88-311 אלגברה מופשטת 3/ סמסטר א תשעב/תרגילים: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
|||
| (15 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 68: | שורה 68: | ||
יהיו <math>F,F'</math> שדות, <math>\psi:F\to F'</math> איזומורפיזם של שדות ו-<math>f(x)\in F[x]</math>. יהי <math>E</math> שדה פיצול של <math>f</math> מעל <math>F</math> ויהי <math>E'</math> שדה פיצול של <math>\psi(f)</math> מעל <math>F'</math>. אזי קיים איזומורפיזם של שדות <math>\Psi:E\to E'</math> כך ש-<math>\Psi|_F=\psi</math>. | יהיו <math>F,F'</math> שדות, <math>\psi:F\to F'</math> איזומורפיזם של שדות ו-<math>f(x)\in F[x]</math>. יהי <math>E</math> שדה פיצול של <math>f</math> מעל <math>F</math> ויהי <math>E'</math> שדה פיצול של <math>\psi(f)</math> מעל <math>F'</math>. אזי קיים איזומורפיזם של שדות <math>\Psi:E\to E'</math> כך ש-<math>\Psi|_F=\psi</math>. | ||
'''פיתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex6Solution.pdf|פיתרון תרגיל 6]]. | |||
== תרגיל 7 == | == תרגיל 7 == | ||
| שורה 79: | שורה 80: | ||
'''הערה:''' בשלב זה של הקורס אין צורך להראות ש-<math>[\mathbb{Q}[\sqrt[n]{a}]:\mathbb{Q}]=n</math> עבור <math>a</math> שהוא ראשוני או מכפלה של ראשוניים ''שונים''. | '''הערה:''' בשלב זה של הקורס אין צורך להראות ש-<math>[\mathbb{Q}[\sqrt[n]{a}]:\mathbb{Q}]=n</math> עבור <math>a</math> שהוא ראשוני או מכפלה של ראשוניים ''שונים''. | ||
'''פיתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex7Solution.pdf|פיתרון תרגיל 7]] | |||
== תרגיל 8 == | == תרגיל 8 == | ||
| שורה 86: | שורה 88: | ||
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 13.1.12. '''שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 9).''' | יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 13.1.12. '''שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 9).''' | ||
'''הערה:''' אפשר להשתמש | '''הערה:''' סיכום על שדות סופיים תוכלו למצוא [[מדיה:FiniteFields.pdf|כאן]]. | ||
'''הערה:''' אפשר להשתמש בכל משפט מההרצאה בשיעורי הבית ובפרט, בטענה הבאה (שלמיטב זכרוני לא הזכרנו בשיעור): | |||
'''טענה:''' אם <math>E/F</math> הרחבת גלואה ו-<math>G=Gal(E/F)</math>, אז <math>E^G=F</math> (באשר <math>E^G</math> הם האיברים <math>a\in E</math> המקיימים <math>\sigma a=a</math> לכל <math>\sigma\in G</math>). | '''טענה:''' אם <math>E/F</math> הרחבת גלואה ו-<math>G=Gal(E/F)</math>, אז <math>E^G=F</math> (באשר <math>E^G</math> הם האיברים <math>a\in E</math> המקיימים <math>\sigma a=a</math> לכל <math>\sigma\in G</math>). | ||
'''פתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex8Solution.pdf|פתרון תרגיל 8]] | |||
== תרגיל 9 == | == תרגיל 9 == | ||
| שורה 96: | שורה 101: | ||
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 13.1.12. '''שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 8).''' | יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 13.1.12. '''שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 8).''' | ||
