גרסה אחרונה מ־13:58, 10 באוקטובר 2024

חומר עזר

סרטוני ותקציר הרצאות

פלייליסט של כל הסרטונים

פרק 1 - שדות

הגדרה ותכונות של שדה

שדה הוא קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] יחד עם שתי פעולות [math]\displaystyle{ +,\cdot }[/math] כך שמתקיימות התכונות הבאות:

סגירות: לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+b,a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]
קומוטטיביות (חילופיות): לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+b=b+a }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a\cdot b=b\cdot a }[/math]
אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+(b+c)=(a+b)+c }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c }[/math]
נייטרליים: קיימים [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a }[/math]
נגדיים: לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] קיים נגדי [math]\displaystyle{ -a\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a+(-a)=0_{\mathbb{F}} }[/math]
הופכיים: לכל [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F} }[/math] קיים הופכי [math]\displaystyle{ a^{-1}\in \mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}} }[/math]
דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c }[/math]

יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot b=0_{\mathbb{F}} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a=0_{\mathbb{F}} }[/math] או [math]\displaystyle{ b=0_{\mathbb{F}} }[/math]

תכונות נוספות של שדות
- [math]\displaystyle{ (-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a+b=a+c }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=c }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a\neq 0_{\mathbb{F}} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a\cdot b = a\cdot c }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=c }[/math]

שדות סופיים

שדה המרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים

[math]\displaystyle{ \mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
[math]\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) }[/math]
[math]\displaystyle{ (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc) }[/math]

נסמן
- [math]\displaystyle{ a=(a,0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ i=(0,1) }[/math]
נובע כי [math]\displaystyle{ a+b\cdot i =(a,b) }[/math]

הגדרות עבור [math]\displaystyle{ z=a+b\cdot i }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z}=a-b\cdot i }[/math]
- [math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ Re(z)=a }[/math]
- [math]\displaystyle{ Im(z)=b }[/math]

תכונות
- [math]\displaystyle{ z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} }[/math] אם [math]\displaystyle{ z\neq 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ z+\overline{z}=2\cdot Re(z) }[/math]
- [math]\displaystyle{ z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w} }[/math]

צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)

[math]\displaystyle{ a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta) }[/math]
[math]\displaystyle{ cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]
עבור הזוית נחלק למקרים:
- אם [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right) }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=\frac{\pi}{2} }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=-\frac{\pi}{2} }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ a\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi }[/math]

[math]\displaystyle{ r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ (r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta) }[/math]

עבור [math]\displaystyle{ n\geq 2 }[/math] טבעי, ומספר מרוכב [math]\displaystyle{ a+b\cdot i\neq 0 }[/math] קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה [math]\displaystyle{ z^n=a+b\cdot i }[/math]
הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
- נעביר את המספר לצורתו הקוטבית [math]\displaystyle{ a+b\cdot i = r cis(\theta) }[/math]
- הפתרונות הם [math]\displaystyle{ z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k=0,1,...,n-1 }[/math]

תרגול

תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 2- מערכות משוואות לינאריות

מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות

[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\} }[/math] קבוצת הn-יות הסדורות.
[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{n\times m} }[/math] קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]

הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות

מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] ומטריצת (וקטור) קבועים [math]\displaystyle{ \vec{b}\in\mathbb{F}^{m\times 1} }[/math].
קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots \\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m \end{cases} }[/math]

פעולות דירוג אלמנטריות

שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
- [math]\displaystyle{ \alpha R_i }[/math] עבור [math]\displaystyle{ 0\neq \alpha\in\mathbb{F} }[/math] (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
- [math]\displaystyle{ R_i+\alpha R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
- [math]\displaystyle{ R_i \leftrightarrow R_j }[/math] (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)

ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה

צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית

איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.

מטריצה נקראת מדורגת אם:
- אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
- כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.

מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
- היא מדורגת.
- כל האיברים הפותחים שווים ל1.
- בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.

משתנים חופשיים ותלויים

משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.

מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
- מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
- אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
- אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
- אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.

מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
- מדרגים קנונית את המטריצה שמייצת את המערכת.
- מוודאים שאין שורת סתירה.
- בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
- מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.

