פונקציה חד-חד-ערכית ועל

בקצרה: פונקציה [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] היא חד-חד-ערכית (חח"ע) אם איברים שונים בתחום נשלחים לאיברים שונים בטווח, ועל אם כל איבר בטווח מתקבל כתמונה של איבר כלשהו מהתחום. פונקציה שהיא גם חח"ע וגם על נקראת הפיכה: יש לה פונקציה הופכית [math]\displaystyle{ f^{-1}:B\to A }[/math] המבטלת אותה בשני הכיוונים.

פונקציה חד-חד-ערכית (חח"ע) ופונקציה על הן שתי התכונות המרכזיות של פונקציות שנלמדות בפרק הפונקציות של הקורס, מיד לאחר הגדרת פונקציה כיחס חד-ערכי ושלם. יחד עם המושגים הנלווים - תמונה ותמונה הפוכה של קבוצה, הרכבת פונקציות, פונקציה הפיכה, ופונקציה מוגדרת היטב - הם מהווים את השפה הבסיסית שממשיכה לשמש בהמשך הקורס, למשל בהשוואת עוצמות של קבוצות. במקורות שונים תמצאו למושגים האלה גם את הכינויים "פונקציה חד חד ערכית", "חד חד ערכי", "חח"ע ועל", "פונקציה הפיכה" ו"תמונה ותמונה הפוכה" - כולם מתייחסים לאותו חומר, והדף הזה מרכז את כולם יחד כי בפועל הם נלמדים ונבחנים ביחד.

הגדרה

נזכיר: יחס [math]\displaystyle{ f }[/math] מ-[math]\displaystyle{ A }[/math] ל-[math]\displaystyle{ B }[/math] נקרא פונקציה אם הוא חד-ערכי ושלם, ואז מסמנים [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] וכן [math]\displaystyle{ f(a)=b\iff (a,b)\in f }[/math]. הקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] נקראת תחום הפונקציה, והקבוצה [math]\displaystyle{ B }[/math] נקראת הטווח.

חד-חד-ערכיות (חח"ע): תהי [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math]. אומרים ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] חד-חד-ערכית אם לכל [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in A }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x_1=x_2 }[/math]. באופן שקול: איברים שונים בתחום נשלחים לאיברים שונים בטווח.

על: אומרים ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] על (או "על [math]\displaystyle{ B }[/math]") אם לכל [math]\displaystyle{ y\in B }[/math] קיים [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math], כלומר לכל איבר בטווח יש מקור.

תמונה ותמונה הפוכה של קבוצה: תהי [math]\displaystyle{ X\subseteq A }[/math] ו-[math]\displaystyle{ Y\subseteq B }[/math]. אזי:

• התמונה של [math]\displaystyle{ X }[/math] תחת [math]\displaystyle{ f }[/math] היא [math]\displaystyle{ f[X]=\{f(a)\mid a\in X\}\subseteq B }[/math].
• התמונה ההפוכה של [math]\displaystyle{ Y }[/math] תחת [math]\displaystyle{ f }[/math] היא [math]\displaystyle{ f^{-1}[Y]=\{a\in A\mid f(a)\in Y\}\subseteq A }[/math].

שני כללי עבודה שימושיים: [math]\displaystyle{ y\in f[X]\iff \exists a\in X: f(a)=y }[/math], וכן [math]\displaystyle{ x\in f^{-1}[Y]\iff f(x)\in Y }[/math].

הרכבת פונקציות: תהיינה [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] ו-[math]\displaystyle{ g:B\to C }[/math]. ההרכבה [math]\displaystyle{ g\circ f:A\to C }[/math] מוגדרת על ידי [math]\displaystyle{ (g\circ f)(a)=g(f(a)) }[/math]. הרכבה היא אסוציאטיבית, אך לא בהכרח חילופית.

פונקציית הזהות: עבור קבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math], פונקציית הזהות [math]\displaystyle{ I_A:A\to A }[/math] מוגדרת ע"י [math]\displaystyle{ I_A(x)=x }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ I_B\circ f=f\circ I_A=f }[/math].