פתרון: [[מדיה:Galois2012Ex9Solution.pdf|פתרון תרגיל 9]]. | |||
== תרגיל 10 == | |||
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex10.pdf|תרגיל 10]] | |||
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 19.1.12. | |||
'''הערה:''' אם <math>E/F</math> גלואה ממימד סופי ו-<math>H\leq Gal(E/F)</math> אז כדי להוכיח <math>F[a]=E^H</math> מספיק לבדוק ש-<math>a\in E^H</math> (כלומר, <math>a</math> יציב תחת אברי <math>H</math>, ולמעשה מספיק לבדוק על קבוצת יוצרים בלבד) ולבדוק ש-<math>[F[a]:F]=[Gal(E/F):H]</math>. '''הסבר:''' התנאי הראשון אומר ש-<math>F[a]\subseteq E^H</math>. לפי המשפט היסודי של תורת גלואה <math>[E^H:F]=[Gal(E/F):H]</math> ולכן נובע של-<math>E^H</math> ו-<math>F[a]</math> יש אותו מימד מעל <math>F</math>. היות ואחד מוכל באחר, הם שווים. | |||
אנו נוכיח את זה בכל מקרה בתרגול הבא (ההוכחה די קצרה), אז יש לשלוח פתרונות רק עד תחילת התרגול בשבוע הבא. | |||
'''פתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex10Solution.pdf|פתרון תרגיל 10]]. | |||
== תרגיל 11 == | |||
נוסח התרגיל [[מדיה:Galois2012Ex11.pdf|תרגיל 11]] | |||
'''היו מספר טעויות קטנות בנוסח התרגיל (שאלה 1, שאלה 2 סעיף 2). הטעויות תוקנו. אנא ודאו כי בידכם הנוסח העדכני של התרגיל.''' --[[משתמש:Ufirst|אוריה]] 20:24, 23 בינואר 2012 (IST) | |||
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 26.1.12. | |||
'''הערה:''' פטור מתרגיל 11 (כלומר ציון 100 ללא צורך בהגשה) ינתן ל'''שלושה הראשונים''' שישלחו לי הוכחה '''נכונה''' של מה ששכחתי איך להוכיח בכיתה: יהיו <math>F,K,F',K'</math> שדות כך ש-<math>F\subseteq K\subseteq K'</math> ו-<math>F\subseteq F'\subseteq K'</math>. נניח כי <math>K/F</math> ו-<math>K'/F'</math> הרחבות גלואה ממימד סופי ותהי <math>\psi:Gal(K'/F')\to Gal(K/F)</math> הומומורפיזם החבורות המוגדר ע"י <math>\psi(\sigma)=\sigma|_K</math> אזי <math>\mathrm{im}(\psi)=Gal(K/F'\cap K)</math>. | |||
אנו נוכיח את זה בכל מקרה בתרגול הבא (ההוכחה לא ארוכה), אז הוכחות יש לשלוח רק עד אז. | |||
'''פתרון:''' [[מדיה:Galois2012Ex11Solution.pdf|פתרון תרגיל 11]] | |||
== תרגיל 12 ואחרון == | |||
נוסח התרגיל: [[מדיה:Galois2012Ex12.pdf|תרגיל 12]] | |||
יש להגיש את התרגיל '''בתחילת''' התרגול בתאריך 1.2.12. | |||
פתרון: [[מדיה:Galois2012Ex12Solution.pdf|פתרון תרגיל 12]] | |||
== תרגילי חזרה == | |||
[[מדיה:Galois2012RehersalEx.pdf|תרגילי חזרה למבחן]]. | |||
לא יפורסמו פתרונות לתרגילי החזרה, אבל אתם יכולים לשאול עליהם שאלות. | |||
גרסה אחרונה מ־20:45, 15 בפברואר 2012
ציונים
טבלת ציונים ניתן לראות כאן.
אם הגשתם באחור, יתכן והציון שלכם יתפרסם מאוחר יותר.
הציון באתר קובע. אם משום מה הציון שונה מהרשום לכם על התרגיל פנו למתרגל עם התרגיל.
תרגיל 1
נוסח התרגיל: תרגיל 1
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 10.11.11.
אין צורך לפתור את שתי השאלות האחרונות (4 ו-5). הן כנראה תעבורנה לתרגיל הבא.
פיתרון: פיתרון תרגיל 1
תרגיל 2
נוסח התרגיל תרגיל 2
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 17.11.11.
