העתקה לינארית

בקצרה: העתקה לינארית היא פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] בין שני מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה, השומרת על חיבור וכפל בסקלר: [math]\displaystyle{ T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1 }[/math]. כדי להוכיח שפונקציה היא העתקה לינארית בודקים ישירות את שתי התכונות (או משתמשים בצירוף שלהן: [math]\displaystyle{ T(\alpha v_1+v_2)=\alpha Tv_1+Tv_2 }[/math]); כדי להפריך, מספיק דוגמה נגדית אחת - בדרך כלל בבדיקה ש-[math]\displaystyle{ T(0_V)\neq 0_W }[/math].

העתקה לינארית (נקראת גם פונקציה לינארית, טרנספורמציה לינארית ובאופן כללי הומומורפיזם) היא הכללה של "פונקציה לינארית" מבית הספר (קו ישר דרך הראשית) למרחבים וקטוריים כלליים. הנושא נלמד בפרק 5 בקורס, מיד אחרי מרחבים וקטוריים ובסיסים, ומשמש בסיס להמשך (דטרמיננטות, ערכים ווקטורים עצמיים, לכסון). לכל העתקה לינארית מוגדרים גרעין ותמונה, חל עליה משפט הדרגה (נקרא גם משפט דרגה-אפסות, ולעיתים בטעות "משפט המימדים" - ראו הבהרה בהמשך), וניתן לייצג אותה על ידי מטריצה מייצגת ביחס לבחירת בסיסים. סטודנטים מחפשים דף זה גם תחת "העתקות לינאריות" ו"טרנספורמציה לינארית".

הגדרה

יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. פונקציה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] נקראת העתקה לינארית (ה"ל) אם לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V,\ \alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים:

1. [math]\displaystyle{ T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2) }[/math]
2. [math]\displaystyle{ T(\alpha v_1)=\alpha T(v_1) }[/math]

באופן שקול: [math]\displaystyle{ T }[/math] היא העתקה לינארית אם ורק אם לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V,\ \alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ T(\alpha v_1+v_2)=\alpha T(v_1)+T(v_2) }[/math].

הערת סימון: נהוג לכתוב [math]\displaystyle{ Tv }[/math] במקום [math]\displaystyle{ T(v) }[/math] (כמו כפל) - כי כל העתקה לינארית בין מרחבים נוצרים סופית היא בעצם כפל במטריצה (ראו בהמשך). כשמפעילים על צירוף וקטורים משאירים סוגריים כדי למנוע דו-משמעות: [math]\displaystyle{ T(v_1+v_2) }[/math] ולא [math]\displaystyle{ Tv_1+v_2 }[/math].

תכונות מיידיות: לכל העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] מתקיים

• [math]\displaystyle{ T(\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n)=\alpha_1T(v_1)+\cdots+\alpha_nT(v_n) }[/math] (שימור צירופים לינאריים כלליים, לא רק סכום של שני איברים)
• [math]\displaystyle{ T(0_V)=0_W }[/math] - כל העתקה לינארית שולחת את וקטור האפס של התחום לוקטור האפס של הטווח.

דוגמאות בסיסיות

• העתקת מטריצה: לכל [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ L_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ L_A(v)=Av }[/math] היא העתקה לינארית - זו נובעת ישירות מחוקי הדיסטריבוטיביות של כפל מטריצות: [math]\displaystyle{ A(\alpha v_1+v_2)=\alpha Av_1+Av_2 }[/math].
• העתקת הזהות [math]\displaystyle{ I:V\to V,\ Iv=v }[/math], והעתקת האפס [math]\displaystyle{ 0:V\to W,\ v\mapsto 0_W }[/math], הן תמיד העתקות לינאריות.
• העקבה [math]\displaystyle{ trace:\mathbb{F}^{n\times n}\to\mathbb{F} }[/math] היא העתקה לינארית.
• הנגזרת [math]\displaystyle{ D:\mathbb{R}_n[x]\to\mathbb{R}_{n-1}[x],\ D(p)=p' }[/math] היא העתקה לינארית (מחוקי הנגזרת: הנגזרת של סכום היא סכום הנגזרות, וסקלר יוצא מחוץ לנגזרת).
• עבור מרחב [math]\displaystyle{ V }[/math] ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math] עם בסיס [math]\displaystyle{ B }[/math], העתקת הקואורדינטות [math]\displaystyle{ T:V\to\mathbb{F}^n,\ v\mapsto[v]_B }[/math] היא העתקה לינארית (למעשה איזומורפיזם, ראו בהמשך).

