אלגברה לינארית - ארז שיינר: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
(8 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
=חומר עזר=
=חומר עזר=
*[[מדיה:16Linear1Orit.pdf|סיכומי ההרצאות של  ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]
*[[מדיה:16Linear1Orit.pdf|סיכומי ההרצאות של  ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]
*[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|מבחנים ובחנים באלגברה לינארית 1]]
*[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|מבחנים ובחנים עם פתרונות מלאים באלגברה לינארית 1]]


=סרטוני ותקציר הרצאות=
=סרטוני ותקציר הרצאות=
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-s2FLlORO26_lglSVhtF-Fy פלייליסט של כל הסרטונים]
==פרק 1 - שדות==
==פרק 1 - שדות==
===הגדרה ותכונות של שדה===
===הגדרה ותכונות של שדה===
שורה 36: שורה 39:
====הגדרת המספרים המרוכבים====
====הגדרת המספרים המרוכבים====
*<math>\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math>
*<math>\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math>
*<math>(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)</math>
*<math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math>
*<math>(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)</math>
*<math>(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)</math>


שורה 49: שורה 52:


*הגדרות עבור <math>z=a+b\cdot i</math>
*הגדרות עבור <math>z=a+b\cdot i</math>
**<math>\overline{Z}=a-b\cdot i</math>
**<math>\overline{z}=a-b\cdot i</math>
**<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math>
**<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math>
**<math>Re(z)=a</math>
**<math>Re(z)=a</math>
שורה 247: שורה 250:
*<math>\alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B)</math>
*<math>\alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B)</math>
*<math>(\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A</math> וכן <math>\alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B</math>
*<math>(\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A</math> וכן <math>\alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B</math>
*<math>(\alpha \beta)A=\alpha(\beta A)</math>




שורה 385: שורה 389:
*מרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
*מרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
#סגירות: <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V</math>
#סגירות: <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V</math>
#חילופיות: <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w=w+u</math>
#חילופיות: <math>\forall u,w\in V:u+w=w+u</math>
#אסוציאטיביות (קיבוץ): <math>\forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v</math>
#אסוציאטיביות (קיבוץ): <math>\forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v</math>
#נייטרלי לחיבור: <math>\exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v</math>
#נייטרלי לחיבור: <math>\exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v</math>
שורה 402: שורה 406:


<videoflash>OLYp1kVAPrA</videoflash>
<videoflash>OLYp1kVAPrA</videoflash>


===תתי מרחבים===
===תתי מרחבים===
שורה 928: שורה 931:


===נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה===
===נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה===
*<math>A_{ij}</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה.
*הדטרמיננטה <math>|A_{ij}|</math> נקראית '''מינור'''.


*לכל i מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math>
*לכל i מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math>
שורה 936: שורה 943:


===מטריצה נלווית===
===מטריצה נלווית===
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את המטריצה הנלווית <math>adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ע"י:
**<math>[adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}|</math>
*מתקיים כי <math>A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A = |A|\cdot I</math>
*אם A הפיכה מתקיים כי <math>A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)</math>
*מתקיים כי <math>|adj(A)|=|A|^{n-1}</math>




<videoflash>yAnz13JHpK8</videoflash>
<videoflash>yAnz13JHpK8</videoflash>


===כלל קרמר===
===כלל קרמר===
*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> '''הפיכה''' ויהי <math>b\in\mathbb{F}^n</math> וקטור קבועים.
*אזי הפתרון היחיד <math>\vec{x}=(x_1,...,x_n)</math> למערכת המשוואות <math>A\vec{x}=b</math> מקיים כי:
*לכל i ערך המשתנה נתון ע"י <math>x_i =\frac{|A_i|}{|A|}</math>
*כאשר <math>A_i</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי החלפת העמודה ה<math>i</math> בוקטור הקבועים <math>b</math>




<videoflash>1Avy8_3DzdU</videoflash>
*במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה.
*במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר.