תיקון קל: בשאלה 3, הפולינום הוא [math]\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c }[/math] ולא [math]\displaystyle{ x^3+ax+bx+c }[/math].
פיתרון: פיתרון תרגיל 2
תרגיל 3
נוסח התרגיל: תרגיל 3
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 24.11.11.
פיתרון: פתרון תרגיל 3
תרגיל 4
נוסח התרגיל: תרגיל 4
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 1.12.11. איחורים לא יתקבלו.
הבהרה: ב"חימום" אין צורך לפתור את התרגילים המופיעים בסיכום "שדות - תכונות בסיסיות".
פיתרון: פיתרון תרגיל 4
תזכורת: בשיעור הזכרנו את הדברים הבאים. אפשר (וכנראה כדאי) להשתמש בהם:
- אם [math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq L }[/math] שדות אז [math]\displaystyle{ [L:F] }[/math] מתחלק ב-[math]\displaystyle{ [K:F] }[/math]. (הסבר: זה נובע מ-[math]\displaystyle{ [L:K]\cdot[K:F]=[L:F] }[/math])
- בהנחות הנ"ל, אם [math]\displaystyle{ a\in L }[/math] אלגברי מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] אז [math]\displaystyle{ [K[a]:K]\leq [F[a]:F] }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ f(x)\in F[x] }[/math] פולינום ו-[math]\displaystyle{ a_1,\ldots,a_n }[/math] הם השורשים של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בשדה גדול המכיל את [math]\displaystyle{ F }[/math] אז שדה הפיצול של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] (מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]) הוא [math]\displaystyle{ F[a_1,\ldots,a_n] }[/math].
- אם [math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני, אז הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ \rho_p=\exp(2\pi i/p) }[/math] (שורש יחידה פרימיטיבי מסדר [math]\displaystyle{ p }[/math]) מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots+x+1 }[/math].
תרגיל 5
נוסח התרגיל: תרגיל 5
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 8.12.11. איחורים לא יתקבלו.
פתרון: פתרון תרגיל 5
תרגיל 6
נוסח התרגיל: תרגיל 6
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 15.12.11.
תזכורת: הוכחתם (או לפחות הייתם אמורים להוכיח) את המשפט הבא בהרצאה:
יהיו [math]\displaystyle{ F,F' }[/math] שדות, [math]\displaystyle{ \psi:F\to F' }[/math] איזומורפיזם של שדות ו-[math]\displaystyle{ f(x)\in F[x] }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ E }[/math] שדה פיצול של [math]\displaystyle{ f }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ E' }[/math] שדה פיצול של [math]\displaystyle{ \psi(f) }[/math] מעל [math]\displaystyle{ F' }[/math]. אזי קיים איזומורפיזם של שדות [math]\displaystyle{ \Psi:E\to E' }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \Psi|_F=\psi }[/math].
פיתרון: פיתרון תרגיל 6.
תרגיל 7
נוסח התרגיל: תרגיל 7
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 22.12.11.
שימו לב: הניסוח של שאלה 1 השתנה במעט ב-16.12.11 (יום ו) בשעה 10. אנא ודאו כי יש לכם את הניסוח העדכני. --אוריה 10:14, 16 בדצמבר 2011 (IST)
הערה: בשלב זה של הקורס אין צורך להראות ש-[math]\displaystyle{ [\mathbb{Q}[\sqrt[n]{a}]:\mathbb{Q}]=n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ a }[/math] שהוא ראשוני או מכפלה של ראשוניים שונים.
פיתרון: פיתרון תרגיל 7
תרגיל 8
נוסח התרגיל: תרגיל 8
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 13.1.12. שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 9).
הערה: סיכום על שדות סופיים תוכלו למצוא כאן.
