מבחנים מהעבר

נושאי ההרצאות

שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.

הרצאה 1

מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.
שורש 2, 0.999.
חזקות.
לוגריתמים.
מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x,\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}x^2-x }[/math]

הרצאה 2

כמתים, שלילת כמתים.
חסמים.

הרצאה 3

ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.

הרצאה 4

גבול הוא יחיד.
- נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה.
הסדרה הקבועה.
כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה.
אריתמטיקה (חשבון) גבולות.
- (אי שיוויון המשולש.)
- סכום.
- מכפלה.
- חלוקה (תרגיל לבית).

הרצאה 5

התכנסות במובן הרחב.
אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכון.
סנדביץ' וחצי סדנביץ'.
[math]\displaystyle{ a_n\to 0 \iff |a_n|\to 0 }[/math]
חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.

הרצאה 6

אינדוקציה.
ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
- חסומה כפול אפיסה = אפיסה
- חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
- [math]\displaystyle{ \infty+\infty=\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ \infty\cdot\infty=\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ \infty^\infty=\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{0}\neq\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{1}{0^+}=\infty }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0^\infty = 0 }[/math]
- אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
- אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
- יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
- אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
- אם [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a^\infty=\infty }[/math]
המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
- [math]\displaystyle{ \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty }[/math]
מבחן המנה (ללא הוכחה).
הגבול של השורש הn של n.

הרצאה 7

סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
המספר e.
[math]\displaystyle{ 2\lt e\lt 4 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e }[/math]
- [math]\displaystyle{ [a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ [a_n] }[/math] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל[math]\displaystyle{ a_n }[/math].
- [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1} }[/math]
- שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
אם [math]\displaystyle{ a_n\to -\infty }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e }[/math]
- ראשית [math]\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e} }[/math] (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
- כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.

אם [math]\displaystyle{ a_n\to 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)} }[/math].
- [math]\displaystyle{ \left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e }[/math] בין אם [math]\displaystyle{ a_n-1 }[/math] שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
- שימו לב שאם [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math], אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב[math]\displaystyle{ a_n-1 }[/math] ששווה אפס.

דוגמא:
- [math]\displaystyle{ \lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3 }[/math]

הרצאה 8

פונקציות וגבולות של פונקציות, לפי קושי ולפי היינה.

הרצאה 9

הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
- [math]\displaystyle{ sin^2(x)+cos^2(x)=1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x) }[/math]
- [math]\displaystyle{ sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) }[/math]
- [math]\displaystyle{ sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x) }[/math]

הגבול של סינוס איקס חלקי איקס באפס (הערה לגבי הגבול באינסוף).

הרצאה 10

גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
רציפות.
הרכבת רציפות.
מיון אי רציפות.

הרצאה 11

גזירות.
הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות.

הרצאה 12

נוסחאות הגזירה.

הרצאה 13

פונקציה הופכית, נגזרת של פונקציה הופכית.

הרצאה 14

משפט ערך הביניים.
תתי סדרות, גבול חלקי עליון ותחתון (כנראה ללא הוכחה).
משפטי ויירשטראס.

הרצאה 15

משפט פרמה.
משפט רול.
משפט לגראנז'.
משפט לגראנז' המוכלל.

הרצאה 16

כלל לופיטל (הוכחה לחלק מהמקרים).
כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.

הרצאה 17

פולינום טיילור.
שארית לגראנז' בפולינום טיילור.

הרצאה 18

אינטגרל - מסויים ולא מסוים.
הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.

הרצאה 19

אינטגרציה בחלקים.
שיטת ההצבה.

הרצאה 20

אינטגרל על פונקציה רציונאלית.

הרצאה 21

סכומי רימן.
אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.

הרצאה 22

אינטגרלים לא אמיתיים.
מבחני התכנסות.