גרעין ותמונה

תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית.

• הגרעין של [math]\displaystyle{ T }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \ker T=\{v\in V\mid Tv=0_W\} }[/math] - אוסף כל הוקטורים בתחום שנשלחים לאפס. הגרעין הוא תת מרחב של [math]\displaystyle{ V }[/math].
• התמונה של [math]\displaystyle{ T }[/math] היא [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}T=\{Tv\mid v\in V\}=\{w\in W\mid \exists v\in V:\, Tv=w\} }[/math] - אוסף כל הוקטורים בטווח שיש להם מקור. התמונה היא תת מרחב של [math]\displaystyle{ W }[/math]. זה ההבדל המרכזי: הגרעין חי בתחום ותלוי במה שנשלח לאפס, והתמונה חיה בטווח ותלויה במה שיש לו מקור.

משפטים ותכונות

קריטריונים לחח"ע ועל

• [math]\displaystyle{ T }[/math] חד-חד-ערכית אם ורק אם [math]\displaystyle{ \dim\ker T=0 }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ \ker T=\{0_V\} }[/math]).
• [math]\displaystyle{ T }[/math] על אם ורק אם [math]\displaystyle{ \dim\operatorname{Im}T=\dim W }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}T=W }[/math]).

זה הופך את השאלות "האם הפונקציה חח"ע/על" לשאלות של חישוב מימדים, שיודעים לפתור באמצעות דירוג מטריצות.

משפט הדרגה (רנק-נאליטי)

תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית. אזי:

[math]\displaystyle{ \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=\dim(V) }[/math]

שימו לב שמימד [math]\displaystyle{ W }[/math] עצמו אינו מופיע בנוסחה - "הנציג" של [math]\displaystyle{ W }[/math] במשפט הוא בדיוק התמונה. הוכחה מלאה מופיעה בדף משפט הדרגה (השלמת בסיס לגרעין לבסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math], ואז הוכחה שתמונות איברי ההשלמה מהוות בסיס לתמונה); ראו גם וידאו בהמשך.

הבהרה - משפט הדרגה מול "משפט המימדים": סטודנטים רבים מחפשים "משפט המימדים" כשהכוונה למשפט הזה (רנק-נאליטי), אבל בוויקי הזה השם "משפט המימדים" שמור למשפט אחר - הנוסחה [math]\displaystyle{ \dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W) }[/math] עבור שני תת-מרחבים של אותו מרחב (ראו משפט המימדים). המשפט על גרעין ותמונה של העתקה לינארית נקרא כאן תמיד משפט הדרגה. אל תתבלבלו!

זיקה למטריצות: עבור [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] (העתקה לינארית [math]\displaystyle{ L_A }[/math]), הגרעין הוא מרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A) }[/math] והתמונה היא מרחב העמודות [math]\displaystyle{ C(A) }[/math], ולכן משפט הדרגה נותן [math]\displaystyle{ \dim N(A)+\operatorname{rank}(A)=n }[/math] - המשפט המוכר מדירוג מטריצות, בשפה כללית יותר.

מסקנות (עבור מרחבים נוצרים סופית):

• אם [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע אז [math]\displaystyle{ \dim V\leq \dim W }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ T }[/math] על אז [math]\displaystyle{ \dim V\geq \dim W }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ \dim V=\dim W }[/math] אז [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע אם ורק אם [math]\displaystyle{ T }[/math] על.

הומומורפיזם ואיזומורפיזם

העתקה לינארית נקראת גם הומומורפיזם. העתקה לינארית הפיכה (חח"ע ועל) נקראת איזומורפיזם, וההבדל היחיד בין המושגים הוא ההפיכות. שני מרחבים נקראים איזומורפיים אם קיים איזומורפיזם ביניהם - זהו יחס שקילות. משפט מרכזי: שני מרחבים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה אם ורק אם המימדים שלהם שווים (אם [math]\displaystyle{ T }[/math] איזומורפיזם ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס ל-[math]\displaystyle{ V }[/math] אז [math]\displaystyle{ T(B) }[/math] בסיס ל-[math]\displaystyle{ W }[/math], ולהפך - משפט ההגדרה שלהלן נותן איזומורפיזם מבסיסים באותו גודל).

