88-311 תשעג סמסטר א/תרגילים

תרגיל 1

תרגיל 1 להגשה בתאריך נובמבר 1

הערה: שימו לב, בתרגיל הבית יש תרגיל של למצוא את ה gcd של שני פולינומים. לא עשינו תרגיל כזה בכיתה. המטרה היא לחזור על חומר של אלגברה מופשטת 2. הרעיון הוא להשתמש באלגוריתם אוקלידס. תוכלו למצוא את האלגוריתם במחברת הקורס אלגברה מופשטת 2, או בכל ספר על תורת החוגים. ניתן גם לפנות אלי לעזרה.

חשוב: שאלה 6 מבוססת על חומר מאלגברה מופשטת 2. אם זאת תכננתי לעשות תרגיל הכנה בכיתה, אך לא הספקתי. אי לכך, אני מעביר את שאלה 6 לתרגיל הבא. היא תופיע כשאלה 1 בתרגיל 2. נא לא להגיש אותה עם תרגיל 1.

תיקון טעות: טעות בשאלה 2 בתרגיל 1

הטענה נכונה רק בכיוון אחד:

אם [math]\displaystyle{ a_nx^n+...+a_0 }[/math] אי-פריק אזי [math]\displaystyle{ a_n+...+a_0x^n }[/math] אי-פריק.

דוגמא נגדית של הכיוון ההפוך: [math]\displaystyle{ f(x)=x^2+x }[/math] והפולינום השני יהיה: [math]\displaystyle{ g(x)=1+x }[/math]

f פריק ולעומת זאת g אינו פריק.

פתרון: פתרון תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 2 להגשה בתאריך נובמבר 8

ניתן להשתמש במידע הבא בתרגיל: נסמן ב [math]\displaystyle{ \Phi_n }[/math] את הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ cis(\frac{2\pi}{n}) }[/math].

משפט: [math]\displaystyle{ \Phi_n=\frac{x^n-1}{\Pi_{d|n,d\lt n}\Phi_d} }[/math] . (נשים לב שאם n אינו ראשוני, אזי [math]\displaystyle{ \Phi_n\neq\frac{x^n-1}{x-1} }[/math] ).

הגדרה: [math]\displaystyle{ \Phi_n }[/math] הוא הפולינום הציקלוטומי ה n-י.

פתרון: פתרון תרגיל 2