<videoflash>1Avy8_3DzdU</videoflash>


===תרגול===
===תרגול===

גרסה מ־07:30, 18 ביולי 2023

חומר עזר

סרטוני ותקציר הרצאות

פלייליסט של כל הסרטונים


פרק 1 - שדות

הגדרה ותכונות של שדה

  • שדה הוא קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] יחד עם שתי פעולות [math]\displaystyle{ +,\cdot }[/math] כך שמתקיימות התכונות הבאות:
  1. סגירות: לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+b,a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]
  2. קומוטטיביות (חילופיות): לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+b=b+a }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a\cdot b=b\cdot a }[/math]
  3. אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+(b+c)=(a+b)+c }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c }[/math]
  4. נייטרליים: קיימים [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a }[/math]
  5. נגדיים: לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] קיים נגדי [math]\displaystyle{ -a\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a+(-a)=0_{\mathbb{F}} }[/math]
  6. הופכיים: לכל [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F} }[/math] קיים הופכי [math]\displaystyle{ a^{-1}\in \mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}} }[/math]
  7. דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c }[/math]



  • יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot b=0_{\mathbb{F}} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a=0_{\mathbb{F}} }[/math] או [math]\displaystyle{ b=0_{\mathbb{F}} }[/math]



  • תכונות נוספות של שדות
    • [math]\displaystyle{ (-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a }[/math]
    • אם [math]\displaystyle{ a+b=a+c }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=c }[/math]
    • אם [math]\displaystyle{ a\neq 0_{\mathbb{F}} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a\cdot b = a\cdot c }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=c }[/math]

שדות סופיים

שדה המרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים

  • [math]\displaystyle{ \mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc) }[/math]


  • נסמן
    • [math]\displaystyle{ a=(a,0) }[/math]
    • [math]\displaystyle{ i=(0,1) }[/math]
  • נובע כי [math]\displaystyle{ a+b\cdot i =(a,b) }[/math]


  • הגדרות עבור [math]\displaystyle{ z=a+b\cdot i }[/math]
    • [math]\displaystyle{ \overline{z}=a-b\cdot i }[/math]
    • [math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]
    • [math]\displaystyle{ Re(z)=a }[/math]
    • [math]\displaystyle{ Im(z)=b }[/math]


  • תכונות
    • [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math] אם [math]\displaystyle{ z\neq 0 }[/math]
    • [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=2\cdot Re(z) }[/math]
    • [math]\displaystyle{ z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z) }[/math]
    • [math]\displaystyle{ \overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w} }[/math]
    • [math]\displaystyle{ \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w} }[/math]


צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)

  • [math]\displaystyle{ a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]
  • עבור הזוית נחלק למקרים:
    • אם [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right) }[/math]
    • אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=\frac{\pi}{2} }[/math]
    • אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=-\frac{\pi}{2} }[/math]
    • אם [math]\displaystyle{ a\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi }[/math]



  • [math]\displaystyle{ r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2) }[/math]



  • [math]\displaystyle{ (r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta) }[/math]


  • עבור [math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math] טבעי, ומספר מרוכב [math]\displaystyle{ a+b\cdot i\neq 0 }[/math] קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה [math]\displaystyle{ z^n=a+b\cdot i }[/math]
  • הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
    • נעביר את המספר לצורתו הקוטבית [math]\displaystyle{ a+b\cdot i = r cis(\theta) }[/math]
    • הפתרונות הם [math]\displaystyle{ z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k=0,1,...,n-1 }[/math]


תרגול

פרק 2- מערכות משוואות לינאריות

מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות

  • [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\} }[/math] קבוצת הn-יות הסדורות.
  • [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{n\times m} }[/math] קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]


הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות

  • מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ומטריצת (וקטור) קבועים [math]\displaystyle{ \vec{b}\in\mathbb{F}^{n\times 1} }[/math].
  • קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
  • [math]\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots \\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m \end{cases} }[/math]


פעולות דירוג אלמנטריות

  • שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
    • [math]\displaystyle{ \alpha R_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\neq \alpha\in\mathbb{F} }[/math] (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
    • [math]\displaystyle{ R_i+\alpha R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
    • [math]\displaystyle{ R_i \leftrightarrow R_j }[/math] (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)


ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה


צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית

  • איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.
  • מטריצה נקראת מדורגת אם:
    • אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
    • כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.
  • מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
    • היא מדורגת.
    • כל האיברים הפותחים שווים ל1.
    • בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.


משתנים חופשיים ותלויים

  • משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
  • כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.
  • מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
    • מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
    • אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
    • אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
    • אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.


  • מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
    • מדרגים קנונית את המטריצה שמייצת את המערכת.
    • מוודאים שאין שורת סתירה.
    • בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
    • מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.