משפט ההגדרה (קיום ויחידות לפי בסיס)

יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מרחבים וקטוריים מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], ויהי [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math] בסיס סדור ל-[math]\displaystyle{ V }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ w_1,\ldots,w_n\in W }[/math] סדרת וקטורים כלשהי (לאו דווקא שונים). אזי קיימת העתקה לינארית יחידה [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ Tv_i=w_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math].

במילים: אפשר להגדיר העתקה לינארית לגמרי על ידי ההחלטה לאן היא שולחת את איברי בסיס של התחום, ללא שום אילוץ (אפילו אם התמונות עצמן תלויות זו בזו). ההוכחה: לכל [math]\displaystyle{ x\in V }[/math] יש הצגה יחידה [math]\displaystyle{ x=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n }[/math], ומגדירים [math]\displaystyle{ Tx:=\alpha_1w_1+\cdots+\alpha_nw_n }[/math]; בדיקה ישירה מראה שזו העתקה לינארית המקיימת את הדרישה, ומהיחידות של ההצגה נובעת גם יחידות ההעתקה (ראו וידאו בהמשך).

מסקנה שימושית: אם שתי העתקות לינאריות [math]\displaystyle{ T,S:V\to W }[/math] מסכימות על איברי בסיס כלשהו של [math]\displaystyle{ V }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ Tv_i=Sv_i }[/math] לכל [math]\displaystyle{ i }[/math]), אז [math]\displaystyle{ T=S }[/math] לגמרי.

מטריצה מייצגת - קיום ויחידות

יהיו [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מרחבים וקטוריים נוצרים סופית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \dim V=n }[/math] עם בסיס סדור [math]\displaystyle{ B }[/math], ו-[math]\displaystyle{ \dim W=m }[/math] עם בסיס סדור [math]\displaystyle{ C }[/math]. תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית. אזי קיימת מטריצה יחידה [math]\displaystyle{ [T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math]:

[math]\displaystyle{ [T]_C^B\,[v]_B=[Tv]_C }[/math]

כלומר, אי אפשר לכפול מטריצה ישירות בוקטור ממרחב כללי (למשל פולינום), אבל אם עוברים לעולם הקואורדינטות (המקדמים לפי הבסיס), הפעלת ההעתקה שקולה לגמרי לכפל במטריצה קבועה אחת. זו הסיבה שאומרים ש"כל העתקה לינארית בין מרחבים נוצרים סופית היא בעצם מטריצה". שימו לב שהמטריצה תלויה בבחירת הבסיסים B ו-C - בסיסים שונים נותנים מטריצה מייצגת שונה לאותה העתקה בדיוק.

שיטה / איך מוכיחים שפונקציה היא העתקה לינארית

1. בדקו תחילה את התנאי ההכרחי [math]\displaystyle{ T(0_V)=0_W }[/math]. אם הוא לא מתקיים - סיימתם, זו אינה העתקה לינארית (הדרך המהירה ביותר לפסול פונקציה).
2. אחרת, הוכיחו ישירות: קחו [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in V }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{F} }[/math] כלליים, וחשבו את [math]\displaystyle{ T(\alpha v_1+v_2) }[/math] מהנוסחה. אם מתקבל [math]\displaystyle{ \alpha T(v_1)+T(v_2) }[/math] - זו העתקה לינארית.
3. אם יש איברים לא-לינאריים בנוסחה (ריבועים, מכפלות קואורדינטות, קבועים מצטרפים) - כמעט תמיד לא לינארית; חפשו דוגמה נגדית קונקרטית (וקטור וכפולה שלו) כדי להפריך מהר.
4. קיצור דרך: העתקה שהיא "כפל במטריצה קבועה" תמיד לינארית (דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות); כך גם נגזרת ועקבה, מחוקי החדו"א/אלגברה המתאימים.
5. לבדוק אם העתקה הנתונה לפי תמונות בסיס קיימת (למשל "האם יש T עם Tv_i=w_i"): אם [math]\displaystyle{ \{v_i\} }[/math] בסיס - תמיד קיימת ויחידה (משפט ההגדרה). אם [math]\displaystyle{ \{v_i\} }[/math] תלוי לינארית, בודקים התאמה: אם [math]\displaystyle{ v_k=\sum c_iv_i }[/math] חייב [math]\displaystyle{ w_k=\sum c_iw_i }[/math], אחרת ההעתקה לא קיימת.