דירוג מטריצה עם פרמטר

הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית

תרגול

תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 3 - אלגברת מטריצות

חיבור מטריצות וכפל בסקלר

תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]
- נגדיר את [math]\displaystyle{ A+B\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij} }[/math]
- נגדיר את [math]\displaystyle{ \alpha A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [\alpha A]_{ij} = \alpha [A]_{ij} }[/math]

כפל מטריצות

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n }[/math]
[math]\displaystyle{ \prod_{k=1}^n a_k = a_1\cdot a_2\cdots a_n }[/math]

תהיינה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m},B\in\mathbb{F}^{m\times k} }[/math]
- נגדיר את המכפלה [math]\displaystyle{ AB\in\mathbb{F}^{n\times k} }[/math] על ידי
- [math]\displaystyle{ [AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pj} }[/math]

הוקטור [math]\displaystyle{ \vec{x} }[/math] הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים [math]\displaystyle{ A }[/math] ווקטור הקבועים [math]\displaystyle{ \vec{b} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ A\cdot \vec{x}=\vec{b} }[/math]

שיטות לחישוב כפל מטריצות

חישוב הכפל לפי עמודות
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} | & & |\\ v_1 & \cdots & v_n \\ | & & |\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n }[/math]
- [math]\displaystyle{ C_i(AB)=AC_i(B) }[/math]
חישוב הכפל לפי שורות
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - & v_1 & - \\ & \vdots & \\ - & v_n & - \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n }[/math]
- [math]\displaystyle{ R_i(AB)=R_i(A)B }[/math]

תכונות של אלגברת מטריצות

[math]\displaystyle{ A(B+C)=AB+AC }[/math] וכן [math]\displaystyle{ (A+B)C=AC+BC }[/math]
[math]\displaystyle{ \alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B) }[/math]
[math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B }[/math]
[math]\displaystyle{ (\alpha \beta)A=\alpha(\beta A) }[/math]

מטריצת היחידה [math]\displaystyle{ I_n\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ [I_n]_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases} }[/math]
לכל [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ I_n\cdot A=A\cdot I_m =A }[/math]

לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
- [math]\displaystyle{ (AB)C=A(BC) }[/math]

פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית

פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית

שחלוף

עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] נגדיר את המטריצה המשוחלפת [math]\displaystyle{ A^t\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] על ידי [math]\displaystyle{ [A^t]_{ij}=[A]_{ji} }[/math]

[math]\displaystyle{ R_i(A^t)=C_i^t(A) }[/math]
[math]\displaystyle{ C_i(A^t)=R_i^t(A) }[/math]

[math]\displaystyle{ (A^t)^t=A }[/math]
[math]\displaystyle{ (A+B)^t = A^t+B^t }[/math]
[math]\displaystyle{ (\alpha A)^t = \alpha A^t }[/math]
[math]\displaystyle{ (AB)^t=B^tA^t }[/math]

עקבה

העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
- עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii} }[/math]

תכונות העקבה:
- [math]\displaystyle{ tr(A+B)=tr(A)+tr(B) }[/math]
- [math]\displaystyle{ tr(\alpha A)=\alpha tr(A) }[/math]
- [math]\displaystyle{ tr(AB)=tr(BA) }[/math]

דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{R}^{n\times n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ AB-BA=I }[/math]
- [math]\displaystyle{ tr(AB-BA)=0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ tr(I)=n\neq 0 }[/math]

תרגול

תרגול בנושא אלגברת מטריצות

מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות

מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times m} }[/math] נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות [math]\displaystyle{ B,C\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ AB=I_n }[/math] וכן [math]\displaystyle{ CA=I_m }[/math]
אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] ונקרא לה ההופכית של [math]\displaystyle{ A }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ AA^{-1}=I }[/math]. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת [math]\displaystyle{ A^{-1}A=I }[/math].

תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, אזי למערכת המשוואות [math]\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{b} }[/math] יש פתרון יחיד, והוא [math]\displaystyle{ \vec{x}=A^{-1}\vec{b} }[/math]

תהיינה [math]\displaystyle{ A,B }[/math] הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל [math]\displaystyle{ AB }[/math] מוגדר, אזי [math]\displaystyle{ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אזי [math]\displaystyle{ (A^{-1})^{-1}=A }[/math]
תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\neq 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ (\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1} }[/math]

מטריצות פעולה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] נגדיר את מטריצת הפעולה [math]\displaystyle{ f(I_n) }[/math].
לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ f(I_m)\cdot A = f(A) }[/math]
מטריצת הפעולה היא הפיכה.

