דירוג מטריצה ואלימינציית גאוס

בקצרה: דירוג מטריצה (אלימינציית גאוס) הוא תהליך שבו מפעילים על מטריצה סדרת פעולות דירוג אלמנטריות עד שמגיעים לצורה מדורגת ולאחר מכן לצורה מדורגת קנונית [math]\displaystyle{ CF(A) }[/math]. בעזרת הצורה הקנונית פותרים מערכות משוואות לינאריות (וקובעים אם יש פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או בכלל אין פתרון), מוצאים את דרגת המטריצה, ובודקים הפיכות ומוצאים מטריצה הופכית בשיטת גאוס-ג'ורדן על ידי דירוג [math]\displaystyle{ (A|I) }[/math] ל-[math]\displaystyle{ (I|A^{-1}) }[/math].

דירוג מטריצה, שנקרא גם שיטת גאוס או אלימינציית גאוס-ג'ורדן, הוא אחד הכלים המרכזיים ביותר בקורס אלגברה לינארית 1: הוא מופיע כבר בפרק על מערכות משוואות לינאריות, וממשיך ללוות את הקורס כולו - במציאת דרגת מטריצה, במציאת בסיסים למרחבי שורות ועמודות, ובבדיקת הפיכות ומציאת המטריצה ההופכית. הרעיון הבסיסי: פעולות הדירוג האלמנטריות אינן משנות את קבוצת הפתרונות של מערכת המשוואות שהמטריצה מייצגת, ולכן אפשר "לפשט" את המטריצה עד לצורה מדורגת קנונית שממנה קל לקרוא את הפתרון. תלמידים מחפשים את הנושא הזה גם תחת השמות "איך לדרג מטריצה", "מטריצה מדורגת קנונית", "צורה מדורגת" ו"פתרון מערכת משוואות לינאריות" - כל אלה אותו נושא בדיוק.

הגדרה

תהי מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math].

שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות על שורות המטריצה הן:

[math]\displaystyle{ \alpha R_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\neq \alpha\in\mathbb{F} }[/math] (כפל שורה [math]\displaystyle{ i }[/math] בסקלר שונה מאפס)
[math]\displaystyle{ R_i+\alpha R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] (הוספה לשורה [math]\displaystyle{ i }[/math] של קבוע כפול שורה [math]\displaystyle{ j }[/math])
[math]\displaystyle{ R_i \leftrightarrow R_j }[/math] (החלפת שתי שורות זו בזו)

כל אחת משלוש הפעולות היא הפיכה: אם הגענו ממטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] למטריצה [math]\displaystyle{ B }[/math] על ידי פעולת דירוג אלמנטרית אחת, ניתן לחזור מ-[math]\displaystyle{ B }[/math] ל-[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי פעולת דירוג אלמנטרית (למשל, את [math]\displaystyle{ \alpha R_i }[/math] מבטלים על ידי [math]\displaystyle{ \alpha^{-1}R_i }[/math], ואת [math]\displaystyle{ R_i+\alpha R_j }[/math] מבטלים על ידי [math]\displaystyle{ R_i-\alpha R_j }[/math]). זו הסיבה שמותר לדרוג "בלי חשש" - אף פעולה לא הורסת מידע, וממילא (כפי שנראה) הן לא משנות את קבוצת הפתרונות.

איבר בשורה נקרא איבר פותח (או מוביל או ציר) אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.

מטריצה נקראת מדורגת אם:

אם יש שורות אפסים - כולן נמצאות בתחתית המטריצה.
כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות שמעליו.

מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:

היא מדורגת.
כל האיברים הפותחים שווים ל-1.
בכל עמודה שבה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל-0.

זה ההבדל בין השתי הצורות: מדורגת דורשת רק שהאיברים הפותחים "ירדו במדרגה"; מדורגת קנונית דורשת בנוסף שכל איבר פותח יהיה 1 ושמעליו יהיו רק אפסים - ולכן ממנה, ולא סתם מצורה מדורגת, קל לקרוא את הפתרון ישירות.