שיטה / איך מוצאים את המטריצה המייצגת

בהינתן העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] ובסיסים סדורים [math]\displaystyle{ B=\{v_1,\ldots,v_n\} }[/math] ל-[math]\displaystyle{ V }[/math] ו-[math]\displaystyle{ C }[/math] ל-[math]\displaystyle{ W }[/math], האלגוריתם למציאת [math]\displaystyle{ [T]_C^B }[/math]:

1. הפעילו את ההעתקה על כל איברי הבסיס [math]\displaystyle{ B }[/math] של התחום, וקיבלו [math]\displaystyle{ Tv_1,\ldots,Tv_n }[/math].
2. מצאו את הקואורדינטות של כל אחד מהוקטורים [math]\displaystyle{ Tv_i }[/math] לפי הבסיס [math]\displaystyle{ C }[/math] של הטווח, כלומר [math]\displaystyle{ [Tv_i]_C }[/math].
3. שימו את וקטורי הקואורדינטות הללו בעמודות - העמודה ה-[math]\displaystyle{ i }[/math] היא [math]\displaystyle{ [Tv_i]_C }[/math]:

   [math]\displaystyle{ [T]_C^B=\begin{pmatrix}| & & | \\ [Tv_1]_C & \cdots & [Tv_n]_C \\ | & & | \end{pmatrix} }[/math]

מקרה נוח: אם [math]\displaystyle{ C }[/math] הבסיס הסטנדרטי [math]\displaystyle{ S }[/math] של [math]\displaystyle{ W=\mathbb{F}^m }[/math], הקואורדינטות לפיו הן פשוט הרכיבים עצמם, ואפשר לשים את [math]\displaystyle{ Tv_1,\ldots,Tv_n }[/math] בעמודות ישירות.

כשהבסיסים אינם סטנדרטיים: עובדים עם מטריצות מעבר, למשל [math]\displaystyle{ [T]_C^B=[I]_C^S\,[T]_S^E\,[I]_E^B }[/math] כאשר E ו-S בסיסים נוחים (לרוב סטנדרטיים) של V ושל W בהתאמה.

בכיוון ההפוך - מציאת גרעין ותמונה מהמטריצה המייצגת: לאחר מציאת [math]\displaystyle{ A=[T]_C^B }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ [\ker T]_B=N(A) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ [\operatorname{Im}T]_C=C(A) }[/math]; מוצאים בסיס לגרעין/עמודות כרגיל, ומתרגמים חזרה - מכפילים כל וקטור קואורדינטות באיברי הבסיס המתאים.

דוגמאות

דוגמה 1: בדיקה שפונקציה אינה העתקה לינארית

בדקו האם [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\ T(x,y)=(x+y,\,x+1) }[/math] העתקה לינארית.

פתרון: תנאי הכרחי: [math]\displaystyle{ T(0,0)=(0,1)\neq(0,0) }[/math], ולכן אינה העתקה לינארית (הקבוע "+1" הורס את הלינאריות). באופן דומה גם [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\ T(x,y)=(x^2,y^2,0) }[/math] אינה לינארית: [math]\displaystyle{ T(2,2)=(4,4,0) }[/math] בעוד [math]\displaystyle{ 2T(1,1)=(2,2,0)\neq(4,4,0) }[/math].

דוגמה 2: משפט ההגדרה - קיום ואי-קיום

א. האם קיימת העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}_2[x] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ T(1,0)=1+x }[/math] ו-[math]\displaystyle{ T(0,1)=x-x^2 }[/math]?

פתרון: [math]\displaystyle{ \{(1,0),(0,1)\} }[/math] בסיס, ולכן לפי משפט ההגדרה קיימת ויחידה. מהצגה [math]\displaystyle{ (a,b)=a(1,0)+b(0,1) }[/math] מקבלים הנוסחה [math]\displaystyle{ T(a,b)=aT(1,0)+bT(0,1)=a+(a+b)x-bx^2 }[/math].

ב. האם קיימת [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}_2[x] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ T(1,1,0)=x }[/math], [math]\displaystyle{ T(0,1,-1)=1-x^2 }[/math], [math]\displaystyle{ T(1,0,1)=x+x^2 }[/math]?