לכל מטריצה [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] קיימת מטריצה הפיכה [math]\displaystyle{ P\in\mathbb{F}^{m\times m} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ P\cdot A=CF(A) }[/math]

בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית

מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם [math]\displaystyle{ B\neq 0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ AB=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ BA=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A }[/math] אינה הפיכה
אם ב[math]\displaystyle{ A }[/math] השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל [math]\displaystyle{ B }[/math] כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב[math]\displaystyle{ AB }[/math] היא שורת אפסים.
- ב[math]\displaystyle{ BA }[/math] לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.

מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ CF(A)=I }[/math]
אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] ריבועיות כך ש[math]\displaystyle{ AB=I }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A^{-1}=B }[/math]
תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ריבועיות אזי [math]\displaystyle{ AB }[/math] הפיכה אם ורק אם [math]\displaystyle{ A,B }[/math] הפיכות שתיהן

דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} }[/math]

אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית

תהי מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math]
נדרג את מטריצת הבלוקים [math]\displaystyle{ (A|I) }[/math] קנונית.
אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של [math]\displaystyle{ A }[/math] יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
אחרת, הצורה הקנונית של [math]\displaystyle{ A }[/math] היא [math]\displaystyle{ I }[/math] ולכן היא הפיכה.
הגענו למטריצת הבלוקים [math]\displaystyle{ (I|A^{-1}) }[/math].

תרגול

תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים

מרחב וקטורי [math]\displaystyle{ V }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:

סגירות: [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V }[/math]
חילופיות: [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V:u+w=w+u }[/math]
אסוציאטיביות (קיבוץ): [math]\displaystyle{ \forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v }[/math]
נייטרלי לחיבור: [math]\displaystyle{ \exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v }[/math]
נגדיים: [math]\displaystyle{ \forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V }[/math]
נייטרלי לכפל בסקלר: [math]\displaystyle{ \forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v }[/math]
דיסטריביוטיביות (פילוג): [math]\displaystyle{ \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w }[/math]

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F},u\in V }[/math] אזי:
- [math]\displaystyle{ \alpha u = 0_V }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ \alpha=0_\mathbb{F} }[/math] או [math]\displaystyle{ u=0_V }[/math]
כמו כן, [math]\displaystyle{ (-1_\mathbb{F})u=-u }[/math]

תתי מרחבים

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת קבוצה של וקטורים.
אזי [math]\displaystyle{ U }[/math] נקרא תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math] אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של [math]\displaystyle{ V }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת קבוצה של וקטורים.
אזי [math]\displaystyle{ U }[/math] תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- [math]\displaystyle{ 0_V\in U }[/math]
- לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in U }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ v_1+\alpha v_2\in U }[/math]

תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ N(A)\subseteq\mathbb{F}^n }[/math] הינה תת מרחב וקטורי.
- קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.

אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.

אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.

חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math], תתי מרחב.
- [math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] הינו תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math].
- [math]\displaystyle{ U\cup W }[/math] תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ U\subseteq W }[/math] או [math]\displaystyle{ W\subseteq U }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math], תתי מרחב.
נגדיר את סכום תתי המרחבים:
- [math]\displaystyle{ U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\} }[/math]

[math]\displaystyle{ U+W }[/math] הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את [math]\displaystyle{ U,W }[/math]. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
- לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ U,W\subseteq T }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ U,W\subseteq U+W\subseteq T }[/math]

[math]\displaystyle{ U\cap W }[/math] הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב[math]\displaystyle{ U,W }[/math]. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
- לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ T\subseteq U,W }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ T\subseteq U\cap W\subseteq U,W }[/math]

דוגמא:
[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^3 }[/math]
[math]\displaystyle{ U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
[math]\displaystyle{ W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
[math]\displaystyle{ U+W=V }[/math]
ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
- [math]\displaystyle{ (4,4,4)=(0,2,2)+(4,2,2)=(1,2,3)+(3,2,1) }[/math]

סכום ישר:
יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש [math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- [math]\displaystyle{ V=U+W }[/math]
- [math]\displaystyle{ U\cap W =\{0_V\} }[/math]

משפט:
[math]\displaystyle{ V=U\oplus W }[/math] אם ורק אם לכל וקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] קיימת הצגה יחידה [math]\displaystyle{ v=u+w }[/math] כסכום של רכיבים מU ומW.

כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.

תרגול

תרגול על מרחבים ותתי מרחבים

פרישה ותלות לינארית

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math].
- וקטור [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] נקרא צירוף לינארי של הקבוצה [math]\displaystyle{ S }[/math] אם [math]\displaystyle{ x=0_V }[/math] או קיימים וקטורים בקבוצה [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in S }[/math] וסקלרים מהשדה [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]
כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא [math]\displaystyle{ span(S) }[/math].