בהינתן מערכת משוואות לינארית (הומוגנית או לא) עם מטריצה מייצגת [math]\displaystyle{ A }[/math]: משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של [math]\displaystyle{ A }[/math] יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו, וכל משתנה שאינו תלוי נקרא משתנה חופשי. במקרה הלא-הומוגני, שורה נקראת שורת סתירה אם יש בה איבר פותח בעמודה האחרונה (עמודת הקבועים) - כלומר כל מקדמי המשתנים בה הם 0 והקבוע שונה מ-0.

משפטים ותכונות

קיום ויחידות הצורה הקנונית: לכל מטריצה קיימת צורה מדורגת קנונית, והיא יחידה. הקיום מוכח באינדוקציה על מספר העמודות (זהו בדיוק אלגוריתם הדירוג שמתואר בהמשך); היחידות נובעת מכך ששתי צורות קנוניות של אותה מטריצה מייצגות את אותה מערכת הומוגנית, ומהצורה הקנונית ניתן לשחזר את הפתרון הכללי ישירות - ולכן שתי צורות קנוניות עם אותן פתרונות חייבות להיות זהות. הוכחה בהרצאה, ראו סרטון בהמשך.
עמדות האיברים הפותחים אינן תלויות בדרך הדירוג: אם [math]\displaystyle{ B,C }[/math] הן שתי צורות מדורגות של אותה מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math], האיברים הפותחים שלהן נמצאים באותם מספרי עמודות בדיוק.
דרגת מטריצה: כל הגדלים הבאים שווים זה לזה, וערכם המשותף נקרא דרגת המטריצה (rank), ומסומן [math]\displaystyle{ rank(A) }[/math]: מימד מרחב העמודות, מימד מרחב השורות, מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת, ומספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math]. (הסיבה: עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math] המקורית שבמיקומי האיברים הפותחים של הצורה המדורגת מהוות בסיס למרחב העמודות, ובאותו אופן השורות השונות מאפס מהוות בסיס למרחב השורות - ולכן שני המימדים שווים למספר האיברים הפותחים.)
משפט הדרגה (rank-nullity): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה למספר העמודות (מספר המשתנים). כלומר משתנים חופשיים "צורכים" בדיוק את המימד שנשאר מעבר לדרגה.
קשר להפיכות: מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ CF(A)=I }[/math], אם ורק אם דרגתה מלאה (שווה ל-[math]\displaystyle{ n }[/math]), אם ורק אם שורותיה (וכן עמודותיה) בלתי תלויות לינארית.
אלגוריתם למציאת מטריצה הופכית: תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ריבועית. מדרגים את מטריצת הבלוקים [math]\displaystyle{ (A|I) }[/math] קנונית. אם בצורה המדורגת של [math]\displaystyle{ A }[/math] מתקבלת שורת אפסים - [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה ואפשר לעצור. אחרת מגיעים ל-[math]\displaystyle{ (I|A^{-1}) }[/math]: כל פעולת דירוג שקולה לכפל משמאל במטריצה אלמנטרית הפיכה, ומכפלת כל המטריצות האלמנטריות ששימשו לדירוג [math]\displaystyle{ A }[/math] ל-[math]\displaystyle{ I }[/math] היא בדיוק [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] - וזה גם מה שמתקבל כשמפעילים את אותן הפעולות על [math]\displaystyle{ I }[/math] שבצד ימין.

שיטה / איך מדרגים מטריצה

בודקים אם יש שורת אפסים; אם יש, מוודאים שהיא בתחתית (במידת הצורך מחליפים שורות).
מאתרים בכל שורה (שאינה שורת אפסים) את האיבר הפותח - הראשון משמאל ששונה מאפס.
באמצעות פעולת [math]\displaystyle{ R_i\leftrightarrow R_j }[/math] מוודאים שהאיברים הפותחים "יורדים מדרגה" - כל איבר פותח מימין לאיברים הפותחים שמעליו.
באמצעות [math]\displaystyle{ R_i+\alpha R_j }[/math] מאפסים את כל האיברים מתחת לכל איבר פותח (כדי לקבל צורה מדורגת).
כדי להגיע לצורה קנונית: מכפילים כל שורה ב-[math]\displaystyle{ \alpha^{-1} }[/math] כך שכל איבר פותח יהיה 1, ואז ממשיכים באותה פעולה [math]\displaystyle{ R_i+\alpha R_j }[/math] כדי לאפס גם מעל כל איבר פותח.