פתרון: [math]\displaystyle{ (1,1,0)-(0,1,-1)=(1,0,1) }[/math] - יש תלות. אילו הייתה קיימת העתקה כזו: [math]\displaystyle{ T(1,1,0)-T(0,1,-1)=x-(1-x^2)=x^2+x-1 }[/math], אבל נדרש [math]\displaystyle{ T(1,0,1)=x+x^2 }[/math] - סתירה. לכן אין העתקה כזו (כמו קו ישר שלא עובר בשלוש נקודות לא-קוליניאריות).

דוגמה 3: מציאת בסיס לתמונה

תהי [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}_2[x] }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ T(a,b,c)=(a+b)+(b-c)x+(a+c)x^2 }[/math]. מצאו בסיס לתמונה.

פתרון: מפעילים על הבסיס הסטנדרטי [math]\displaystyle{ \{e_1,e_2,e_3\} }[/math]: [math]\displaystyle{ T(e_1)=1+x^2,\ T(e_2)=1+x,\ T(e_3)=-x+x^2 }[/math]. תמונות בסיס התחום פורשות את התמונה: [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{1+x^2,\,1+x,\,-x+x^2\} }[/math]. שמים מקדמים בעמודות ומדרגים כדי לצמצם תלויות; מתקבלים שני וקטורים בת"ל בלבד (כי [math]\displaystyle{ -x+x^2=(1+x^2)-(1+x) }[/math]; למשל [math]\displaystyle{ 1+x^2,\,1+x }[/math]), ולכן [math]\displaystyle{ \dim\operatorname{Im}T=2 }[/math] וזה בסיס לתמונה.

דוגמה 4: בניית מטריצה מייצגת (הנגזרת כמטריצה)

תהי [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}_3[x]\to\mathbb{R}_2[x],\ T(p)=p' }[/math] (הנגזרת, לינארית מחוקי הנגזרת). יהי [math]\displaystyle{ B=\{1,x^3,x^2,x\} }[/math] בסיס ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{R}_3[x] }[/math] ו-[math]\displaystyle{ C=\{1,x^2,x\} }[/math] בסיס ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x] }[/math]. מצאו את [math]\displaystyle{ [T]_C^B }[/math].

פתרון: [math]\displaystyle{ T(1)=0,\ T(x^3)=3x^2,\ T(x^2)=2x,\ T(x)=1 }[/math]. קואורדינטות לפי [math]\displaystyle{ C=(1,x^2,x) }[/math]: [math]\displaystyle{ (0,0,0),\,(0,3,0),\,(0,0,2),\,(1,0,0) }[/math]. בעמודות:

[math]\displaystyle{ [T]_C^B=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&3&0&0\\0&0&2&0\end{pmatrix} }[/math]

כלומר לגזור שקול לכפול את וקטור המקדמים (לפי B) במטריצה הזו ולקבל את מקדמי הנגזרת (לפי C) - גם פעולה "אנליטית" היא בעולם המקדמים כפל במטריצה קבועה.

שאלות תרגול

שאלה 1

בדקו האם [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 }[/math] המוגדרת [math]\displaystyle{ T(x,y)=(2x-y,\,x+y) }[/math] היא העתקה לינארית.

פתרון

בודקים ישירות: [math]\displaystyle{ T(\alpha(x_1,y_1)+(x_2,y_2))=\big(2(\alpha x_1+x_2)-(\alpha y_1+y_2),\ (\alpha x_1+x_2)+(\alpha y_1+y_2)\big)=\alpha(2x_1-y_1,\,x_1+y_1)+(2x_2-y_2,\,x_2+y_2)=\alpha T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2) }[/math]. כן - העתקה לינארית (זו העתקת המטריצה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix} }[/math]).

שאלה 2

תהי [math]\displaystyle{ T:V\to W }[/math] העתקה לינארית ו-[math]\displaystyle{ U\leq V }[/math] תת-מרחב. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ T(U) }[/math] הוא תת-מרחב של [math]\displaystyle{ W }[/math].

פתרון

כיוון ש-[math]\displaystyle{ 0_V\in U }[/math] ו-[math]\displaystyle{ T(0_V)=0_W }[/math], מתקיים [math]\displaystyle{ 0_W\in T(U) }[/math]. יהיו [math]\displaystyle{ w_1,w_2\in T(U) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] סקלר; קיימים [math]\displaystyle{ u_1,u_2\in U }[/math] עם [math]\displaystyle{ Tu_1=w_1,\,Tu_2=w_2 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \alpha w_1+w_2=T(\alpha u_1+u_2) }[/math] (לינאריות), וכיוון ש-[math]\displaystyle{ U }[/math] תת-מרחב [math]\displaystyle{ \alpha u_1+u_2\in U }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \alpha w_1+w_2\in T(U) }[/math]. סה"כ [math]\displaystyle{ T(U) }[/math] תת-מרחב.