פונקציה הפיכה: [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] נקראת הפיכה אם קיימת [math]\displaystyle{ g:B\to A }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ g\circ f=I_A }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f\circ g=I_B }[/math]. אם כן, [math]\displaystyle{ g }[/math] יחידה (ראו משפט למטה) ומסמנים אותה [math]\displaystyle{ f^{-1}:B\to A }[/math] - ההופכית של [math]\displaystyle{ f }[/math]. שימו לב: [math]\displaystyle{ f^{-1}[Y] }[/math] עם סוגריים מרובעים היא תמונה הפוכה, שקיימת לכל פונקציה ופועלת על תת-קבוצות; [math]\displaystyle{ f^{-1}(y) }[/math] עם סוגריים עגולים היא הפונקציה ההופכית, שקיימת רק לפונקציה הפיכה ופועלת על איברים.

פונקציה מוגדרת היטב: זהו לא מושג מתמטי פורמלי נוסף, אלא שם לבדיקה שכלל התאמה שכתבנו אכן מגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math]. כלומר, בודקים:

1. לכל [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] הכלל נותן ערך (לא חסר הגדרה).
2. הערך [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תמיד נמצא ב-[math]\displaystyle{ B }[/math].
3. הערך [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] יחיד - לא תלוי באופן שבו כתבנו/ייצגנו את [math]\displaystyle{ x }[/math] (למשל כשבר מצומצם או לא, כזוג לא סדור, וכו').

בפרט, כאשר רוצים להגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ g:A/R\to B }[/math] על קבוצת מנה, לפי הכלל [math]\displaystyle{ g([a]_R)=f(a) }[/math], יש לבדוק ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] מכבדת את יחס השקילות [math]\displaystyle{ R }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \forall a,b\in A:\ (a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b) }[/math] - אחרת [math]\displaystyle{ g }[/math] אינה מוגדרת היטב (התוצאה תלויה במייצג שנבחר למחלקת השקילות).

משפטים ותכונות

משפט (אפיון פונקציה הפיכה): [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] הפיכה אם ורק אם היא חח"ע ועל. במקרה זה ההופכית יחידה.

הוכחה בהרצאה (ראו סרטון ההרכבה למטה): בכיוון אחד, פונקציית הזהות חח"ע ועל, ומכיוון שאם [math]\displaystyle{ g\circ f=I_A }[/math] חח"ע אז [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע, ואם [math]\displaystyle{ f\circ g=I_B }[/math] על אז [math]\displaystyle{ f }[/math] על (סעיפים 3-4 במשפט הבא), מקבלים ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע ועל. בכיוון השני בונים את [math]\displaystyle{ g }[/math] במפורש: לכל [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] קיים (כי [math]\displaystyle{ f }[/math] על) ויחיד (כי [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע) [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] עם [math]\displaystyle{ f(a)=b }[/math], ומגדירים [math]\displaystyle{ g(b):=a }[/math]. יחידות ההופכית: אם [math]\displaystyle{ g,h }[/math] שתיהן הופכיות של [math]\displaystyle{ f }[/math], אז [math]\displaystyle{ h=I_A\circ h=(g\circ f)\circ h=g\circ(f\circ h)=g\circ I_B=g }[/math].

משפט (תמונה ותמונה הפוכה): תהי [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math], [math]\displaystyle{ X\subseteq A }[/math], [math]\displaystyle{ Y\subseteq B }[/math]. אזי:

1. [math]\displaystyle{ X\subseteq f^{-1}[f[X]] }[/math], ואם [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע מתקיים שוויון.
2. [math]\displaystyle{ f[f^{-1}[Y]]\subseteq Y }[/math], ואם [math]\displaystyle{ f }[/math] על מתקיים שוויון.

הוכחה בהרצאה (ראו סרטון התמונה והתמונה ההפוכה למטה): ההכלות הבסיסיות נובעות ישירות מהגדרות התמונה והתמונה ההפוכה; השוויון בכל סעיף נובע מהחח"ע/על, באותו אופן המופיע בשאלה 5 בהמשך הדף.

משפט (הרכבה ותכונות): תהיינה [math]\displaystyle{ f:A\to B,\ g:B\to C }[/math].

1. אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] חח"ע אז [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] חח"ע.
2. אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] על אז [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] על.
3. אם [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] חח"ע אז [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע (אבל [math]\displaystyle{ g }[/math] לא חייבת להיות חח"ע).
4. אם [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] על אז [math]\displaystyle{ g }[/math] על (אבל [math]\displaystyle{ f }[/math] לא חייבת להיות על).

הוכחה בהרצאה (ראו סרטון ההרכבה למטה); סעיפים 3-4 עם דוגמאות נגדיות מלאות מופיעים בשאלה 4 ובדוגמה 4 בהמשך הדף.

שיטה / איך מוכיחים

להוכיח ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] חד-חד-ערכית: לוקחים [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in A }[/math] כלליים, מניחים [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math], ומוכיחים (באלגברה, בהיגיון וכו') ש-[math]\displaystyle{ x_1=x_2 }[/math]. (אפשר גם דרך הכיוון השקול: [math]\displaystyle{ x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2) }[/math].)

להפריך חד-חד-ערכיות: די למצוא דוגמה נגדית קונקרטית - שני איברים שונים [math]\displaystyle{ x_1\neq x_2 }[/math] בתחום עם [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math].

להוכיח ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] על: לוקחים [math]\displaystyle{ y\in B }[/math] כללי, ובונים (או מוצאים בפועל) [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math], בדרך כלל ע"י "פתרון" המשוואה [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x }[/math] במונחי [math]\displaystyle{ y }[/math].

להפריך היות על: די למצוא איבר יחיד [math]\displaystyle{ y\in B }[/math] שאין לו מקור בתחום.

לבדוק מוגדרות היטב: עוברים על שלושת התנאים בהגדרה לפי הסדר - (1) האם הכלל נותן ערך לכל איבר בתחום, (2) האם התוצאה תמיד בטווח, (3) האם ייתכן שאותו איבר, כשמיוצג בשתי דרכים שקולות, מקבל שתי תוצאות שונות. כשעובדים על קבוצת מנה - בודקים במפורש ש-[math]\displaystyle{ (a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b) }[/math].

למצוא הופכית: מוכיחים חח"ע ועל, ואז לכל [math]\displaystyle{ y\in B }[/math] "פותרים" את המשוואה [math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x }[/math] ומגדירים [math]\displaystyle{ f^{-1}(y):=x }[/math].

דוגמאות

1. [math]\displaystyle{ f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ f(p)=p^2 }[/math]. אינה חח"ע ([math]\displaystyle{ f(1)=f(-1)=1 }[/math]) ואינה על (למשל ל-[math]\displaystyle{ 2 }[/math] אין מקור שלם).

2. [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ f(x)=\lfloor x\rfloor }[/math] (הערך השלם התחתון). זו פונקציה על (לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{Z} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(n)=n }[/math]), אך אינה חח"ע ([math]\displaystyle{ f(0.4)=f(0.9)=0 }[/math]). (שימו לב: [math]\displaystyle{ \mathbb{R},\mathbb{Z} }[/math] אינן שוות עוצמה; לדוגמה נגדית לשאלה 1 עבור קבוצות אינסופיות ראו דוגמה 4.)

3. (מוגדרת היטב?) נגדיר על הרציונליים [math]\displaystyle{ f\left(\tfrac{p}{q}\right)=p }[/math] (המונה). זו אינה מוגדרת היטב: מתקיים [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2}=\tfrac{2}{4} }[/math] כשני ייצוגים של אותו מספר רציונלי, אבל [math]\displaystyle{ f\left(\tfrac{1}{2}\right)=1\neq 2=f\left(\tfrac{2}{4}\right) }[/math] - התוצאה תלויה בייצוג ולא רק בערך של המספר.

4. (הרכבה, חח"ע ועל בלי הפיכות) על [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ f(n)=2n }[/math] (חח"ע, לא על - האי-זוגיים אינם מתקבלים), ו-[math]\displaystyle{ g(n)=\tfrac{n}{2} }[/math] אם [math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי ו-[math]\displaystyle{ g(n)=\tfrac{n+1}{2} }[/math] אם [math]\displaystyle{ n }[/math] אי-זוגי (על, לא חח"ע). מתקיים [math]\displaystyle{ (g\circ f)(n)=n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ g\circ f=I_{\mathbb{N}} }[/math], אבל [math]\displaystyle{ (f\circ g)(3)=f(2)=4\neq 3 }[/math], כך ש-[math]\displaystyle{ f\circ g\neq I_{\mathbb{N}} }[/math]. הדוגמה מדגימה מדוע [math]\displaystyle{ g\circ f=I_A }[/math] לבדו אינו מספיק כדי ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] תהיה הפיכה - צריך את שני הכיוונים יחד.