הערה: אפשר להשתמש בכל משפט מההרצאה בשיעורי הבית ובפרט, בטענה הבאה (שלמיטב זכרוני לא הזכרנו בשיעור):
טענה: אם [math]\displaystyle{ E/F }[/math] הרחבת גלואה ו-[math]\displaystyle{ G=Gal(E/F) }[/math], אז [math]\displaystyle{ E^G=F }[/math] (באשר [math]\displaystyle{ E^G }[/math] הם האיברים [math]\displaystyle{ a\in E }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ \sigma a=a }[/math] לכל [math]\displaystyle{ \sigma\in G }[/math]).
פתרון: פתרון תרגיל 8
תרגיל 9
נוסח התרגיל: תרגיל 9
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 13.1.12. שימו לב שיש לכם שני תרגילים לשבועיים (גם את תרגיל 8).
פתרון: פתרון תרגיל 9.
תרגיל 10
נוסח התרגיל: תרגיל 10
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 19.1.12.
הערה: אם [math]\displaystyle{ E/F }[/math] גלואה ממימד סופי ו-[math]\displaystyle{ H\leq Gal(E/F) }[/math] אז כדי להוכיח [math]\displaystyle{ F[a]=E^H }[/math] מספיק לבדוק ש-[math]\displaystyle{ a\in E^H }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ a }[/math] יציב תחת אברי [math]\displaystyle{ H }[/math], ולמעשה מספיק לבדוק על קבוצת יוצרים בלבד) ולבדוק ש-[math]\displaystyle{ [F[a]:F]=[Gal(E/F):H] }[/math]. הסבר: התנאי הראשון אומר ש-[math]\displaystyle{ F[a]\subseteq E^H }[/math]. לפי המשפט היסודי של תורת גלואה [math]\displaystyle{ [E^H:F]=[Gal(E/F):H] }[/math] ולכן נובע של-[math]\displaystyle{ E^H }[/math] ו-[math]\displaystyle{ F[a] }[/math] יש אותו מימד מעל [math]\displaystyle{ F }[/math]. היות ואחד מוכל באחר, הם שווים.
אנו נוכיח את זה בכל מקרה בתרגול הבא (ההוכחה די קצרה), אז יש לשלוח פתרונות רק עד תחילת התרגול בשבוע הבא.
פתרון: פתרון תרגיל 10.
תרגיל 11
נוסח התרגיל תרגיל 11
היו מספר טעויות קטנות בנוסח התרגיל (שאלה 1, שאלה 2 סעיף 2). הטעויות תוקנו. אנא ודאו כי בידכם הנוסח העדכני של התרגיל. --אוריה 20:24, 23 בינואר 2012 (IST)
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 26.1.12.
הערה: פטור מתרגיל 11 (כלומר ציון 100 ללא צורך בהגשה) ינתן לשלושה הראשונים שישלחו לי הוכחה נכונה של מה ששכחתי איך להוכיח בכיתה: יהיו [math]\displaystyle{ F,K,F',K' }[/math] שדות כך ש-[math]\displaystyle{ F\subseteq K\subseteq K' }[/math] ו-[math]\displaystyle{ F\subseteq F'\subseteq K' }[/math]. נניח כי [math]\displaystyle{ K/F }[/math] ו-[math]\displaystyle{ K'/F' }[/math] הרחבות גלואה ממימד סופי ותהי [math]\displaystyle{ \psi:Gal(K'/F')\to Gal(K/F) }[/math] הומומורפיזם החבורות המוגדר ע"י [math]\displaystyle{ \psi(\sigma)=\sigma|_K }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathrm{im}(\psi)=Gal(K/F'\cap K) }[/math].
אנו נוכיח את זה בכל מקרה בתרגול הבא (ההוכחה לא ארוכה), אז הוכחות יש לשלוח רק עד אז.
פתרון: פתרון תרגיל 11
תרגיל 12 ואחרון
נוסח התרגיל: תרגיל 12
יש להגיש את התרגיל בתחילת התרגול בתאריך 1.2.12.
פתרון: פתרון תרגיל 12
תרגילי חזרה
לא יפורסמו פתרונות לתרגילי החזרה, אבל אתם יכולים לשאול עליהם שאלות.