אלגברה לינארית - ארז שיינר

חומר עזר

• סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016
• מבחנים באלגברה לינארית 1

סרטוני ותקציר הרצאות

פרק 1 - שדות

הגדרה ותכונות של שדה

• שדה הוא קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] יחד עם שתי פעולות [math]\displaystyle{ +,\cdot }[/math] כך שמתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות: לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+b,a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]
2. קומוטטיביות (חילופיות): לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+b=b+a }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a\cdot b=b\cdot a }[/math]
3. אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a+(b+c)=(a+b)+c }[/math] וכן [math]\displaystyle{ a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c }[/math]
4. נייטרליים: קיימים [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a }[/math]
5. נגדיים: לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{F} }[/math] קיים נגדי [math]\displaystyle{ -a\in\mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a+(-a)=0_{\mathbb{F}} }[/math]
6. הופכיים: לכל [math]\displaystyle{ 0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F} }[/math] קיים הופכי [math]\displaystyle{ a^{-1}\in \mathbb{F} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}} }[/math]
7. דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c }[/math]

• יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a\cdot b=0_{\mathbb{F}} }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a=0_{\mathbb{F}} }[/math] או [math]\displaystyle{ b=0_{\mathbb{F}} }[/math]

• תכונות נוספות של שדות
  • [math]\displaystyle{ (-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ a+b=a+c }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=c }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ a\neq 0_{\mathbb{F}} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ a\cdot b = a\cdot c }[/math] אזי [math]\displaystyle{ b=c }[/math]

שדה המרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים

• [math]\displaystyle{ \mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\} }[/math]
• [math]\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d) }[/math]
• [math]\displaystyle{ (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc) }[/math]

• נסמן
  • [math]\displaystyle{ a=(a,0) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ i=(0,1) }[/math]
• נובע כי [math]\displaystyle{ a+b\cdot i =(a,b) }[/math]

צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)

• [math]\displaystyle{ a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta) }[/math]
• [math]\displaystyle{ cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta) }[/math]

• [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math]
• עבור הזוית נחלק למקרים:
  • אם [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right) }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=\frac{\pi}{2} }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ b\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=\frac{-\pi}{2} }[/math]
  • אם [math]\displaystyle{ a\lt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi }[/math]

• [math]\displaystyle{ r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2) }[/math]

• דה-מואבר ומציאת שורשים.
• צמוד מרוכב ושאר הגדרות, הדגמה ע"י פולינום עם מקדמים ממשיים ושורש מרוכב.

תרגול

• תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 2- מערכות משוואות לינאריות

תרגול

• תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 3 - אלגברת מטריצות

תרגול

• תרגול בנושא אלגברת מטריצות

מטריצות הופכיות

תרגול

תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

תתי מרחבים

תרגול

• תרגול על מרחבים ותתי מרחבים

בסיס ומימד

תרגול

• תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד

משפט המימדים

תרגול

• תרגול על משפט המימדים

שלושת מרחבי המטריצה ודרגת מטריצה

תרגול

• תרגול בנושא מרחבי המטריצה

פרק 5 - העתקות לינאריות

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

• מרחב ההעתקות

גרעין ותמונה

תרגול

• תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה

מטריצה מייצגת העתקה

מטריצות מעבר בין בסיסים

תרגול

• תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים
• תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות
• תרגול נוסף בנושא העתקות

פרק 6 - דטרמיננטות

תרגול

• תרגול בנושא דטרמיננטות
• תרגול נוסף בנושא דטרמיננטות
• עוד אחד