דירוג מטריצה עם פרמטר


הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית

תרגול

פרק 3 - אלגברת מטריצות

חיבור מטריצות וכפל בסקלר

  • תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]
    • נגדיר את [math]\displaystyle{ A+B\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij} }[/math]
    • נגדיר את [math]\displaystyle{ \alpha A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [\alpha A]_{ij} = \alpha [A]_{ij} }[/math]


כפל מטריצות

  • [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \prod_{k=1}^n a_k = a_1\cdot a_2\cdots a_n }[/math]


  • תהיינה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m},B\in\mathbb{F}^{m\times k} }[/math]
    • נגדיר את המכפלה [math]\displaystyle{ AB\in\mathbb{F}^{n\times k} }[/math] על ידי
    • [math]\displaystyle{ [AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pj} }[/math]



  • הוקטור [math]\displaystyle{ \vec{x} }[/math] הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים [math]\displaystyle{ A }[/math] ווקטור הקבועים [math]\displaystyle{ \vec{b} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ A\cdot \vec{x}=\vec{b} }[/math]



שיטות לחישוב כפל מטריצות


  • חישוב הכפל לפי עמודות
    • [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} | & & |\\ v_1 & \cdots & v_n \\ | & & |\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n }[/math]
    • [math]\displaystyle{ C_i(AB)=AC_i(B) }[/math]
  • חישוב הכפל לפי שורות
    • [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - & v_1 & - \\ & \vdots & \\ - & v_n & - \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n }[/math]
    • [math]\displaystyle{ R_i(AB)=R_i(A)B }[/math]


תכונות של אלגברת מטריצות

  • [math]\displaystyle{ A(B+C)=AB+AC }[/math] וכן [math]\displaystyle{ (A+B)C=AC+BC }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (\alpha \beta)A=\alpha(\beta A) }[/math]



  • מטריצת היחידה [math]\displaystyle{ I_n\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ [I_n]_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases} }[/math]
  • לכל [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ I_n\cdot A=A\cdot I_m =A }[/math]



  • לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
    • [math]\displaystyle{ (AB)C=A(BC) }[/math]


פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית

  • פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית

שחלוף

  • עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] נגדיר את המטריצה המשוחלפת [math]\displaystyle{ A^t\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [A^t]_{ij}=[A]_{ji} }[/math]


  • [math]\displaystyle{ R_i(A^t)=C_i^t(A) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ C_i(A^t)=R_i^t(A) }[/math]


  • [math]\displaystyle{ (A^t)^t=A }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (A+B)^t = A^t+B^t }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (\alpha A)^t = \alpha A^t }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (AB)^t=B^tA^t }[/math]


עקבה

  • העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
    • עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii} }[/math]


  • תכונות העקבה:
    • [math]\displaystyle{ tr(A+B)=tr(A)+tr(B) }[/math]
    • [math]\displaystyle{ tr(\alpha A)=\alpha tr(A) }[/math]
    • [math]\displaystyle{ tr(AB)=tr(BA) }[/math]


  • דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ AB-BA=I }[/math]
    • [math]\displaystyle{ tr(AB-BA)=0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ tr(I)=n\neq 0 }[/math]


תרגול

מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות

  • מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות [math]\displaystyle{ B,C\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ AB=I_n }[/math] וכן [math]\displaystyle{ CA=I_m }[/math]
  • אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] ונקרא לה ההופכית של [math]\displaystyle{ A }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ AA^{-1}=I }[/math]. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת [math]\displaystyle{ A^{-1}A=I }[/math].


  • תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, אזי למערכת המשוואות [math]\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b} }[/math] יש פתרון יחיד, והוא [math]\displaystyle{ \vec{x}=A^{-1}\vec{b} }[/math]



  • תהיינה [math]\displaystyle{ A,B }[/math] הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל [math]\displaystyle{ AB }[/math] מוגדר, אזי [math]\displaystyle{ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} }[/math]
  • תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t }[/math]
  • תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ (A^{-1})^{-1}=A }[/math]
  • תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\neq 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ (\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1} }[/math]



מטריצות פעולה

  • תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
  • לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] נגדיר את מטריצת הפעולה [math]\displaystyle{ f(I_n) }[/math].
  • לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f(I_m)\cdot A = f(A) }[/math]
  • מטריצת הפעולה היא הפיכה.


  • לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P\in\mathbb{F}^{m\times m} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ P\cdot A=CF(A) }[/math]


בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית

  • מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם [math]\displaystyle{ B\neq 0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ AB=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ BA=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה
  • אם ב[math]\displaystyle{ A }[/math] השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל [math]\displaystyle{ B }[/math] כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב[math]\displaystyle{ AB }[/math] היא שורת אפסים.
    • ב[math]\displaystyle{ BA }[/math] לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
  • מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
  • מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.



  • מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ CF(A)=I }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] ריבועיות כך ש[math]\displaystyle{ AB=I }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A^{-1}=B }[/math]
  • תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ריבועיות אזי [math]\displaystyle{ AB }[/math] הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] הפיכות שתיהן
  • דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
    • [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} }[/math]



אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית
  • תהי מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]
  • נדרג את מטריצת הבלוקים [math]\displaystyle{ (A|I) }[/math] קנונית.
  • אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של [math]\displaystyle{ A }[/math] יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
  • אחרת, הצורה הקנונית של [math]\displaystyle{ A }[/math] היא [math]\displaystyle{ I }[/math] ולכן היא הפיכה.
  • הגענו למטריצת הבלוקים [math]\displaystyle{ (I|A^{-1}) }[/math].


תרגול

תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים

  • מרחב וקטורי [math]\displaystyle{ V }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
  1. סגירות: [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V }[/math]
  2. חילופיות: [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V:u+w=w+u }[/math]
  3. אסוציאטיביות (קיבוץ): [math]\displaystyle{ \forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v }[/math]
  4. נייטרלי לחיבור: [math]\displaystyle{ \exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v }[/math]
  5. נגדיים: [math]\displaystyle{ \forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V }[/math]
  6. נייטרלי לכפל בסקלר: [math]\displaystyle{ \forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v }[/math]
  7. דיסטריביוטיביות (פילוג): [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w }[/math]



  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F},u\in V }[/math] אזי:
    • [math]\displaystyle{ \alpha u = 0_V }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \alpha=0_\mathbb{F} }[/math] או [math]\displaystyle{ u=0_V }[/math]
  • כמו כן, [math]\displaystyle{ (-1_\mathbb{F})u=-u }[/math]


תתי מרחבים

  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת קבוצה של וקטורים.
  • אזי [math]\displaystyle{ U }[/math] נקרא תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math] אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של [math]\displaystyle{ V }[/math].


  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת קבוצה של וקטורים.
  • אזי [math]\displaystyle{ U }[/math] תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
    • [math]\displaystyle{ 0_V\in U }[/math]
    • לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in U }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ v_1+\alpha v_2\in U }[/math]



  • תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ N(A)\subseteq\mathbb{F}^n }[/math] הינה תת מרחב וקטורי.
    • קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.


  • אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.


  • אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.



חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים

  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math], תתי מרחב.
    • [math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] הינו תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math].
    • [math]\displaystyle{ U\cup W }[/math] תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ U\subseteq W }[/math] או [math]\displaystyle{ W\subseteq U }[/math].



  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math], תתי מרחב.
  • נגדיר את סכום תתי המרחבים:
    • [math]\displaystyle{ U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\} }[/math]


  • [math]\displaystyle{ U+W }[/math] הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את [math]\displaystyle{ U,W }[/math]. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
    • לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ U,W\subseteq T }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ U,W\subseteq U+W\subseteq T }[/math]


  • [math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב[math]\displaystyle{ U,W }[/math]. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
    • לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ T\subseteq U,W }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ T\subseteq U\cap W\subseteq U,W }[/math]



  • דוגמא:
  • [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^3 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ U+W=V }[/math]
  • ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
    • [math]\displaystyle{ (4,4,4)=(0,2,2)+(4,2,2)=(1,2,3)+(3,2,1) }[/math]


  • סכום ישר:
  • יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש [math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
    • [math]\displaystyle{ V=U+W }[/math]
    • [math]\displaystyle{ U\cap W =\{0_V\} }[/math]


  • משפט:
  • [math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] אם ורק אם לכל וקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] קיימת הצגה יחידה [math]\displaystyle{ v=u+w }[/math] כסכום של רכיבים מU ומW.


  • כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.


תרגול

פרישה ותלות לינארית

  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math].
    • וקטור [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] נקרא צירוף לינארי של הקבוצה [math]\displaystyle{ S }[/math] אם [math]\displaystyle{ x=0_V }[/math] או קיימים וקטורים בקבוצה [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in S }[/math] וסקלרים מהשדה [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]
  • כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
  • אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא [math]\displaystyle{ span(S) }[/math].


  • טענה: יהי V מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] אזי [math]\displaystyle{ span(S) }[/math] הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את [math]\displaystyle{ S }[/math]. כלומר:
    • [math]\displaystyle{ span(S) }[/math] תת מרחב וקטורי
    • לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ T }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ S\subseteq T }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ S\subseteq span(S)\subseteq T }[/math]



  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי n-ית וקטורים [math]\displaystyle{ (v_1,...,v_n)\in V^n }[/math]. אומרים שהוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] (לאו דווקא שונים) תלויים לינארית או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] לא כולם אפס כך שהצירוף הלינארי מתאפס [math]\displaystyle{ a_1v_1 +...+a_nv_n=0_V }[/math].
  • אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם בלתי תלויים לינארית או בת"ל בקיצור.
  • קבוצה [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] נקראת תלוייה לינארית אם קיימים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in S }[/math] וקטורים שונים שתלויים לינארית.



  • יהיו [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in\mathbb{F}^n }[/math].
  • הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה [math]\displaystyle{ x_1v_1+...+x_kv_k=0_V }[/math] הוא שכל הסקלרים הם אפסים.
    • בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות [math]\displaystyle{ x_1v_1+...+x_kv_k=\begin{pmatrix}| & & | \\ v_1 & \cdots & v_k\\| & & |\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_k\end{pmatrix} }[/math]
  • לכן אם נשים את הוקטורים בעמודות מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש פתרון יחיד כלומר [math]\displaystyle{ N(A)=\{0_v\} }[/math]


  • באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם [math]\displaystyle{ v\in span\{v_1,...,v_k\} }[/math]:
    • נשים את הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k }[/math] בעמודות מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים.
    • הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון.


בסיס ומימד

  • לֶמת ההחלפה של שטייניץ
  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהיינה [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] בת"ל וכן [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]).
  • אזי לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] קיים [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b\notin A\setminus \{a\} }[/math] וגם הקבוצה [math]\displaystyle{ (A\setminus \{a\})\cup \{b\} }[/math] בת"ל.



  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] קבוצה פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]) כך ש [math]\displaystyle{ |B|=n }[/math] (כלומר יש בה n וקטורים).
  • תהי בנוסף [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] קבוצה בת"ל, אזי [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math] (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת).



  • הגדרת בסיס:
  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] קבוצת וקטורים.
  • אם [math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר [math]\displaystyle{ sp(S)=V }[/math]) אזי היא נקראת בסיס למרחב [math]\displaystyle{ V }[/math].


  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] שפורשת את כל המרחב [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]).
  • אזי קיים לו בסיס סופי.
  • כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים.
  • כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות המימד של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים [math]\displaystyle{ dim(V)=|B| }[/math].


  • כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד.



העשרה

  • לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
  • ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M.
  • נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B.
  • B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן)
  • B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה.


משפט השלישי חינם

  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math].
  • אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו[math]\displaystyle{ S }[/math] מהווה בסיס למרחב [math]\displaystyle{ V }[/math].
    • [math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל
    • [math]\displaystyle{ S }[/math] פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(S)=V }[/math])
    • [math]\displaystyle{ |S|=n }[/math] (כלומר כמות הוקטורים ב[math]\displaystyle{ S }[/math] שווה למימד)



  • יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת מרחב.
  • אם [math]\displaystyle{ \dim (U)=\dim (V) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ U=V }[/math]


תרגול

משפט המימדים

[math]\displaystyle{ sp(A\cup B) = sp(A)+sp(B) }[/math]



  • [math]\displaystyle{ \dim (U+W) = \dim(U)+\dim(W) - \dim(U\cap W) }[/math]



תרגול

הצגה פרמטרית ואלגברית

שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים

  • תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]
    • [math]\displaystyle{ R(A)=sp\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq \mathbb{F}^n }[/math]
    • [math]\displaystyle{ C(A)=sp\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq \mathbb{F}^m }[/math]
    • [math]\displaystyle{ N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq \mathbb{F}^n }[/math]



  • [math]\displaystyle{ R(AB)\subseteq R(B) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ C(AB)\subseteq C(A) }[/math]



  • על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות.
  • על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות.



  • ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס.
  • לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים.



תרגול

דרגה של מטריצה

  • בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות.



  • כל הגדלים הבאים שווים:
    • דרגה של מטריצה
    • מימד מרחב העמודות
    • מימד מרחב השורות
    • מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת
    • מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית


  • כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.


  • ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים).


פרק 5 - העתקות לינאריות

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

  • יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
  • פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] נקראת העתקה לינארית אם לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] היא מקיימת:
    • [math]\displaystyle{ T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2 }[/math]
    • [math]\displaystyle{ T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1 }[/math]


  • שימו לב לסימון [math]\displaystyle{ Tv_1=T(v_1) }[/math]



פעולות בין העתקות לינאריות

  • הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
  • סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
  • הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית


גרעין ותמונה

  • תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית
    • הגרעין [math]\displaystyle{ \ker T=\{v\in V|Tv=0_W\} }[/math] הוא תת מרחב של התחום [math]\displaystyle{ V }[/math]
    • התמונה [math]\displaystyle{ Im T=\{Tv|v\in V\}=\{w\in W|\exists v\in V:Tv=w\} }[/math] היא תת מרחב של הטווח [math]\displaystyle{ W }[/math]


  • ההעתקה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] חח"ע אם ורק אם [math]\displaystyle{ \dim\ker T=0 }[/math]
  • ההעתקה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] על אם ורק אם [math]\displaystyle{ \dim Im T = \dim W }[/math]



משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות

  • תהי העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס לV.
  • אזי [math]\displaystyle{ Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\} }[/math]



  • תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית אזי [math]\displaystyle{ \dim \ker T +\dim Im T = \dim V }[/math]


  • תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \dim N(A) + rank(A)=n }[/math]



  • תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.
    • אם T חח"ע אז [math]\displaystyle{ \dim V\leq \dim W }[/math]
    • אם T על אזי [math]\displaystyle{ \dim V \geq \dim W }[/math]
    • אם [math]\displaystyle{ \dim V = \dim W }[/math] אזי T חח"ע אם"ם T על.


  • העתקה לינארית נקראת גם הומומורפיזם. העתקה לינארית הפיכה נקראת איזומורפיזם.
  • מרחבים וקטוריים נקראים איזומורפייים זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות).
  • מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים.


תרגול

יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה

  • יהי V מ"ו ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
  • אזי לכל [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
    • [math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]



  • יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
  • תהיינה סדרת וקטורים [math]\displaystyle{ w_1,...,w_n\in W }[/math] לאו דווקא שונים.
  • אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת:
    • לכל i מתקיים כי [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math]


מטריצה מייצגת העתקה


קואורדינטות

  • יהי V מ"ו ויהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
  • לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] נגדיר את וקטור הקואורדינטות לפי B להיות הסקלים מההצגה היחידה:
    • [math]\displaystyle{ [v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n }[/math]


  • מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס!



  • נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to \mathbb{F}^n }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ Tv=[v]_B }[/math], אזי T היא איזומורפיזם. לכן
    • [math]\displaystyle{ [a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B }[/math]
    • הסדרה [math]\displaystyle{ u_1,...,u_k\in V }[/math] בת"ל אם ורק אם הסדרה [math]\displaystyle{ [u_1]_B,...,[u_k]_B }[/math] בת"ל
    • [math]\displaystyle{ v\in span\{u_1,...,u_k\} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ [v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\} }[/math]


משפט קיום ויחידות

  • יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
  • נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
  • נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
  • תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית.
  • אזי:
    • קיימת מטריצה יחידה [math]\displaystyle{ [T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] המקיימת:
    • לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ [T]_C^B[v]_B=[Tv]_C }[/math]


  • על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:
    • נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.
    • נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.
    • נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת.


  • [math]\displaystyle{ [T]_C^B= \begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math]


המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית

  • יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו ממימד סופי מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם בסיסים [math]\displaystyle{ B,C }[/math] בהתאמה.
  • תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית, ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]
  • אזי
    • [math]\displaystyle{ [T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C }[/math]
    • [math]\displaystyle{ [\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C }[/math]
    • [math]\displaystyle{ [S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B }[/math]
    • ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת [math]\displaystyle{ [T]^B_C }[/math] הפיכה
      • אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי [math]\displaystyle{ [T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1} }[/math]


מטריצות מעבר בין בסיסים

  • [math]\displaystyle{ [I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C }[/math]


שלוש צורות הצגת ההעתקה

  • ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
    • נוסחא מפורשת
    • לפי בסיס
    • בעזרת מטריצה מייצגת



תרגול

פרק 6 - דטרמיננטות

תמורות

  • נגדיר את אוסף התמורות [math]\displaystyle{ S_n }[/math] להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה [math]\displaystyle{ \{1,2,...,n\} }[/math] לעצמה.


  • לכל תמורה (פונקציה) [math]\displaystyle{ f\in S_n }[/math] נגדיר את סימן התמורה [math]\displaystyle{ sign(f)=\Pi_{i\lt j}\frac{f(j)-f(i)}{j-i} }[/math]
  • תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1.


  • כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי [math]\displaystyle{ sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g) }[/math]


  • עבור תמורת הזהות [math]\displaystyle{ I\in S_n }[/math] מתקיים כי[math]\displaystyle{ sign(I)=1 }[/math]



  • חילוף הוא תמורה [math]\displaystyle{ (i\ j)\in S_n }[/math] המחליפה בין האיברים [math]\displaystyle{ i,j }[/math] ושולחת את שאר האיברים לעצמם.


  • חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית).


  • מחזור הוא תמורה [math]\displaystyle{ (p_1\ p_2\ \cdots\ p_k)=(p_1\ p_2)\circ(p_2\ p_3)\circ \cdots \circ(p_{k-1}\ p_k) }[/math] וסימנו הוא [math]\displaystyle{ (-1)^{k-1} }[/math]
  • המחזור שולח כל איבר [math]\displaystyle{ p_{i-1} }[/math] ל[math]\displaystyle{ p_i }[/math], את [math]\displaystyle{ p_k }[/math] ל[math]\displaystyle{ p_1 }[/math] ואת שאר האיברים לעצמם.


  • כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה.


הגדרת הדטרמיננטה ותכונות

  • עבור מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר את הדטרמיננטה:
    • [math]\displaystyle{ det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\Pi_{i=1}^n[A]_{i,f(i)} }[/math]



  • תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ 1\leq i\neq j\leq n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ R_i(A)=R_j(A) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ det(A)=0 }[/math]
  • כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס.



  • תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ B }[/math] המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על [math]\displaystyle{ A }[/math] אזי:
    • אם פעולת הדירוג היא [math]\displaystyle{ R_i+a\cdot R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |B|=|A| }[/math]
    • אם פעולת הדירוג היא [math]\displaystyle{ a\cdot R_i }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |B|=a\cdot |A| }[/math]
    • אם פעולת הדירוג היא [math]\displaystyle{ R_i \leftrightarrow R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |B|=-|A| }[/math]


חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות

  • עבור מטריצה משולשית [math]\displaystyle{ A }[/math] מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון.


  • מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.


  • לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי [math]\displaystyle{ |AB|=|A|\cdot |B| }[/math]


דטרמיננטת המשוחלפת

  • [math]\displaystyle{ |A^t|=|A| }[/math]


  • פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות


נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה

  • [math]\displaystyle{ A_{ij} }[/math] היא המטריצה המתקבלת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה.
  • הדטרמיננטה [math]\displaystyle{ |A_{ij}| }[/math] נקראית מינור.


  • לכל i מתקיים כי [math]\displaystyle{ det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math]
  • לכל j מתקיים כי [math]\displaystyle{ det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math]


מטריצה נלווית

  • תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר את המטריצה הנלווית [math]\displaystyle{ adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ע"י:
    • [math]\displaystyle{ [adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}| }[/math]


  • מתקיים כי [math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A = |A|\cdot I }[/math]


  • אם A הפיכה מתקיים כי [math]\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A) }[/math]


  • מתקיים כי [math]\displaystyle{ |adj(A)|=|A|^{n-1} }[/math]


כלל קרמר

  • תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] הפיכה ויהי [math]\displaystyle{ b\in\mathbb{F}^n }[/math] וקטור קבועים.
  • אזי הפתרון היחיד [math]\displaystyle{ \vec{x}=(x_1,...,x_n) }[/math] למערכת המשוואות [math]\displaystyle{ A\vec{x}=b }[/math] מקיים כי:
  • לכל i ערך המשתנה נתון ע"י [math]\displaystyle{ x_i =\frac{|A_i|}{|A|} }[/math]
  • כאשר [math]\displaystyle{ A_i }[/math] היא המטריצה המתקבלת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי החלפת העמודה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] בוקטור הקבועים [math]\displaystyle{ b }[/math]


  • במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה.
  • במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר.


תרגול