זה בדיוק "לדרג מטריצה שלב אחרי שלב": מקבעים עמודה אחר עמודה משמאל לימין, בכל שלב הופכים איבר לאיבר פותח שווה 1, ומאפסים הכול סביבו.

לקביעת מספר הפתרונות של מערכת המיוצגת על ידי [math]\displaystyle{ A }[/math]: מדרגים את [math]\displaystyle{ A }[/math] (מספיק לא בהכרח קנונית). אם יש שורת סתירה - אין פתרון. אחרת: אם אין משתנים חופשיים - יש פתרון יחיד; אם יש משתנים חופשיים, מספר הפתרונות הוא [math]\displaystyle{ |\mathbb{F}|^{k} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k }[/math] מספר המשתנים החופשיים (מעל שדה אינסופי כמו [math]\displaystyle{ \mathbb{R},\mathbb{C} }[/math] - אינסוף פתרונות אם יש לפחות משתנה חופשי אחד).

למציאת הפתרון הכללי: מדרגים את [math]\displaystyle{ A }[/math] לצורה קנונית, מוודאים שאין שורת סתירה, מציבים פרמטר בכל משתנה חופשי, ומבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים (מהמשוואה שמתאימה לשורה שלהם).

דירוג עם פרמטר: מותר לבצע [math]\displaystyle{ R_i+\alpha R_j }[/math] גם כש-[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] תלוי בפרמטר, אבל אסור לכפול שורה ([math]\displaystyle{ \alpha R_i }[/math]) או לחלק בביטוי שעלול להתאפס. הכלל המעשי: ממשיכים בלי לפצל למקרים כל עוד אפשר, ומפצלים (למשל [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] מול [math]\displaystyle{ a\neq1 }[/math]) רק כשזה ממש הכרחי - בדרך כלל ממש בסוף הדירוג.

למציאת דרגת מטריצה: מדרגים אותה (מספיק לצורה מדורגת, לא חובה קנונית) וסופרים את מספר השורות השונות מאפס (או, באופן שקול, את מספר האיברים הפותחים).

למציאת מטריצה הופכית בעזרת גאוס-ג'ורדן: כותבים את [math]\displaystyle{ (A|I) }[/math] ומדרגים קנונית. אם מתקבלת שורת אפסים בצד של [math]\displaystyle{ A }[/math] - המטריצה אינה הפיכה. אחרת, בסיום הדירוג מתקבל [math]\displaystyle{ (I|A^{-1}) }[/math].

דוגמאות

דוגמה 1 - פתרון מערכת ומציאת הפתרון הכללי. נביט במערכת המיוצגת על ידי [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&2\\2&-1&0&1\end{array}\right) }[/math]. מבצעים [math]\displaystyle{ R_2-2R_1\to R_2 }[/math] ומקבלים [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&2\\0&-3&2&-3\end{array}\right) }[/math]. זו כבר מדורגת (האיברים הפותחים הם בעמודות 1,2, ואין שורת סתירה - כבר עכשיו ידוע שיש אינסוף פתרונות כי [math]\displaystyle{ z }[/math] חופשי). ממשיכים לקנונית: [math]\displaystyle{ -\tfrac13R_2\to R_2 }[/math] נותן [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&2\\0&1&-\tfrac23&1\end{array}\right) }[/math], ואז [math]\displaystyle{ R_1-R_2\to R_1 }[/math] נותן [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-\tfrac13&1\\0&1&-\tfrac23&1\end{array}\right) }[/math]. כעת [math]\displaystyle{ x,y }[/math] תלויים ו-[math]\displaystyle{ z }[/math] חופשי; מציבים [math]\displaystyle{ z=t }[/math] ומקבלים [math]\displaystyle{ x=1+\tfrac13t,\ y=1+\tfrac23t }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (x,y,z)=(1,1,0)+t\left(\tfrac13,\tfrac23,1\right) }[/math] - זהו ישר החיתוך של שני המישורים.