שאלה 3

תהי [math]\displaystyle{ T:V\to V }[/math] העתקה לינארית. הוכיחו כי [math]\displaystyle{ \ker T\subseteq\ker T^2 }[/math] וכי [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}T^2\subseteq\operatorname{Im}T }[/math].

פתרון

אם [math]\displaystyle{ v\in\ker T }[/math] אז [math]\displaystyle{ Tv=0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ T^2v=T(Tv)=T(0)=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ v\in\ker T^2 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ v\in\operatorname{Im}T^2 }[/math] אז קיים [math]\displaystyle{ u }[/math] עם [math]\displaystyle{ T^2u=v }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ T(Tu)=v }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ v\in\operatorname{Im}T }[/math] (עם המקור [math]\displaystyle{ Tu }[/math]).

שאלה 4

תהי [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 }[/math] העתקה לינארית. האם ייתכן ש-[math]\displaystyle{ T }[/math] חד-חד-ערכית? נמקו לפי משפט הדרגה.

פתרון

לא. לפי משפט הדרגה [math]\displaystyle{ \dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=\dim\mathbb{R}^3=3 }[/math]. אילו [math]\displaystyle{ T }[/math] הייתה חח"ע היה מתקיים [math]\displaystyle{ \dim\ker T=0 }[/math], ואז [math]\displaystyle{ \dim\operatorname{Im}T=3 }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}T\subseteq\mathbb{R}^2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \dim\operatorname{Im}T\leq 2 }[/math] - סתירה. (זו בדיוק המסקנה: אם [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע אז [math]\displaystyle{ \dim V\leq\dim W }[/math], וכאן [math]\displaystyle{ 3\leq 2 }[/math] אינו נכון.)

שאלה 5

מצאו את המטריצה המייצגת [math]\displaystyle{ [T]_S^E }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ E=\{1,x,x^2\} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ S=\{(1,0),(0,1)\} }[/math] הם הבסיסים הסטנדרטיים המתאימים, וההעתקה [math]\displaystyle{ T:\mathbb{R}_2[x]\to\mathbb{R}^2 }[/math] נתונה על ידי [math]\displaystyle{ T(a+bx+cx^2)=(b+c,\,a) }[/math].

פתרון

מפעילים על איברי [math]\displaystyle{ E }[/math]: [math]\displaystyle{ T(1)=(0,1),\ T(x)=(1,0),\ T(x^2)=(1,0) }[/math]. כיוון ש-[math]\displaystyle{ S }[/math] סטנדרטי, הקואורדינטות הן הרכיבים עצמם, ושמים בעמודות: [math]\displaystyle{ [T]_S^E=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\end{pmatrix} }[/math].

טעויות נפוצות

• לבלבל בין "משפט הדרגה" ל"משפט המימדים": משפט הדרגה עוסק בגרעין ותמונה של העתקה אחת ([math]\displaystyle{ \dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=\dim V }[/math]); משפט המימדים כאן עוסק בשני תתי-מרחבים ([math]\displaystyle{ \dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W) }[/math]) - שני משפטים שונים, למרות השמות הדומים.
• לשכוח לבדוק [math]\displaystyle{ T(0)=0 }[/math] לפני הוכחה ארוכה - כישלון בתנאי הזה פוסל את ההעתקה מיד.
• לבנות מטריצה מייצגת מבלי לעבור לקואורדינטות - כל עמודה חייבת להיות קואורדינטות לפי בסיס הטווח, לא הרכיבים עצמם (אלא אם הבסיס סטנדרטי).
• להניח שקיימת העתקה ששולחת קבוצה תלויה לאן שרוצים - משפט ההגדרה עובד רק על בסיס; קבוצה תלויה מחייבת בדיקת התאמה, אחרת ההעתקה לא קיימת.
• להתבלבל בסדר האינדקסים ב-[math]\displaystyle{ [T]_C^B }[/math] - העליון (B) בסיס התחום, התחתון (C) בסיס הטווח; כל עמודה היא קואורדינטות לפי C, לא לפי B.

שאלות ממבחנים

• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 2 — מבחן · פתרון (קביעה לפי פרמטר a האם קיימת/יחידה/אינסוף/אין העתקה לינארית עם Tu_i=v_i, כולל דרישת היות ההעתקה על על הטווח המצומצם)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה כי {T_i,j} בסיס ל-Hom(V,W), וכי {SR_i} וגם {R_iS} בסיסים ל-Hom(V,V) אמ"מ S הפיכה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ו, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה כי T על גוררת קיום S עם T∘S=I, וגרסה מטריציונית: T_A על גוררת קיום B עם AB=I)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 2 — מבחן · פתרון (העתקה T תלוית פרמטר a: לאילו a הפיכה, בדיקת שוויון תמונות/חד-חד-ערכיות, ובסיס עם עמודות ושורות אפסים במטריצה המייצגת)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 2ב-ג — מבחן · פתרון (קיום העתקה T עם W=Img(T) ו-U∩W=ker(T), והוכחה/הפרכה שהעתקה עם Img(T)=U+W הפיכה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ה, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחות על העתקות לינאריות S,T המוגדרות לפי פעולה על וקטורי בסיס, תוך שימוש ב-TS=ST)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ד, שאלה 5 — מבחן · פתרון (גרעין ותמונה של צמצום S ושל ההרכבה ST, ותנאי שוויון במשפט הדרגה)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ג, שאלה 3א-ב — מבחן · פתרון (מציאת ערכי הפרמטר a שעבורם Ta חד-חד-ערכית, ובסיס ומימד ל-ker T0 ו-Im T0)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 3 — מבחן · פתרון (לאילו ערכי פרמטר a קיימת העתקה T:R3→R3 המקיימת תנאים נתונים, מתי היא אינה חח"ע, ומתי ker T שווה למרחב נתון)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה של שלוש טענות המקשרות בין T²=0 לבין ריבוע המטריצה המייצגת [T]ᴮᶜ=0 עבור בסיסים שונים)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 4 — מבחן · פתרון (קיום בסיס של V שבו כל התמונות תחת T שונות מאפס, והוכחה/הפרכה לגבי ייצוג וקטור בקואורדינטות כווקטור אחדות)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 5 — מבחן · פתרון (תכונות ההעתקה S המקיימת TST=T (חיתוך גרעין ותמונה, הפרכת ker S={0}), וקיום העתקה כזו)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"ב, שאלה 4 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה: אם ImT∩ImS={0} אז kerT∩kerS={0}; והוכחה ש-ImT⊆ImS אם"ם קיימת R:V→V עם T=SR)
• מבחן מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 5 — מבחן · פתרון (הוכחה/הפרכה על מטריצות מייצגות של העתקות מתחלפות ביחס לבחירת בסיסים שונים)
• מבחן מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 2 — מבחן · פתרון (מטריצה מייצגת להעתקת A-A^t, גרעין ותמונה וחישוב הרכבת ההעתקה עם עצמה)
• מבחן מועד ג' סמסטר קיץ תשפ"א, שאלה 4 — מבחן · פתרון (עבור T,S:V→V עם T∘S=T: הוכחה/הפרכה ש-kerT=kerS, הוכחת dimImT≤dimImS, והוכחת dimIm(S-I)+dimImT≤n)

הרשימה המלאה, לפי מבחן ולפי נושא: אלגברה לינארית 1/אינדקס שאלות.

סרטונים

הגדרה, דוגמאות ודוגמאות נגדיות, והוכחת [math]\displaystyle{ T(0_V)=0_W }[/math]:

גרעין ותמונה - הגדרה, הוכחה שהם תתי-מרחבים, קשר לחח"ע ועל:

מציאת בסיס לתמונה מהפעלת ההעתקה על בסיס התחום:

הוכחת משפט הדרגה, וקשר למרחב האפס ומרחב העמודות:

מסקנות ממשפט הדרגה, הומומורפיזם ואיזומורפיזם:

משפט ההגדרה - קיום ויחידות לפי תמונות בסיס, עם דוגמאות קיום ואי-קיום:

מדוע כל העתקה בין מרחבים נוצרים סופית היא מטריצה בעולם הקואורדינטות:

הוכחת קיום ויחידות המטריצה המייצגת והאלגוריתם למציאתה: