חומר עזר
סרטוני ותקציר הרצאות
פרק 1 - שדות
הגדרה ותכונות של שדה
- שדה הוא קבוצה
יחד עם שתי פעולות
כך שמתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות: לכל
מתקיים כי
- קומוטטיביות (חילופיות): לכל
מתקיים כי
וכן
- אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל
מתקיים כי
וכן
- נייטרליים: קיימים
כך שלכל
מתקיים כי
- נגדיים: לכל
קיים נגדי
כך ש
- הופכיים: לכל
קיים הופכי
כך ש
- דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל
מתקיים כי
- יהי שדה
אזי לכל
מתקיים כי
אם ורק אם
או
- תכונות נוספות של שדות
- אם
אזי
- אם
וגם
אזי
שדות סופיים
שדה המרוכבים
הגדרת המספרים המרוכבים
- נסמן
- נובע כי
- הגדרות עבור
- תכונות
אם
צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)
- עבור הזוית נחלק למקרים:
- אם
אזי
- אם
וגם
אזי
- אם
וגם
אזי
- אם
אזי
- אם
- עבור
טבעי, ומספר מרוכב
קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה
- הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
- נעביר את המספר לצורתו הקוטבית
- הפתרונות הם
עבור
- נעביר את המספר לצורתו הקוטבית
תרגול
פרק 2- מערכות משוואות לינאריות
מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות
קבוצת הn-יות הסדורות.
קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה
הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות
- מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים
ומטריצת (וקטור) קבועים
.
- קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
פעולות דירוג אלמנטריות
- שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
עבור
(כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
עבור
(הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
(החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)
ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה
צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית
- איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.
- מטריצה נקראת מדורגת אם:
- אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
- כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.
- מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
- היא מדורגת.
- כל האיברים הפותחים שווים ל1.
- בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.
משתנים חופשיים ותלויים
- משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
- כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.
- מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
- מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
- אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
- אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
- אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
- מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
- מדרגים קנונית את המטריצה שמייצת את המערכת.
- מוודאים שאין שורת סתירה.
- בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
- מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.
דירוג מטריצה עם פרמטר
הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית
תרגול
פרק 3 - אלגברת מטריצות
חיבור מטריצות וכפל בסקלר
- תהיינה
ויהי סקלר
- נגדיר את
על ידי
- נגדיר את
על ידי
- נגדיר את
כפל מטריצות
- תהיינה
- נגדיר את המכפלה
על ידי
- נגדיר את המכפלה
- הוקטור
הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים
ווקטור הקבועים
אם ורק אם
שיטות לחישוב כפל מטריצות
- חישוב הכפל לפי עמודות
- חישוב הכפל לפי שורות
תכונות של אלגברת מטריצות
וכן
וכן
- מטריצת היחידה
מוגדרת על ידי
- לכל
מתקיים כי
- לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית
- פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית
שחלוף
- עבור
נגדיר את המטריצה המשוחלפת
על ידי
עקבה
- העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
- עבור
נגדיר
- עבור
- תכונות העקבה:
- דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות
כך ש
אך
תרגול
מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות
- מטריצה
נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות
כך ש
וכן
- אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה
ונקרא לה ההופכית של
המקיימת
. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת
.
- תהי
הפיכה, אזי למערכת המשוואות
יש פתרון יחיד, והוא
- תהיינה
הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל
מוגדר, אזי
- תהי
הפיכה אזי
- תהי
הפיכה אזי
- תהי
הפיכה ויהי סקלר
אזי
מטריצות פעולה
- תהי
פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
- לכל
נגדיר את מטריצת הפעולה
.
- לכל מטריצה
מתקיים כי
- מטריצת הפעולה היא הפיכה.
- לכל מטריצה
קיימת מטריצה הפיכה
כך ש
בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית
- מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם
אך
או
אזי
אינה הפיכה
- אם ב
השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל
כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב
היא שורת אפסים.
- ב
לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
- ב
- מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
- מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.
- מטריצה
היא הפיכה אם ורק אם
- אם
ריבועיות כך ש
אזי
- תהיינה
ריבועיות אזי
הפיכה אם ורק אם
הפיכות שתיהן
- דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית
- תהי מטריצה ריבועית
- נדרג את מטריצת הבלוקים
קנונית.
- אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של
יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
- אחרת, הצורה הקנונית של
היא
ולכן היא הפיכה.
- הגענו למטריצת הבלוקים
.
תרגול
תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה
פרק 4 - מרחבים וקטוריים
הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים
- מרחב וקטורי
מעל שדה
הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות:
- חילופיות:
- אסוציאטיביות (קיבוץ):
- נייטרלי לחיבור:
- נגדיים:
- נייטרלי לכפל בסקלר:
- דיסטריביוטיביות (פילוג):
- יהי
מ"ו מעל שדה
ויהיו
אזי:
אם ורק אם
או
- כמו כן,
תתי מרחבים
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ותהי
תת קבוצה של וקטורים.
- אזי
נקרא תת מרחב של
אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של
.
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ותהי
תת קבוצה של וקטורים.
- אזי
תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- לכל
ולכל
מתקיים כי
- תהי
אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית
הינה תת מרחב וקטורי.
- קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.
- אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.
- אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.
חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ויהיו
, תתי מרחב.
הינו תת מרחב של
.
תת מרחב של
אם ורק אם
או
.
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ויהיו
, תתי מרחב.
- נגדיר את סכום תתי המרחבים:
הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את
. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
- לכל תת מרחב
מתקיים כי
- לכל תת מרחב
הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב
. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
- לכל תת מרחב
מתקיים כי
- לכל תת מרחב
- דוגמא:
- ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
- סכום ישר:
- יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש
אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- משפט:
אם ורק אם לכל וקטור
קיימת הצגה יחידה
כסכום של רכיבים מU ומW.
- כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.
תרגול
פרישה ותלות לינארית
- יהי
מ"ו מעל שדה
ותהי
.
- וקטור
נקרא צירוף לינארי של הקבוצה
אם
או קיימים וקטורים בקבוצה
וסקלרים מהשדה
כך ש
- וקטור
- כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
- אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא
.
- טענה: יהי V מ"ו ותהי
אזי
הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את
. כלומר:
תת מרחב וקטורי
- לכל תת מרחב
כך ש
מתקיים כי
- יהי
מ"ו מעל שדה
, ותהי n-ית וקטורים
. אומרים שהוקטורים
(לאו דווקא שונים) תלויים לינארית או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים
לא כולם אפס כך שהצירוף הלינארי מתאפס
.
- אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם בלתי תלויים לינארית או בת"ל בקיצור.
- קבוצה
נקראת תלוייה לינארית אם קיימים
וקטורים שונים שתלויים לינארית.
- יהיו
.
- הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה
הוא שכל הסקלרים הם אפסים.
- בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות
- בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות
- לכן אם נשים את הוקטורים בעמודות מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש פתרון יחיד כלומר
- באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם
:
- נשים את הוקטורים
בעמודות מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים.
- הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון.
- נשים את הוקטורים
בסיס ומימד
- לֶמת ההחלפה של שטייניץ
- יהי
מ"ו ותהיינה
בת"ל וכן
פורשת (כלומר
).
- אזי לכל
קיים
כך ש
וגם הקבוצה
בת"ל.
- יהי
מ"ו ותהי
קבוצה פורשת (כלומר
) כך ש
(כלומר יש בה n וקטורים).
- תהי בנוסף
קבוצה בת"ל, אזי
(כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת).
- הגדרת בסיס:
- יהי
מ"ו ותהי
קבוצת וקטורים.
- אם
בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר
) אזי היא נקראת בסיס למרחב
.
- יהי
מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית
שפורשת את כל המרחב
).
- אזי קיים לו בסיס סופי.
- כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים.
- כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות המימד של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים
.
- כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד.
העשרה
- לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
- ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M.
- נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B.
- B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן)
- B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה.
משפט השלישי חינם
- יהי
מ"ו ממימד
ותהי
.
- אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו
מהווה בסיס למרחב
.
בת"ל
פורשת (כלומר
)
(כלומר כמות הוקטורים ב
שווה למימד)
- יהי
מ"ו נוצר סופית, ויהי
תת מרחב.
- אם
אזי
תרגול
משפט המימדים
תרגול
הצגה פרמטרית ואלגברית
שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים
- תהי
- על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות.
- על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות.
- ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס.
- לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים.
תרגול
דרגה של מטריצה
- בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות.
- כל הגדלים הבאים שווים:
- דרגה של מטריצה
- מימד מרחב העמודות
- מימד מרחב השורות
- מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת
- מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית
- כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.
- ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים).
פרק 5 - העתקות לינאריות
העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות
- יהיו
מ"ו מעל אותו שדה
.
- פונקציה
נקראת העתקה לינארית אם לכל
היא מקיימת:
- שימו לב לסימון
פעולות בין העתקות לינאריות
- הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
- סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
- הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית
גרעין ותמונה
- תהי
העתקה לינארית
- הגרעין
הוא תת מרחב של התחום
- התמונה
היא תת מרחב של הטווח
- הגרעין
- ההעתקה
חח"ע אם ורק אם
- ההעתקה
על אם ורק אם
משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות
- תהי העתקה לינארית
ויהי
בסיס לV.
- אזי
- תהי
העתקה לינארית אזי
- תהי
אזי
- תהי
העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.
- אם T חח"ע אז
- אם T על אזי
- אם
אזי T חח"ע אם"ם T על.
- אם T חח"ע אז
- העתקה לינארית נקראת גם הומומורפיזם. העתקה לינארית הפיכה נקראת איזומורפיזם.
- מרחבים וקטוריים נקראים איזומורפייים זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות).
- מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים.
תרגול
יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה
- יהי V מ"ו ויהי
בסיס סדור לV.
- אזי לכל
קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
- יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי
בסיס סדור לV.
- תהיינה סדרת וקטורים
לאו דווקא שונים.
- אזי קיימת העתקה לינארית יחידה
המקיימת:
- לכל i מתקיים כי
- לכל i מתקיים כי
מטריצה מייצגת העתקה
קואורדינטות
- יהי V מ"ו ויהי
בסיס סדור לV.
- לכל
נגדיר את וקטור הקואורדינטות לפי B להיות הסקלים מההצגה היחידה:
אם ורק אם
- מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס!
- נגדיר פונקציה
ע"י
, אזי T היא איזומורפיזם. לכן
- הסדרה
בת"ל אם ורק אם הסדרה
בת"ל
אם ורק אם
משפט קיום ויחידות
- יהיו
מ"ו מעל אותו שדה
.
- נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
- נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
- תהי
העתקה לינארית.
- אזי:
- קיימת מטריצה יחידה
המקיימת:
- לכל
מתקיים כי
- קיימת מטריצה יחידה
- על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:
- נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.
- נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.
- נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת.
המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית
- יהיו
מ"ו ממימד סופי מעל השדה
עם בסיסים
בהתאמה.
- תהי
העתקה לינארית, ויהי סקלר
- אזי
- ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת
הפיכה
- אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי
- אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי
מטריצות מעבר בין בסיסים
שלוש צורות הצגת ההעתקה
- ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
- נוסחא מפורשת
- לפי בסיס
- בעזרת מטריצה מייצגת
תרגול
- תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים
- תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות
- תרגול נוסף בנושא העתקות
פרק 6 - דטרמיננטות
תמורות
- נגדיר את אוסף התמורות
להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה
לעצמה.
- לכל תמורה (פונקציה)
נגדיר את סימן התמורה
- תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1.
- כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי
- עבור תמורת הזהות
מתקיים כי
- חילוף הוא תמורה
המחליפה בין האיברים
ושולחת את שאר האיברים לעצמם.
- חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית).
- מחזור הוא תמורה
וסימנו הוא
- המחזור שולח כל איבר
ל
, את
ל
ואת שאר האיברים לעצמם.
- כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה.
הגדרת הדטרמיננטה ותכונות
- עבור מטריצה ריבועית
נגדיר את הדטרמיננטה:
- תהי
ויהיו
כך ש
אזי
- כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס.
- תהי
ותהי
המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על
אזי:
- אם פעולת הדירוג היא
עבור
אזי
- אם פעולת הדירוג היא
אזי
- אם פעולת הדירוג היא
עבור
אזי
- אם פעולת הדירוג היא
חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות
- עבור מטריצה משולשית
מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון.
- מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.
- לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי
דטרמיננטת המשוחלפת
נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה
מטריצה נלווית
כלל קרמר