פרימיטיבי מסדר [math]\displaystyle{ p }[/math]) מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1 }[/math].
תרגיל 5
נוסח התרגיל: תרגיל 5
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 8.12.11. איחורים לא יתקבלו.
פתרון: פתרון תרגיל 5
תרגיל 6
נוסח התרגיל: תרגיל 6
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 15.12.11.
תזכורת: הוכחתם (או לפחות הייתם אמורים להוכיח) את המשפט הבא בהרצאה:
יהיו [math]\displaystyle{ F,F' }[/math] שדות, [math]\displaystyle{ \psi:F\to F' }[/math] איזומורפיזם של שדות ו-[math]\displaystyle{ f(x)\in F[x] }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ E }[/math] שדה פיצול של [math]\displaystyle{ f }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ E' }[/math] שדה פיצול של [math]\displaystyle{ \psi(f) }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F' }[/math]. אזי קיים איזומורפיזם של שדות [math]\displaystyle{ \Psi:E\to E' }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \Psi|_F=\psi }[/math].
פיתרון: פיתרון תרגיל 6.
תרגיל 7
נוסח התרגיל: תרגיל 7
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 22.12.11.
שימו לב: הניסוח של שאלה 1 השתנה במעט ב-16.12.11 (יום ו) בשעה 10. אנא ודאו כי יש לכם את הניסוח העדכני. --אוריה 10:14, 16 בדצמבר 2011 (IST)
הערה: בשלב זה של הקורס אין צורך להראות ש-[math]\displaystyle{ [\mathbb{Q}[\sqrt[n]{a}]:\mathbb{Q}]=n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a }[/math] שהוא ראשוני או מכפלה של ראשוניים שונים.
פיתרון: פיתרון תרגיל 7
תרגיל 8
נוסח התרגיל: תרגיל 8
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 13.1.12. שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 9).
הערה: סיכום על שדות סופיים תוכלו למצוא כאן.
הערה: אפשר להשתמש בכל משפט מההרצאה בשיעורי הבית ובפרט, בטענה הבאה (שלמיטב זכרוני לא הזכרנו בשיעור):
טענה: אם [math]\displaystyle{ E/F }[/math] הרחבת גלואה ו-[math]\displaystyle{ G=Gal(E/F) }[/math], אז [math]\displaystyle{ E^G=F }[/math] (באשר [math]\displaystyle{ E^G }[/math] הם האיברים [math]\displaystyle{ a\in E }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ \sigma a=a }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \sigma\in G }[/math]).
תרגיל 9
נוסח התרגיל: תרגיל 9
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 13.1.12. שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 8).
תרגיל 10
נוסח התרגיל: תרגיל 10
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 19.1.12.
הערה: אם [math]\displaystyle{ E/F }[/math] גלואה ממימד סופי ו-[math]\displaystyle{ H\leq Gal(E/F) }[/math] אז כדי להוכיח [math]\displaystyle{ F[a]=E^H }[/math] מספיק לבדוק ש-[math]\displaystyle{ a\in E^H }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ a }[/math] יציב תחת אברי [math]\displaystyle{ H }[/math], ולמעשה מספיק לבדוק על קבוצת יוצרים בלבד) ולבדוק ש-[math]\displaystyle{ [F[a]:F]=[Gal(E/F):H] }[/math]. הסבר: התנאי הראשון אומר ש-[math]\displaystyle{ F[a]\subseteq E^H }[/math]. לפי המשפט היסודי של תורת גלואה [math]\displaystyle{ [E^H:F]=[Gal(E/F):H] }[/math] ולכן נובע של-[math]\displaystyle{ E^H }[/math] ו-[math]\displaystyle{ F[a] }[/math] יש אותו מימד מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. היות ואחד מוכל באחר, הם שווים.
אנו נוכיח את זה בכל מקרה בתרגול הבא (ההוכחה די קצרה), אז יש לשלוח פתרונות רק עד תחילת התרגול בשבוע הבא.
תרגיל 11
נוסח התרגיל תרגיל 11
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 26.1.12.
הערה: פטור מתרגיל 11 (כלומר ציון 100 ללא צורך בהגשה) ינתן לשלושה הראשונים שישלחו לי הוכחה נכונה של מה ששכחתי איך להוכיח בכיתה: יהיו [math]\displaystyle{ F,K,F',K' }[/math] שדות כך ש-[math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq K' }[/math] ו-[math]\displaystyle{ F\subseteq F'\subseteq K' }[/math]. נניח כי [math]\displaystyle{ K/F }[/math] ו-[math]\displaystyle{ K'/F' }[/math] הרחבות גלואה ממימד סופי ותהי [math]\displaystyle{ \psi:Gal(K'/F')\to Gal(K/F) }[/math] הומומורפיזם החבורות המוגדר ע"י [math]\displaystyle{ \psi(\sigma)=\sigma|_K }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathrm{im}(\psi)=Gal(K/F'\cap K) }[/math].
אנו נוכיח את זה בכל מקרה בתרגול הבא (ההוכחה לא ארוכה), אז הוכחות יש לשלוח רק עד אז.