דוגמה 2 - דירוג עם פרמטר. נמשיך עם אותה מטריצת מקדמים כמו בדוגמה 4 (בהמשך), הפעם עבור המערכת הלא-הומוגנית [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}a&1&1&1\\1&a&1&1\\1&1&a&1\end{array}\right) }[/math]. בדיוק כמו בהרצאה על דירוג עם פרמטר: מחליפים [math]\displaystyle{ R_1\leftrightarrow R_3 }[/math] כדי לקבל 1 מוביל בטוח, מבצעים [math]\displaystyle{ R_2-R_1\to R_2 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ R_3-aR_1\to R_3 }[/math], ומגיעים ל-[math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&a&1\\0&a-1&1-a&0\\0&1-a&1-a^2&1-a\end{array}\right) }[/math]. לא מחלקים עדיין באף ביטוי - מוסיפים [math]\displaystyle{ R_2 }[/math] ל-[math]\displaystyle{ R_3 }[/math] ומקבלים [math]\displaystyle{ 0,0,(1-a)(a+2)\mid 1-a }[/math]. כעת, ורק כעת, בודקים מתי הביטויים מתאפסים: אם [math]\displaystyle{ a\neq1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a\neq-2 }[/math] - שלושה איברים פותחים, פתרון יחיד [math]\displaystyle{ x=y=z=\tfrac1{a+2} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ a=1 }[/math]: שתי השורות האחרונות מתאפסות כולן (כולל האגף הימני) ונשארת רק [math]\displaystyle{ x+y+z=1 }[/math] עם שני משתנים חופשיים - אינסוף פתרונות. אם [math]\displaystyle{ a=-2 }[/math]: מתקבל [math]\displaystyle{ 0,0,0\mid3 }[/math] - שורת סתירה, אין פתרון. שימו לב שזו בדיוק אותה חלוקה למקרים שקיבלנו בבדיקת ההפיכות של אותה מטריצה בדוגמה 4 - וזה לא מקרי: המערכת הזו פתירה ביחידות בדיוק כאשר מטריצת המקדמים הפיכה.

דוגמה 3 - מציאת מטריצה הופכית. תהי [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix} }[/math]. כותבים [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\-1&-1&0&1\end{array}\right) }[/math], מבצעים [math]\displaystyle{ R_2+R_1\to R_2 }[/math] ומקבלים [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&1&1&1\end{array}\right) }[/math], ולבסוף [math]\displaystyle{ R_1-2R_2\to R_1 }[/math] נותן [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-1&-2\\0&1&1&1\end{array}\right) }[/math]. הגענו ל-[math]\displaystyle{ (I|A^{-1}) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-2\\1&1\end{pmatrix} }[/math].

דוגמה 4 - בדיקת הפיכות עם פרמטר. תהי [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix} }[/math]. מחליפים [math]\displaystyle{ R_1\leftrightarrow R_3 }[/math], מבצעים [math]\displaystyle{ R_2-R_1\to R_2 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ R_3-aR_1\to R_3 }[/math], ולאחר צמצום מגיעים לאיבר הפותח השלישי [math]\displaystyle{ (1-a)(a+2) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה בדיוק כאשר [math]\displaystyle{ a\neq1 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a\neq-2 }[/math] (במקרים [math]\displaystyle{ a=1,-2 }[/math] מתקבלת שורת אפסים, כלומר דרגה חסרה, ולפי המשפט לעיל [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה).

שאלות תרגול

שאלה 1. דרגו קנונית את [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&1&0\\0&0&2\end{pmatrix} }[/math] ומצאו את דרגתה.

פתרון

מחליפים [math]\displaystyle{ R_1\leftrightarrow R_2 }[/math]: [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&2\end{pmatrix} }[/math]. מבצעים [math]\displaystyle{ \tfrac12R_3\to R_3 }[/math]: [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix} }[/math]. מאפסים מעל האיבר הפותח האחרון: [math]\displaystyle{ R_2-R_3\to R_2 }[/math] נותן [math]\displaystyle{ 0,1,0 }[/math] בשורה השנייה, ואז [math]\displaystyle{ R_1-R_2\to R_1 }[/math] נותן [math]\displaystyle{ 1,0,0 }[/math] בשורה הראשונה. הצורה הקנונית היא [math]\displaystyle{ I_3 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ rank(A)=3 }[/math] (וכן [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, דרגה מלאה).