שאלות תרגול

שאלה 1. יהיו [math]\displaystyle{ A,B }[/math] קבוצות סופיות שוות עוצמה. הוכיחו שפונקציה [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] היא על אם ורק אם היא חח"ע.

פתרון

נסמן [math]\displaystyle{ A=\{a_1,\dots,a_n\} }[/math], [math]\displaystyle{ B=\{b_1,\dots,b_n\} }[/math] (כל האיברים שונים בכל קבוצה). אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע אז [math]\displaystyle{ |\{f(a_1),\dots,f(a_n)\}|=n=|B| }[/math], ומכיוון שקבוצה זו מוכלת ב-[math]\displaystyle{ B }[/math] ובעלת אותה עוצמה - הן שוות, ולכן [math]\displaystyle{ f }[/math] על. בכיוון ההפוך: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] על ובשלילה אינה חח"ע, אז [math]\displaystyle{ |\{f(a_1),\dots,f(a_n)\}|<n }[/math] (כי שני איברים לפחות נשלחים לאותו מקום), ואז לא ניתן לקבל את כל [math]\displaystyle{ n }[/math] האיברים של [math]\displaystyle{ B }[/math] - בסתירה להיות על. (ההנחה שהקבוצות סופיות חיונית: למשל בדוגמה 4, [math]\displaystyle{ g:\mathbb{N}\to\mathbb{N} }[/math] על ואינה חח"ע, ו-[math]\displaystyle{ f(n)=2n }[/math] חח"ע ואינה על.)

שאלה 2 (בסגנון מבחן). תהי [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math] פונקציה, ותהי [math]\displaystyle{ g:P(Y)\to P(X) }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ g(B)=f^{-1}[B] }[/math]. הוכיחו: [math]\displaystyle{ f }[/math] על אם ורק אם [math]\displaystyle{ g }[/math] חח"ע.

פתרון

([math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]) נניח [math]\displaystyle{ f }[/math] על, ונניח [math]\displaystyle{ g(B_1)=g(B_2) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f^{-1}[B_1]=f^{-1}[B_2] }[/math]. מפעילים תמונה [math]\displaystyle{ f[\cdot] }[/math] על שני האגפים: מכיוון ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] על מתקיים [math]\displaystyle{ f[f^{-1}[Y']]=Y' }[/math] לכל [math]\displaystyle{ Y'\subseteq Y }[/math] (משפט התמונה ההפוכה למעלה), ולכן [math]\displaystyle{ B_1=f[f^{-1}[B_1]]=f[f^{-1}[B_2]]=B_2 }[/math]. אז [math]\displaystyle{ g }[/math] חח"ע.

([math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math]) נניח בשלילה ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] אינה על. אז קיים [math]\displaystyle{ y\in Y }[/math] ללא מקור, ואז [math]\displaystyle{ f^{-1}[Y]=f^{-1}[Y\setminus\{y\}] }[/math] (שתיהן שוות ל-[math]\displaystyle{ X }[/math], כי אף איבר לא נשלח ל-[math]\displaystyle{ y }[/math]). כלומר [math]\displaystyle{ g(Y)=g(Y\setminus\{y\}) }[/math] עבור שתי קבוצות שונות [math]\displaystyle{ Y\neq Y\setminus\{y\} }[/math] - בסתירה לחח"ע של [math]\displaystyle{ g }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ f }[/math] על.

שאלה 3. הוכיחו/הפריכו: לכל פונקציה [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math] ותתי-קבוצות [math]\displaystyle{ A,B\subseteq X }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f[A\cap B]=f[A]\cap f[B] }[/math].

פתרון

הטענה שקרית באופן כללי (ההכלה [math]\displaystyle{ f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B] }[/math] כן נכונה תמיד, ונכונה שוויון גם בכיוון השני כאשר [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע). דוגמה נגדית: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה חח"ע, קיימים [math]\displaystyle{ x\neq y }[/math] עם [math]\displaystyle{ f(x)=f(y) }[/math]. ניקח [math]\displaystyle{ A=\{x\},\ B=\{y\} }[/math]: אז [math]\displaystyle{ A\cap B=\varnothing }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f[A\cap B]=\varnothing }[/math], אבל [math]\displaystyle{ f[A]\cap f[B]=\{f(x)\}\cap\{f(y)\}=\{f(x)\}\neq\varnothing }[/math].

