תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב
תחרות זו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן.
דירוג סופי - היכל התהילה:
הכלל לפיו דירגתי הוא חצי נקודה על פתרון שתוקן, וחצי נקודה על תיקון פתרון. מי שחושב שיש טעות שמשנה את הדירוג, מתבקש להודיע לי באימייל. בועז צבאן
1. עמנואל סגל (11)
2. אלעד איטח (7.5) ונפתלי וקסמן (6.5)
3. נעם ליפשיץ (3.5) - לנעם מגיעה תודה מיוחדת על עזרה בבדיקת הפתרונות.
4. אוהד קליין (2), נטע צדוק (2), אופיר שפיגלמן (1.5)
5. נוי מאור (1)
כל הכבוד לכל הזוכים בתחרות! אפשר להמשיך להוסיף פתרונות ולתקן או לשפר פתרונות, שלא על מנת לקבל פרס אלא לטובת הדורות הבאים...
הנחיות[עריכה]
0. קרא בעיון את החוברת על משפט ג'ורדן, כולל התירגול בסוף. פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.
1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן. למשל, יש בחינות במאגר הבחינות של ד"ר צבאן.
2. אם המבחן שמצאת אינו במאגר הבחינות של ד"ר צבאן, שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.
3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר טרם נכתבה להלן. כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון, לפי הדוגמאות להלן. אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.
4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות. בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו. (תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)
שיתוף פעולה: תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.
שבת מנוחה: כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.
5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון. צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד לא העליתם את הפתרון בויקי. לעזרה ראה: איך כותבים בויקי.
6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).
7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה. בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו לכבוד רב!
- לנוחיותכם, להלן תבנית להעלאת שאלה. השלבים:
א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".
ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.
ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.
ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).
זה הכל.
תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)[עריכה]
להכניס כאן את השאלה.
אוניברסיטת בר-אילן[עריכה]
???, מועד א', שאלה 5 (עדין)- אלעד איטח[עריכה]
א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי. ב. מצא צורת ג'ורדן של [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 2&2 &-1 \\ 0 &-1 &2 \\ 0 &-6 &6 \end{pmatrix} }[/math]
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (השנה לא ברורה).
תש"ס, מועד א', שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק) - אלעד איטח[עריכה]
תהי [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 2 &1 &0&0 \\ 0 &2 &0 &0 \\ 0 &0 &2 &0 \\ 0 &0 &0 &5 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4X4} }[/math]
[math]\displaystyle{ V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4} }[/math] יסמן את מרחב הווקטורים העצמיים המתאימים לע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. אזי:
א. [math]\displaystyle{ dim(V_{2})+dim(V_{5})=3 }[/math]
ב. אף אחת מהתשובות האחרות אינה נכונה.
ג. [math]\displaystyle{ dim(V_{2})=3 }[/math]
ד. [math]\displaystyle{ V_{2}\oplus V_{5}=\mathbb{R}^{4} }[/math]
קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf
תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר) - אלעד איטח,נעם ליפשיץ[עריכה]
תהי [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix} }[/math]
א. מצא את הפולינום האופייני של A. ב. מצא את הפולינום המינימאלי של A. ג. מצא את הערכים העצמיים של A. ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב'). ה. מצא צורת ג'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב').
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf
תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי) - אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ[עריכה]
נניח שלמטריצות [math]\displaystyle{ A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3} }[/math] יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות [math]\displaystyle{ A }[/math] ו [math]\displaystyle{ B }[/math] דומות.
פתרון (אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ)
- עד כאן בדקתי ותיקנתי, פחות או יותר. בועז צבאן 01:10, 9 בינואר 2012 (IST)
תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר) - עמנואל סגל[עריכה]
מצא צורת ג'ורדן ל- [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math].
תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין) - עמנואל סגל[עריכה]
יהי [math]\displaystyle{ T }[/math] אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא [math]\displaystyle{ p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2) }[/math].
א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור [math]\displaystyle{ T }[/math].
ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ T }[/math] הוא [math]\displaystyle{ m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2) }[/math], מהו מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור [math]\displaystyle{ T }[/math]?
תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן) - עמנואל סגל[עריכה]
תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{C}^{8\times 8} }[/math] שהפ"א שלה הוא [math]\displaystyle{ (t-1)^{4}(t-2)^{4} }[/math] והפ"מ שלה הוא [math]\displaystyle{ (t-1)^{2}(t-2) }[/math]. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.
תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן) - עמנואל סגל[עריכה]
נתבונן במטריצה [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0&1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]
מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.
תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין) - נפתלי וקסמן[עריכה]
יהי [math]\displaystyle{ T }[/math] אופרטור לינארי עם פולינום אופייני [math]\displaystyle{ f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2) }[/math]
מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור [math]\displaystyle{ T }[/math].
אם נתון כי [math]\displaystyle{ m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2) }[/math] אז מצא את מס' הצורות האפשריות.
תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי) - נפתלי וקסמן, נעם ליפשיץ[עריכה]
הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 3 &0 & 0\\ 0 & 0 &0 \\ 0&0 & 0 \end{pmatrix} }[/math]
פתרון יותר יפה פתרון (נעם)
תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי) - נפתלי וקסמן[עריכה]
תהי [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 \\ 0 & 0 &0 & 1\\ 1& 0 &0 &-2 \\ 0& 1 & 2 &0 \end{pmatrix} }[/math] קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.
א. מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] ב. מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]
השלם את ההוכחה
האוניברסיטה העברית[עריכה]
תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט) - אלעד איטח[עריכה]
תהי [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 3 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix} }[/math] אזי:
א. A מטריצה בצורת ג'ורדן.
ב. A לכסינה.
ג. הפולינום האופייני והמינימלי של A שווים.
ד. 3 איננו שורש של הפולינום המינימלי של A.
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf
תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,שלו) - אלעד איטח[עריכה]
תהי [math]\displaystyle{ T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4} }[/math] מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י: [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 4 &1 &0 &0 \\ 0 &4 &0 &0 \\ 0 &0 &4 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} }[/math]
א. מהם הע"ע של T?
ב. מהם מימדי המרחבים העצמיים המתאימים?
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf
תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי) - אלעד איטח[עריכה]
תהי [math]\displaystyle{ T }[/math] ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי. [math]\displaystyle{ Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3}) }[/math] מי מהטענות הבאות נכונה?
1. [math]\displaystyle{ T^{3}=0 }[/math]
2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.
3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.
4.[math]\displaystyle{ T^{3}\neq 0 }[/math]
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf
תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי) - אלעד איטח[עריכה]
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\ 0 & 5 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} }[/math]
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf
תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) -אלעד איטח[עריכה]
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math] מעל שדה המרוכבים
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf
תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) - נפתלי וקסמן[עריכה]
נתונות המטריצות
[math]\displaystyle{ A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right), B=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right) }[/math]
האם הן דומות? הוכח את טענתך.
תפרט את החישובים
תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) - אוהד קליין[עריכה]
נתונה המטר': [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 3 & 0\\ 4 & 5 & 6 & 3 \end{pmatrix} }[/math]
א) מצא את צורת ג'ורדן של A
ב) מצא P הפיכה כך ש [math]\displaystyle{ P^{-1}AP }[/math] היא צורת זורדן של A.
מקור: [1]
תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע) - אופיר שפיגלמן[עריכה]
שאלה: תהי [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{C}^{n \times n} }[/math]. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ A\sim A^{t} }[/math].
תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע) - אוהד קליין[עריכה]
השאלה:
תהי [math]\displaystyle{ A \in M_n(C) }[/math] המטר' הבאה: [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 0 & 1\\ 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & 1 & 0 \end{pmatrix} }[/math] . מצא את צורת הג'ורדן שלה.
מקור: [2]
תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע) - עמנואל סגל[עריכה]
מצא צורת ג'ורדן ל-[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 2&1 & 0 & 0\\ 0& 2 & 1 &0 \\ 0 & 0& 2 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4} }[/math]
תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר) - נפתלי,עמנואל,בועז[עריכה]
אלו מבין המטריצות הבאות דומות?
[math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 2 &4 \\ 4 &2 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix} }[/math]
תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק) - נפתלי וקסמן[עריכה]
כל שתי מטריצות [math]\displaystyle{ A,B\epsilon M_{n}C }[/math] שמקיימות
[math]\displaystyle{ f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3) }[/math]
[math]\displaystyle{ m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3) }[/math]
הן דומות.
תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע) - נפתלי וקסמן[עריכה]
מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 1 &0 & 0 &0 \\ 4 & 2 &0 & 0\\ 7 & 5 & 3 & 0\\ 9 &8 & 6 & 2 \end{pmatrix} }[/math]
תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק) - עמנואל סגל[עריכה]
תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\in M_n(F) }[/math], ונניח של-[math]\displaystyle{ A }[/math] יש [math]\displaystyle{ n }[/math] ע"ע שונים ב-[math]\displaystyle{ F }[/math]. הוכח/הפרך: אם ל[math]\displaystyle{ A,B }[/math] אותו פ"א אז הן דומות.
לא צריך את משפט ג'ורדן בשביל להוכיח את זה וזה הוכחה מעגלית
תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום) - עמנואל סגל[עריכה]
תהיינה [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix} }[/math] , [math]\displaystyle{ B=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix} }[/math]
ענו נכון/לא נכון:
א)[math]\displaystyle{ A }[/math] דומה ל [math]\displaystyle{ B }[/math]
ב)[math]\displaystyle{ dimkerA=dimkerB }[/math].
תשס"ג, מועד ב', שאלה 1 בחלק III (לובוצקי+דה-שליט) - עמנואל סגל[עריכה]
מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות.
(הערה: לדעתי יש אי-דיוק קל בניסוח השאלה, כי יש לומר שהשתיים אינן זהות, אבל זה חסר חשיבות.)
תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג) - עמנואל סגל[עריכה]
מצא את צורת ג'ורדן של [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 &0 \\ 1& 4 & 0 & 0\\ 2& 3& 3 &0 \\ 4 & 5 &6 & 3 \end{pmatrix} }[/math].
תשס"ה, מועד א', שאלה 9 (מוזס+סלע) - עמנואל סגל[עריכה]
תהי [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{C} ^{n \times n} }[/math].
הוכיחו כי צורת ג'ורדן של [math]\displaystyle{ A }[/math] היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים.
אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב)[עריכה]
בסעיף זה יובאו פתרונות של שאלות מתוך בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט
יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 22 (וייט) - נטע צדוק[עריכה]
תהי מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] בעלת הפולינום האופייני: [math]\displaystyle{ P_A(x)=(x-3)^5 }[/math] והפולינום המינימלי: [math]\displaystyle{ M_A(x)=(x-3)^3 }[/math].
א. מנה את כל צורות הג'ורדן האפשריות למטריצה זו.
ב. קבע מהי צורת הג'ורדן של המטריצה:
[math]\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0 & -2 & 0\\ 1 & 0& 3& -1& 0\\ 0 & -1& 2& 3& 0\\ 0 & 2& -3& 0& 3 \end{bmatrix} }[/math]
לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי המוזכרים בסעיף א'.
יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 21 (וייט) - נטע צדוק[עריכה]
מצא את כל צורות ג'ורדן האפשריות לסעיפים הבאים. הסבר את תשובתיך!
א. אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ T }[/math] שהפולינום האופייני שלו הוא: [math]\displaystyle{ P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2 }[/math] והפולינום המינימלי שלו הוא: [math]\displaystyle{ M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2 }[/math]
ב. אופרטור לינארי [math]\displaystyle{ T }[/math] שהפולינום האופייני שלו הוא: [math]\displaystyle{ P_T(x)=(x-4)^5 }[/math] ונתון גם ש: [math]\displaystyle{ dim(ker(T-4I))=3 }[/math]
יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 4 (וייט) - נעם ליפשיץ[עריכה]
הראה שלכל מטריצה הפיכה A יש שורש ריבועי כלומר מטריצה B כך ש [math]\displaystyle{ B^{2}=A }[/math] (פתרון: נעם ליפשיץ)
יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 13 (וייט) - נעם ליפשיץ[עריכה]
נניח A וB מטריצות מרוכבות ונניח שיש להם אותם וקטורים עצמיים.
הראה שאם הפולינום המינימלי של A הוא [math]\displaystyle{ (x+1)^{2} }[/math] והפולינום האופייני של B הוא [math]\displaystyle{ x^{5} }[/math]
אז [math]\displaystyle{ B^{3}=0 }[/math]
יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 25 (וייט) - נוי מאור[עריכה]
תהיינה
A=[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]
B=[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]
C=[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} }[/math]
א. מצא את הפולינום האופייני של המטריצות
ב. מצא את הפולינום המינימלי של המטריצות
ג. מצא את הערכים העצמיים של המטריצות
ד. מצא את המימדים של כל המרחבים העצמיים של המטריצות
ה. מצא את צורת הג'ורדן של המטריצות