שאלה 2. לכל ערך של הפרמטר [math]\displaystyle{ k\in\mathbb{R} }[/math], קבעו כמה פתרונות יש למערכת [math]\displaystyle{ \begin{cases}x+y+z=1\\x+y+kz=k\\x+ky+z=1\end{cases} }[/math], ובמקרה שיש אינסוף פתרונות - מצאו את הפתרון הכללי.

פתרון

המטריצה המורחבת [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\1&1&k&k\\1&k&1&1\end{array}\right) }[/math]. מבצעים [math]\displaystyle{ R_2-R_1\to R_2 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ R_3-R_1\to R_3 }[/math]: [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&0&k-1&k-1\\0&k-1&0&0\end{array}\right) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ k\neq1 }[/math]: אפשר לחלק את השורה השנייה ב-[math]\displaystyle{ k-1 }[/math] ואת השלישית ב-[math]\displaystyle{ k-1 }[/math] ולקבל [math]\displaystyle{ 0,0,1\mid1 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ 0,1,0\mid0 }[/math] בהתאמה - שלושה איברים פותחים (בעמודות 1,2,3), פתרון יחיד: מהשורה השנייה [math]\displaystyle{ z=1 }[/math], מהשלישית [math]\displaystyle{ y=0 }[/math], ומהראשונה [math]\displaystyle{ x=1-y-z=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,1) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\neq1 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ k=1 }[/math]: השורה השנייה והשלישית מתאפסות כולן (כולל הקבוע), ונשארת רק המשוואה [math]\displaystyle{ x+y+z=1 }[/math] עם שני משתנים חופשיים - אינסוף פתרונות. מציבים [math]\displaystyle{ y=s,z=t }[/math] ומקבלים [math]\displaystyle{ x=1-s-t }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ (x,y,z)=(1,0,0)+s(-1,1,0)+t(-1,0,1) }[/math].

שאלה 3. מצאו את המטריצה ההופכית של [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\2&0&1\end{pmatrix} }[/math], אם קיימת.

פתרון

[math]\displaystyle{ (A|I) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\\0&1&0&0&1&0\\2&0&1&0&0&1\end{array}\right) }[/math]. מבצעים [math]\displaystyle{ R_3-2R_1\to R_3 }[/math]: השורה השלישית הופכת ל-[math]\displaystyle{ 0,0,-1\mid -2,0,1 }[/math]. מכפילים ב-[math]\displaystyle{ -1 }[/math]: [math]\displaystyle{ 0,0,1\mid 2,0,-1 }[/math]. לבסוף [math]\displaystyle{ R_1-R_3\to R_1 }[/math] נותן [math]\displaystyle{ 1,0,0\mid -1,0,1 }[/math]. קיבלנו [math]\displaystyle{ I_3 }[/math] משמאל, ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ו-[math]\displaystyle{ A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&1&0\\2&0&-1\end{pmatrix} }[/math].

שאלה 4. תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{4\times 6} }[/math] שדרגתה 3. מה מימד מרחב האפס שלה (כמות המשתנים החופשיים במערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math])?

פתרון

לפי משפט הדרגה, [math]\displaystyle{ rank(A)+\dim N(A)= }[/math] מספר העמודות [math]\displaystyle{ =6 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \dim N(A)=6-3=3 }[/math]: שלושה משתנים תלויים ושלושה חופשיים.

טעויות נפוצות

לזהות מטריצה כ"מדורגת" רק לפי המראה החיצוני, בלי לבדוק בפועל אילו איברים בהכרח שונים מאפס - זה מסוכן במיוחד כשיש פרמטר: ביטוי כמו [math]\displaystyle{ a-1 }[/math] נראה "כמו איבר פותח" אבל עלול להתאפס.
לכפול או לחלק שורה בביטוי שיכול להתאפס (למשל לחלק ב-[math]\displaystyle{ a-1 }[/math] בלי לבדוק קודם את המקרה [math]\displaystyle{ a=1 }[/math]) - זו אינה פעולת דירוג חוקית.
לבלבל בין מדורגת למדורגת קנונית: לעצור אחרי שהגיעו לצורה מדורגת בלבד ולנסות לקרוא ממנה את הפתרון הכללי ישירות, בלי להפוך את האיברים הפותחים ל-1 ולאפס גם מעליהם.
לשכוח לבדוק שורת סתירה לפני שקובעים כמה פתרונות יש למערכת - גם אם יש משתנים חופשיים, אם יש שורת סתירה אין פתרון בכלל.
באלגוריתם למציאת הופכית, להמשיך לדרג גם אחרי שכבר התקבלה שורת אפסים בצד של [math]\displaystyle{ A }[/math] - ברגע שזה קורה [math]\displaystyle{ A }[/math] בוודאות אינה הפיכה ואין טעם להמשיך.

שאלות ממבחנים

מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 1א — מבחן · פתרון (קביעה לכל ערך פרמטר a האם למערכת A(a)x=(1,0,1) פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון)
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 1א — מבחן · פתרון (קביעת דרגת המטריצה A(a) התלויה בפרמטר a∈C)
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם A אינה הפיכה, ובסיס ומימד ל-C(A), N(A) ולחיתוך שלהם עבור a=-1)
בוחן לינארית תיכוניסטים 2024, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מטריצה עם פרמטר a המייצגת מערכת לא הומוגנית: סיווג מספר הפתרונות (יחיד/אינסוף/אין) ומציאת קבוצת הפתרונות מעל R, וחזרה על הסיווג מעל C)
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 1 — מבחן · פתרון (קביעת מספר הפתרונות של Ax=0 ושל Ax=b לכל ערך פרמטר a, ובדיקה האם קיים a שעבורו לכל w יש פתרון)
מבחן מועד א' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 3 — מבחן · פתרון (מציאת המטריצה ההופכית B^{-1} ובדיקת מספר הפתרונות של מערכות Ax=b ו-AB^t x=b התלויות בפרמטר a)
מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תש"פ, שאלה 2 — מבחן · פתרון (קביעת קיום/יחידות/אינסוף פתרונות למערכות עם מטריצת מקדמים תלוית-פרמטר בעזרת דטרמיננטה)
בוחן קיץ תש"פ, שאלה 1 — מבחן · פתרון (מציאת ערכי פרמטר a עבורם וקטור b שייך/לא שייך ל-Span{v1,v2,v3} (ול-Span{v1,v2}), מקרה התלות הלינארית של v1,v2,v3, ומציאת מקדמי צירוף לינארי המבטא את b)
בוחן קיץ תשע"ט, שאלה 2.2 — מבחן · פתרון (קביעה לאילו ערכי פרמטר k יש למערכת (2x2 ו-2x4) פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות (שאלת בחירה מס' 2 בחלק 2))
מבחן דמה תשע"ח, שאלה 3 — מבחן · פתרון (מטריצה ממשית עם שני פרמטרים a,t – הפיכות, שייכות וקטור למרחב העמודות וחיתוך C(A)∩R(A)≠0)
בוחן קיץ תשע"ח, שאלה 2 — מבחן · פתרון (עבור מערכת 3 משוואות ב-4 נעלמים עם פרמטר k: סיווג לפי k (אפס/אינסוף/יחיד פתרונות) ומציאת הפתרון הכללי עבור k=1)
בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 1א — מבחן · פתרון (דירוג מערכת משוואות עם פרמטר k וקביעה מתי יש פתרון יחיד/אינסוף/אין פתרון)
בוחן קיץ תשע"ו, שאלה 1ב — מבחן · פתרון (הצגת וקטור נתון כצירוף לינארי של שלושה וקטורים, בעזרת חישובי הסעיף הקודם)
בוחן חורף תשע"ו, שאלה 1א — מבחן · פתרון (דירוג מערכת משוואות עם פרמטר a וקביעה מתי פתרון יחיד/אין פתרון/אינסוף פתרונות (כולל כתיבת הפתרון הכללי))
מבחן מועד א' קיץ תשע"ה, שאלה 6א — מבחן · פתרון (מערכת משוואות תלוית פרמטר a: קביעה מתי יש פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון)
מבחן מועד ב' קיץ תשע"ה, שאלה 6א — מבחן · פתרון (מערכת משוואות תלוית פרמטר a: קביעה מתי יש פתרון יחיד, אינסוף פתרונות או אין פתרון)