שאלה 4. תהיינה [math]\displaystyle{ f:A\to B,\ g:B\to C }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] חח"ע. הוכיחו ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע, והביאו דוגמה נגדית לכך ש-[math]\displaystyle{ g }[/math] בהכרח חח"ע.

פתרון

נניח [math]\displaystyle{ f(x)=f(y) }[/math]. אז [math]\displaystyle{ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(f(y))=(g\circ f)(y) }[/math], ומחח"ע של [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] נובע [math]\displaystyle{ x=y }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע. דוגמה נגדית ל-[math]\displaystyle{ g }[/math]: על [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] ניקח [math]\displaystyle{ f(x)=e^x,\ g(y)=y^2 }[/math]. ההרכבה [math]\displaystyle{ (g\circ f)(x)=e^{2x} }[/math] חח"ע, אך [math]\displaystyle{ g }[/math] עצמה אינה חח"ע ([math]\displaystyle{ g(1)=g(-1)=1 }[/math]).

שאלה 5. תהי [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ A\subseteq X }[/math]. הוכיחו [math]\displaystyle{ A\subseteq f^{-1}[f[A]] }[/math], והראו שאם [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע מתקיים שוויון. תנו דוגמה שבה בלי חח"ע אין שוויון.

פתרון

יהי [math]\displaystyle{ a\in A }[/math]. אז [math]\displaystyle{ f(a)\in f[A] }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a\in f^{-1}[f[A]] }[/math] - זו ההכלה הבסיסית, ונכונה תמיד. כעת נניח ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע, ונראה את ההכלה ההפוכה: יהי [math]\displaystyle{ x\in f^{-1}[f[A]] }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ f(x)\in f[A] }[/math], אז קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] עם [math]\displaystyle{ f(x)=f(a) }[/math], ומחח"ע נובע [math]\displaystyle{ x=a\in A }[/math]. דוגמה שבה אין שוויון בלי חח"ע: [math]\displaystyle{ f:\{1,2\}\to\{1\} }[/math] (הפונקציה היחידה האפשרית), [math]\displaystyle{ A=\{2\} }[/math]. אז [math]\displaystyle{ f^{-1}[f[A]]=f^{-1}[\{1\}]=\{1,2\}\neq A }[/math].

טעויות נפוצות

• בלבול בין התמונה ההפוכה [math]\displaystyle{ f^{-1}[Y] }[/math] (מוגדרת לכל פונקציה, פועלת על תת-קבוצות, בסוגריים מרובעים) לבין הפונקציה ההופכית [math]\displaystyle{ f^{-1}(y) }[/math] (קיימת רק לפונקציה הפיכה, פועלת על איברים, בסוגריים עגולים).
• לבדוק רק שהנוסחה "נראית הגיונית" מבלי לעבור על שלושת תנאי המוגדרות היטב, ובפרט לשכוח לבדוק שהתוצאה תלויה רק בערך ולא בייצוג שבחרנו (כמו בדוגמת השבר [math]\displaystyle{ p/q }[/math] למעלה).
• לחשוב שאם [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math] חח"ע (או על) אז גם [math]\displaystyle{ f }[/math] וגם [math]\displaystyle{ g }[/math] בנפרד בהכרח חח"ע (או על) - רק אחת משתי הפונקציות מובטחת, לא שתיהן (ראו משפט ההרכבה ודוגמה 4 ושאלה 4).
• להתבלבל בין תמונה/תמונה הפוכה של איבר בודד לבין תמונה/תמונה הפוכה של תת-קבוצה - חשוב לבדוק תמיד האם מה שבתוך הסוגריים הוא איבר או קבוצה.
• לחשוב שההגדרה הישנה של פונקציה כ"יחס חד-ערכי" (בלי דרישת שלמות) (המוצגת בסרטון המבוא הישן למטה) זהה להגדרת פונקציה הנלמדת כעת בקורס (יחס חד-ערכי ושלם) - אלה שתי הגדרות שונות, ורק ההגדרה השנייה תקפה בקורס הנוכחי.

שאלות ממבחנים

• מועד א' קיץ תשפ"ו 2026, שאלה 2 (א-ב) — מבחן · פתרון (תכונת 'תת-על' (B∖Img(f) סופית) והשתמרותה בהרכבה g∘f)
• מועד ב' קיץ תשפ"ו 2026, שאלה 2 (א-ב) — מבחן · פתרון (תכונת 'תת-חח"ע' (|f⁻¹[{b}]|≤2) והשתמרותה בהרכבת פונקציות)
• מועד א' קיץ תשפ"ה 2025, שאלה 4 — מבחן · פתרון (אם f[X]=g[X] (או f^{-1}[X]=g^{-1}[X]) לכל תת-קבוצה דו-איברית X, אז f=g)
• מועד א' קיץ תשפ"ג 2023, שאלה 3 — מבחן · פתרון (פונקציה f(a)={b|a⪯b} מיחס סדר חלקי לקבוצת החזקה: חח"ע, איברים מינימליים וסופרימום)
• מועד א' קיץ תש"פ 2020, שאלה 4 — מבחן · פתרון (פונקציה המוגדרת לפי חיתוך איברי קבוצה - מציאת שני מקורות זרים לאותה תמונה, ומספר המקורות לקבוצה נתונה)
• מועד א' תשע"ט 2019, שאלה 3(א-ב) — מבחן · פתרון (פונקציה מחזורית - הוכחה שאינה על, ובדיקה האם הרכבתה עם עצמה (f∘f) נשארת מחזורית)
• מועד ב' תשע"ט 2019, שאלה 3(ב) — מבחן · פתרון (הוכחה כי לפונקציה הפיכה f:X→Y מתקיים f[X\A]=Y\f[A])
• מועד א' תשע"ח 2018, שאלה 3 — מבחן · פתרון (שימור חח"ע/על תחת הרכבת פונקציות, והגדרת פונקציה "מצטמצמת משמאל" כשקולה לחח"ע)
• מועד א' תשע"ח 2018, שאלה 5ב — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של יחסי הכלה בין תמונת המשלים של תמונה הפוכה לבין משלים הקבוצה, עבור פונקציה f:N→N)
• מועד א' קיץ תשע"ו 2016, שאלה 2א — מבחן · פתרון (f:ℕ→ℕ על ו-f(n)=g(3n+1) - הוכחה ש-g אינה חח"ע)
• מועד א' קיץ תשע"ה 2015, שאלה 2ב — מבחן (F:P(X)→P(Y) מוגדרת ע"י F(A)=f[A] כאשר f:X→Y חח"ע ועל; הוכחת חח"ע ועל של F ומציאת F⁻¹)
• מועד ב' קיץ תשע"ה 2015, שאלה 2ב — מבחן (f:A→B, D1,D2⊆B, C1,C2⊆A: הוכחה/הפרכה ל-f⁻¹(D1∪D2)=f⁻¹(D1)∪f⁻¹(D2) ול-f(C1\C2)=f(C1)\f(C2))
• בוחן חורף תשע"ג 2013, שאלה שאלה 4א — מבחן · פתרון (הוכחה או הפרכה של טענה על תמונה/תמונה הפוכה של פונקציה ביחס לאיחוד קבוצות)
• מועד ב' 2011 - פתרון בלבד (תשע"א מועד ב), שאלה שאלה 1 (א-ב) — מבחן (חח"ע/על של φ(g)=g∘f בין C^B ל-C^A ביחס לחח"ע/על של f (|C|≥2))
• מועד ב' 2011 - פתרון בלבד (תשע"א מועד ב), שאלה שאלה 2 (חלק 1) — מבחן (f:X→Y על Y אם"ם קיימת h:Y→X עם f∘h=id_Y (הופכי מימין))
• מועד א' 2010 - פתרון בלבד (תש"ע מועד א), שאלה שאלה 1 — מבחן (הוכח/הפרך טענות על f^{-1}[f[C]] ו-f[f^{-1}[C]] כאשר h=g∘f חח"ע או על)

הרשימה המלאה, לפי מבחן ולפי נושא: מתמטיקה בדידה/אינדקס שאלות.

סרטונים

הגדרת פונקציה כיחס (סרטון ישן - שימו לב: כאן פונקציה מוגדרת רק כיחס חד-ערכי, ללא דרישת שלמות; ההגדרה העדכנית הנלמדת בקורס דורשת גם שלמות, כמפורט בהגדרה למעלה):

חד-חד-ערכיות, היות על, תמונה ותמונה הפוכה של קבוצה, ומשפט ההכלות ביניהן:

הרכבת פונקציות, פונקציית הזהות, פונקציה הפיכה והמשפט המאפיין אותה:

מהי פונקציה "מוגדרת היטב" ושלושת התנאים שיש לבדוק: