83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס

מתוך Math-Wiki

מבחנים מהעבר

נושאי ההרצאות

שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.

הרצאה 1

  • מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.
  • שורש 2, 0.999.
  • חזקות.
  • לוגריתמים.
  • מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
    • [math]\displaystyle{ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} }[/math]
    • [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100} }[/math]
    • [math]\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x,\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x }[/math]
    • [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}x^2-x }[/math]

הרצאה 2

  • כמתים, שלילת כמתים.
  • חסמים.

הרצאה 3

  • ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
  • הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.

הרצאה 4

  • גבול הוא יחיד.
    • נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה.
  • הסדרה הקבועה.
  • כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה.
  • אריתמטיקה (חשבון) גבולות.
    • (אי שיוויון המשולש.)
    • סכום.
    • מכפלה.
    • חלוקה (תרגיל לבית).

הרצאה 5

  • התכנסות במובן הרחב.
  • אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכון.
  • סנדביץ' וחצי סדנביץ'.
  • [math]\displaystyle{ a_n\to 0 \iff |a_n|\to 0 }[/math]
  • חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.

הרצאה 6

  • אינדוקציה.
  • ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
  • אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
    • חסומה כפול אפיסה = אפיסה
    • חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
    • [math]\displaystyle{ \infty+\infty=\infty }[/math]
    • [math]\displaystyle{ \infty\cdot\infty=\infty }[/math]
    • [math]\displaystyle{ \infty^\infty=\infty }[/math]
    • [math]\displaystyle{ \frac{1}{0}\neq\infty }[/math]
    • [math]\displaystyle{ \frac{1}{0^+}=\infty }[/math]
    • [math]\displaystyle{ 0^\infty = 0 }[/math]
    • אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
    • אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
    • יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
    • אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
    • אם [math]\displaystyle{ a\gt 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a^\infty=\infty }[/math]
  • המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
    • [math]\displaystyle{ \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty }[/math]
  • מבחן המנה (ללא הוכחה).
  • הגבול של השורש הn של n.

הרצאה 7

  • סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
  • המספר e.
  • [math]\displaystyle{ 2\lt e\lt 4 }[/math].
  • אם [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e }[/math]
    • [math]\displaystyle{ [a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ [a_n] }[/math] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל[math]\displaystyle{ a_n }[/math].
    • [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1} }[/math]
    • שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
  • אם [math]\displaystyle{ a_n\to -\infty }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e }[/math]
    • ראשית [math]\displaystyle{ \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e} }[/math] (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
    • כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.


  • אם [math]\displaystyle{ a_n\to 1 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)} }[/math]
    • [math]\displaystyle{ a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)} }[/math].
    • [math]\displaystyle{ \left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e }[/math] בין אם [math]\displaystyle{ a_n-1 }[/math] שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
    • שימו לב שאם [math]\displaystyle{ a_n=1 }[/math], אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב[math]\displaystyle{ a_n-1 }[/math] ששווה אפס.


  • דוגמא:
    • [math]\displaystyle{ \lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3 }[/math]

הרצאה 8

  • פונקציות וגבולות של פונקציות, לפי קושי ולפי היינה.

הרצאה 9

  • הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
    • [math]\displaystyle{ sin^2(x)+cos^2(x)=1 }[/math]
    • [math]\displaystyle{ sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x) }[/math]
    • [math]\displaystyle{ sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) }[/math]
    • [math]\displaystyle{ sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x) }[/math]


  • הגבול של סינוס איקס חלקי איקס באפס (הערה לגבי הגבול באינסוף).
  • Sin(x) over x.png

הרצאה 10

  • גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
  • רציפות.
  • הרכבת רציפות.
  • מיון אי רציפות.

הרצאה 11

  • גזירות.
  • הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות.

הרצאה 12

  • נוסחאות הגזירה.

הרצאה 13

  • פונקציה הופכית, נגזרת של פונקציה הופכית.

הרצאה 14

  • משפט ערך הביניים.
  • תתי סדרות, גבול חלקי עליון ותחתון (כנראה ללא הוכחה).
  • משפטי ויירשטראס.

הרצאה 15

  • משפט פרמה.
  • משפט רול.
  • משפט לגראנז'.
  • משפט לגראנז' המוכלל.

הרצאה 16

  • כלל לופיטל (הוכחה לחלק מהמקרים).
  • כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.

הרצאה 17

  • פולינום טיילור.
  • שארית לגראנז' בפולינום טיילור.

הרצאה 18

  • אינטגרל - מסויים ולא מסוים.
  • הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.

הרצאה 19

  • אינטגרציה בחלקים.
  • שיטת ההצבה.

הרצאה 20

  • אינטגרל על פונקציה רציונאלית.

הרצאה 21

  • סכומי רימן.
  • אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.

הרצאה 22

  • אינטגרלים לא אמיתיים.
  • מבחני התכנסות.