טענה: יהי V מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] אזי [math]\displaystyle{ span(S) }[/math] הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את [math]\displaystyle{ S }[/math]. כלומר:
- [math]\displaystyle{ span(S) }[/math] תת מרחב וקטורי
- לכל תת מרחב [math]\displaystyle{ T }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ S\subseteq T }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ S\subseteq span(S)\subseteq T }[/math]

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ותהי n-ית וקטורים [math]\displaystyle{ (v_1,...,v_n)\in V^n }[/math]. אומרים שהוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n }[/math] (לאו דווקא שונים) תלויים לינארית או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{F} }[/math] לא כולם אפס כך שהצירוף הלינארי מתאפס [math]\displaystyle{ a_1v_1 +...+a_nv_n=0_V }[/math].
אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם בלתי תלויים לינארית או בת"ל בקיצור.
קבוצה [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] נקראת תלוייה לינארית אם קיימים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_n\in S }[/math] וקטורים שונים שתלויים לינארית.

יהיו [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k\in\mathbb{F}^n }[/math].
הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה [math]\displaystyle{ x_1v_1+...+x_kv_k=0_V }[/math] הוא שכל הסקלרים הם אפסים.
- בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות [math]\displaystyle{ x_1v_1+...+x_kv_k=\begin{pmatrix}| & & | \\ v_1 & \cdots & v_k\\| & & |\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_k\end{pmatrix} }[/math]
לכן אם נשים את הוקטורים בעמודות מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש פתרון יחיד כלומר [math]\displaystyle{ N(A)=\{0_v\} }[/math]

באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם [math]\displaystyle{ v\in span\{v_1,...,v_k\} }[/math]:
- נשים את הוקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...,v_k }[/math] בעמודות מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים.
- הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון.

בסיס ומימד

לֶמת ההחלפה של שטייניץ
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהיינה [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] בת"ל וכן [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]).
אזי לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] קיים [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ b\notin A\setminus \{a\} }[/math] וגם הקבוצה [math]\displaystyle{ (A\setminus \{a\})\cup \{b\} }[/math] בת"ל.

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] קבוצה פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]) כך ש [math]\displaystyle{ |B|=n }[/math] (כלומר יש בה n וקטורים).
תהי בנוסף [math]\displaystyle{ A\subseteq V }[/math] קבוצה בת"ל, אזי [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math] (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת).

הגדרת בסיס:
יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] קבוצת וקטורים.
אם [math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר [math]\displaystyle{ sp(S)=V }[/math]) אזי היא נקראת בסיס למרחב [math]\displaystyle{ V }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית [math]\displaystyle{ B\subseteq V }[/math] שפורשת את כל המרחב [math]\displaystyle{ sp(B)=V }[/math]).
אזי קיים לו בסיס סופי.
כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים.
כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות המימד של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים [math]\displaystyle{ dim(V)=|B| }[/math].

כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד.

העשרה

לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M.
נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B.
B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן)
B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה.

משפט השלישי חינם

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math].
אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו[math]\displaystyle{ S }[/math] מהווה בסיס למרחב [math]\displaystyle{ V }[/math].
- [math]\displaystyle{ S }[/math] בת"ל
- [math]\displaystyle{ S }[/math] פורשת (כלומר [math]\displaystyle{ sp(S)=V }[/math])
- [math]\displaystyle{ |S|=n }[/math] (כלומר כמות הוקטורים ב[math]\displaystyle{ S }[/math] שווה למימד)

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מ"ו נוצר סופית, ויהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת מרחב.
אם [math]\displaystyle{ \dim (U)=\dim (V) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ U=V }[/math]

תרגול

תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד

משפט המימדים

[math]\displaystyle{ sp(A\cup B) = sp(A)+sp(B) }[/math]

[math]\displaystyle{ \dim (U+W) = \dim(U)+\dim(W) - \dim(U\cap W) }[/math]

תרגול

תרגול על משפט המימדים

הצגה פרמטרית ואלגברית

שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים

תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math]
- [math]\displaystyle{ R(A)=sp\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq \mathbb{F}^n }[/math]
- [math]\displaystyle{ C(A)=sp\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq \mathbb{F}^m }[/math]
- [math]\displaystyle{ N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq \mathbb{F}^n }[/math]

[math]\displaystyle{ R(AB)\subseteq R(B) }[/math]
[math]\displaystyle{ C(AB)\subseteq C(A) }[/math]

על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות.
על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות.

ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס.
לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים.

תרגול

תרגול בנושא מרחבי המטריצה

דרגה של מטריצה

בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות.

כל הגדלים הבאים שווים:
- דרגה של מטריצה
- מימד מרחב העמודות
- מימד מרחב השורות
- מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת
- מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית

כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.

ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים).

פרק 5 - העתקות לינאריות

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] נקראת העתקה לינארית אם לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] היא מקיימת:
- [math]\displaystyle{ T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1 }[/math]

שימו לב לסימון [math]\displaystyle{ Tv_1=T(v_1) }[/math]

פעולות בין העתקות לינאריות

הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית

גרעין ותמונה

תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית
- הגרעין [math]\displaystyle{ \ker T=\{v\in V|Tv=0_W\} }[/math] הוא תת מרחב של התחום [math]\displaystyle{ V }[/math]
- התמונה [math]\displaystyle{ Im T=\{Tv|v\in V\}=\{w\in W|\exists v\in V:Tv=w\} }[/math] היא תת מרחב של הטווח [math]\displaystyle{ W }[/math]

ההעתקה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] חח"ע אם ורק אם [math]\displaystyle{ \dim\ker T=0 }[/math]
ההעתקה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] על אם ורק אם [math]\displaystyle{ \dim Im T = \dim W }[/math]

משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות

תהי העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס לV.
אזי [math]\displaystyle{ Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\} }[/math]

תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית אזי [math]\displaystyle{ \dim \ker T +\dim Im T = \dim V }[/math]

תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \dim N(A) + rank(A)=n }[/math]

תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.
- אם T חח"ע אז [math]\displaystyle{ \dim V\leq \dim W }[/math]
- אם T על אזי [math]\displaystyle{ \dim V \geq \dim W }[/math]
- אם [math]\displaystyle{ \dim V = \dim W }[/math] אזי T חח"ע אם"ם T על.

העתקה לינארית נקראת גם הומומורפיזם. העתקה לינארית הפיכה נקראת איזומורפיזם.
מרחבים וקטוריים נקראים איזומורפייים זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות).
מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים.

תרגול

תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה

יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה

יהי V מ"ו ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
אזי לכל [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
- [math]\displaystyle{ x=a_1v_1+...+a_nv_n }[/math]

יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי [math]\displaystyle{ \{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
תהיינה סדרת וקטורים [math]\displaystyle{ w_1,...,w_n\in W }[/math] לאו דווקא שונים.
אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת:
- לכל i מתקיים כי [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math]

מטריצה מייצגת העתקה

קואורדינטות

יהי V מ"ו ויהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math] בסיס סדור לV.
לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] נגדיר את וקטור הקואורדינטות לפי B להיות הסקלים מההצגה היחידה:
- [math]\displaystyle{ [v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n }[/math]

מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס!

נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to \mathbb{F}^n }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ Tv=[v]_B }[/math], אזי T היא איזומורפיזם. לכן
- [math]\displaystyle{ [a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B }[/math]
- הסדרה [math]\displaystyle{ u_1,...,u_k\in V }[/math] בת"ל אם ורק אם הסדרה [math]\displaystyle{ [u_1]_B,...,[u_k]_B }[/math] בת"ל
- [math]\displaystyle{ v\in span\{u_1,...,u_k\} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ [v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\} }[/math]

משפט קיום ויחידות

יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].
נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית.
אזי:
- קיימת מטריצה יחידה [math]\displaystyle{ [T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] המקיימת:
- לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ [T]_C^B[v]_B=[Tv]_C }[/math]

על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:
- נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.
- נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.
- נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת.

[math]\displaystyle{ [T]_C^B= \begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math]

המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית

יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו ממימד סופי מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם בסיסים [math]\displaystyle{ B,C }[/math] בהתאמה.
תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית, ויהי סקלר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math]
אזי
- [math]\displaystyle{ [T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C }[/math]
- [math]\displaystyle{ [\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C }[/math]
- [math]\displaystyle{ [S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B }[/math]
- ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת [math]\displaystyle{ [T]^B_C }[/math] הפיכה
  - אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי [math]\displaystyle{ [T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1} }[/math]

מטריצות מעבר בין בסיסים

[math]\displaystyle{ [I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C }[/math]

שלוש צורות הצגת ההעתקה

ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
- נוסחא מפורשת
- לפי בסיס
- בעזרת מטריצה מייצגת

תרגול

פרק 6 - דטרמיננטות

תמורות

נגדיר את אוסף התמורות [math]\displaystyle{ S_n }[/math] להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה [math]\displaystyle{ \{1,2,...,n\} }[/math] לעצמה.

לכל תמורה (פונקציה) [math]\displaystyle{ f\in S_n }[/math] נגדיר את סימן התמורה [math]\displaystyle{ sign(f)=\Pi_{i\lt j}\frac{f(j)-f(i)}{j-i} }[/math]
תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1.

כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי [math]\displaystyle{ sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g) }[/math]

עבור תמורת הזהות [math]\displaystyle{ I\in S_n }[/math] מתקיים כי[math]\displaystyle{ sign(I)=1 }[/math]

חילוף הוא תמורה [math]\displaystyle{ (i\ j)\in S_n }[/math] המחליפה בין האיברים [math]\displaystyle{ i,j }[/math] ושולחת את שאר האיברים לעצמם.

חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית).

מחזור הוא תמורה [math]\displaystyle{ (p_1\ p_2\ \cdots\ p_k)=(p_1\ p_2)\circ(p_2\ p_3)\circ \cdots \circ(p_{k-1}\ p_k) }[/math] וסימנו הוא [math]\displaystyle{ (-1)^{k-1} }[/math]
המחזור שולח כל איבר [math]\displaystyle{ p_{i-1} }[/math] ל[math]\displaystyle{ p_i }[/math], את [math]\displaystyle{ p_k }[/math] ל[math]\displaystyle{ p_1 }[/math] ואת שאר האיברים לעצמם.

כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה.

הגדרת הדטרמיננטה ותכונות

עבור מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר את הדטרמיננטה:
- [math]\displaystyle{ det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\Pi_{i=1}^n[A]_{i,f(i)} }[/math]

תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ויהיו [math]\displaystyle{ 1\leq i\neq j\leq n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ R_i(A)=R_j(A) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ det(A)=0 }[/math]
כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס.

תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ B }[/math] המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על [math]\displaystyle{ A }[/math] אזי:
- אם פעולת הדירוג היא [math]\displaystyle{ R_i+a\cdot R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |B|=|A| }[/math]
- אם פעולת הדירוג היא [math]\displaystyle{ a\cdot R_i }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |B|=a\cdot |A| }[/math]
- אם פעולת הדירוג היא [math]\displaystyle{ R_i \leftrightarrow R_j }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |B|=-|A| }[/math]

חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות

עבור מטריצה משולשית [math]\displaystyle{ A }[/math] מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון.

מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.

לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי [math]\displaystyle{ |AB|=|A|\cdot |B| }[/math]

דטרמיננטת המשוחלפת

[math]\displaystyle{ |A^t|=|A| }[/math]

פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות

נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה

[math]\displaystyle{ A_{ij} }[/math] היא המטריצה המתקבלת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה.
הדטרמיננטה [math]\displaystyle{ |A_{ij}| }[/math] נקראית מינור.

לכל i מתקיים כי [math]\displaystyle{ det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math]
לכל j מתקיים כי [math]\displaystyle{ det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}| }[/math]

מטריצה נלווית

תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] נגדיר את המטריצה הנלווית [math]\displaystyle{ adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] ע"י:
- [math]\displaystyle{ [adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}| }[/math]

מתקיים כי [math]\displaystyle{ A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A = |A|\cdot I }[/math]

אם A הפיכה מתקיים כי [math]\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A) }[/math]

מתקיים כי [math]\displaystyle{ |adj(A)|=|A|^{n-1} }[/math]

כלל קרמר

תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] הפיכה ויהי [math]\displaystyle{ b\in\mathbb{F}^n }[/math] וקטור קבועים.
אזי הפתרון היחיד [math]\displaystyle{ \vec{x}=(x_1,...,x_n) }[/math] למערכת המשוואות [math]\displaystyle{ A\vec{x}=b }[/math] מקיים כי:
לכל i ערך המשתנה נתון ע"י [math]\displaystyle{ x_i =\frac{|A_i|}{|A|} }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ A_i }[/math] היא המטריצה המתקבלת מ[math]\displaystyle{ A }[/math] על ידי החלפת העמודה ה[math]\displaystyle{ i }[/math] בוקטור הקבועים [math]\displaystyle{ b }[/math]

במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה.
במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר.