הבדלים בין גרסאות בדף "חדוא 1 - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←מבחן המנה) |
(←הטור ההרמוני המוכלל) |
||
(211 גרסאות ביניים של 5 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]] | [[88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1]] | ||
+ | |||
+ | אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]! | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =תרגילי הכנה למבחן ופתרונותיהם= | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *[[מדיה:22Calc1QnA.pdf| עשרות תרגילי הכנה למבחן עם פתרונות מלאים]] | ||
+ | |||
+ | |||
=מבחנים ופתרונות= | =מבחנים ופתרונות= | ||
+ | |||
+ | ===מערכי תרגול עם פתרונות=== | ||
+ | *[[חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול|מערכי תרגול]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===מבחנים של מתמטיקה=== | ||
+ | *[[מדיה:מועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד א' החממה תשפ"א]], [[מדיה:Solמועד_א_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה:מועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|מבחן מועד ב' החממה תשפ"א]], [[מדיה:solמועד_ב_אינפי_1_תיכוניסטים_תשפא.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה:21HamamaExmpTest.pdf|פתרון מבחן לדוגמא החממה תשפ"א]] | ||
+ | *[[מדיה: Infi1 tihon 2019A.pdf |מבחן מועד א תשע"ט]], [[מדיה: Infi1 tihon 2019Asol.pdf |פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה:17Infi1DumbTest.pdf|מבחן דמה תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1DumbTestSol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה:17Infi1TestA.pdf|מבחן מועד א' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestASol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה:17Infi1TestB.pdf|מבחן מועד ב' תשע"ז]], [[מדיה:17Infi1TestBSol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה:Calc1_2016a_exam.pdf | מבחן מועד א' תשע"ו]], [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/Infi2_76aSol.pdf פתרון המרצה], [[מדיה:Calc1_2016a_sols.pdf | פתרון המתרגלים]], [[מדיה:Calc1_2016a_sols_erez.pdf | פתרון ארז שיינר]] | ||
+ | *[[מדיה:אינפי_1_-_מועד_א%27_תשעג.pdf|מבחן מועד א' תשע"ג]], [[מדיה:Infi1TashagMoedASol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה: infi1Exams3.pdf | מבחן מועד ב' תשע"ג]], [[מדיה: infi1Exams3Sol.pdf | פתרון חלקי]] | ||
+ | *[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה1|מבחן דמה למתמטיקאים תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestAsol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/דמה2|מבחן דמה נוסף תשע"ב]], [[מדיה:tashabfaketestBsol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה: infi1Exams1.pdf | מועד מיוחד תשע"ב]], [[מדיה:tashabspecialtestsol.pdf|פתרון]] | ||
+ | *[[מדיה: infi1Exams2.pdf | מועד א' תשע"ב]], [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מתמטיקאים|פתרון]] | ||
+ | *[[מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב| מועד ב' למתמטיקאים תשע"ב כולל פתרון]] | ||
+ | *[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'|מבחן מועד א' החממה תשע"א פתרון]] | ||
+ | *[[88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'|מבחן מועד ב' החממה תשע"א פתרון]] | ||
+ | *[[פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א, |פתרון תשס"ב, מועד א]] | ||
+ | *[[פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב, |פתרון תשס"ג, מועד ב]] | ||
+ | *[[פתרון אינפי 1, תשנ"ט, מועד ב, |פתרון תשנ"ט, מועד ב]] | ||
+ | *[[פתרון אינפי 1, תש"נ |פתרון תש"נ, אין מועד]] | ||
+ | *[[אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)|פתרון תשנ"ו, מועד ב']] | ||
+ | |||
+ | ===מבחנים של מדמ"ח=== | ||
+ | *[[מדיה:21Infi1CSSummerA.pdf|מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א]] | ||
+ | *[[מדיה:21Infi1CSSummerB.pdf|מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א]] | ||
+ | *[[מדיה:infi1moedExmp2021CS.pdf|מבחן לדוגמא תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedExmp2021CSSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תשפ"א]] | ||
+ | *[[מדיה:infi1moedA2021CS.pdf|מועד א' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedA2021CSSol.pdf|פתרון מועד א' תשפ"א]] | ||
+ | *[[מדיה:infi1moedB2021CS.pdf|מועד ב' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedB2021CSSol.pdf|פתרון מועד ב' תשפ"א]] | ||
+ | *[[מדיה:infi1moedC2021CS.pdf|מועד ג' תשפ"א]], [[מדיה:infi1moedC2021CSSol.pdf|פתרון מועד ג' תשפ"א]] | ||
+ | *[[מדיה:19CSInfi1dumbtest.pdf|מבחן לדוגמא תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1dumbtestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תש"ף]] | ||
+ | *[[מדיה:19CSInfi1A.pdf|מבחן מועד א' תש"ף]], [[מדיה:19CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד א' תש"ף]] | ||
+ | *[[מדיה:16CSInfi1ASol.pdf|פתרון מבחן מועד ג' תשע"ז]] | ||
+ | *[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס|מועד א' תשע"ג פתרונות בלבד]] | ||
+ | *[[מדיה:TashagInfiCsexmtest.pdf|מבחן דמה תשע"ג]], [[מדיה:TashagInfiCsexmtestSol.pdf|פתרון מבחן דמה תשע"ג]] | ||
+ | *[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח|מבחן מדמ"ח מועד א' תשעב ופתרונו]]. | ||
+ | |||
+ | ===מבחנים של הנדסה=== | ||
+ | *[[83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס|מבחנים בחדו"א 1 של הנדסה]] - שאלות 2,6 אינן רלונטיות לקורס זה | ||
+ | |||
+ | ===מבחנים של אנליזה למורים=== | ||
+ | *[[מבחנים בקורס אנליזה 1 למורים]] - אמנם כלל השאלות רלוונטיות, אולם הרמה הכולל של המבחנים נמוכה יותר מקורס זה | ||
+ | |||
+ | |||
+ | === הצעות פתרון למבחנים מהשנים תשע"ה-תשפ"ב (תיכוניסטים) === | ||
+ | ע"י לירן מנצורי ויונתן סמידוברסקי | ||
+ | *[[מדיה:מבחן_תשפב_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf| מבחן תשפ"ב מועד א']] | ||
+ | *[[מדיה:מבחן_תשפא_מועד_א.pdf| מבחן תשפ"א מועד א']] (XI) | ||
+ | *[[מדיה:מבחן_תשפא_מועד_א.pdf| מבחן תשפ"א מועד א']] (XI) | ||
+ | *[[מדיה:מבחן_תשעט_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ט מועד ב']] | ||
+ | *[[מדיה:פתרון_תשעט_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf| מבחן תשע"ט מועד א']] | ||
+ | *[[מדיה:תשעח_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf | מבחן תשע"ח מועד ב']] | ||
+ | *[[מדיה:תשעח_מועד_א_יונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ח מועד א']] | ||
+ | *[[מדיה:פתרון_תשעז_מועד_ב_לירן מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ז מועד ב']] | ||
+ | *[[מדיה:מבחן_תשעז_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ז מועד א']] | ||
+ | *[[מדיה:פתרון_מבחן_תשעו_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ו מועד ב']] | ||
+ | *[[מדיה:פתרון_מבחן_תשעו_מועד_א_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ו מועד א']] | ||
+ | *[[מדיה:תיקון_תשעה_מועד_ב_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ה מועד ב']] | ||
+ | *[[מדיה:תשעה_מועד_א'_לירן_מנצורי_ויונתן_סמידוברסקי.pdf|מבחן תשע"ה מועד א']] | ||
+ | |||
+ | ===מבחנים מאוניברסיטאות שונות=== | ||
+ | *[[אינפי 1 - מבחנים מאוניברסיטאות שונות]] | ||
=סרטוני ותקציר ההרצאות= | =סרטוני ותקציר ההרצאות= | ||
+ | |||
+ | [https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-sR6S1JZDECwwzGk6Z4NXWe פלייליסט של כל הסרטונים] | ||
+ | |||
+ | |||
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hkSHBU2VSWetKIVS1oyDT2c פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א] | [https://www.youtube.com/playlist?list=PLzSjdxrZD_hkSHBU2VSWetKIVS1oyDT2c פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א] | ||
שורה 51: | שורה 134: | ||
*חוקי לוגים: | *חוקי לוגים: | ||
**<math>log_a(x)+log_a(y)=log_a(xy)</math> | **<math>log_a(x)+log_a(y)=log_a(xy)</math> | ||
+ | **<math>log_a(x)-log_a(y)=log_a\left(\frac{x}{y}\right)</math> | ||
**<math>log_a(x^y)=y log_a(x)</math> | **<math>log_a(x^y)=y log_a(x)</math> | ||
**<math>\log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}</math> | **<math>\log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}</math> | ||
+ | **<math>log_a(x)=y</math> אם ורק אם <math>x=a^y</math> | ||
===חסמים=== | ===חסמים=== | ||
שורה 107: | שורה 192: | ||
*<math>L</math> הינו גבול הסדרה <math>a_n</math> (מסומן <math>\lim a_n=L</math> או <math>a_n\to L</math>) אם: | *<math>L</math> הינו גבול הסדרה <math>a_n</math> (מסומן <math>\lim a_n=L</math> או <math>a_n\to L</math>) אם: | ||
**לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר: | **לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר: | ||
− | **לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math> | + | **לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> |
שורה 113: | שורה 198: | ||
− | *נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math> | + | *נגדיר ש<math>a_n\to\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שלכל <math>n>K</math> מתקיים כי <math>a_n>M</math> |
*נגדיר ש<math>a_n\to -\infty</math> אם <math>-a_n\to\infty</math> | *נגדיר ש<math>a_n\to -\infty</math> אם <math>-a_n\to\infty</math> | ||
שורה 143: | שורה 228: | ||
<videoflash>nHaq8E0vGJA</videoflash> | <videoflash>nHaq8E0vGJA</videoflash> | ||
+ | |||
+ | *תהי סדרה<math>a_n</math> המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל <math>n</math> כי <math>a<a_n</math> אזי <math>\lim a_n\geq a</math> | ||
===שאיפה לאפס=== | ===שאיפה לאפס=== | ||
שורה 206: | שורה 293: | ||
**אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n \to \infty</math> | **אם <math>a>1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n \to \infty</math> | ||
**אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0</math> | **אם <math>a<1</math> מתקיים כי <math>(a_n)^n\to 0</math> | ||
− | *שימו לב כי ייתכן ו<math>1 | + | *שימו לב כי ייתכן ו<math>1<a_n\to 1</math>, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף. |
<videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash> | <videoflash>hFa7Nv5o05M</videoflash> | ||
+ | ===כלל המנה=== | ||
− | + | *כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על [[אי-שוויון הממוצעים]]). | |
− | + | ||
− | * | + | |
**תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי: | **תהי סדרה <math>a_n</math> המקיימת כי '''גבול''' המנה הוא <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L</math> אזי: | ||
***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math> | ***אם <math>1<L\leq\infty</math> מתקיים כי <math>|a_n|\to\infty</math> | ||
שורה 226: | שורה 312: | ||
**עבור <math>a>0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{a}\to 1</math> | **עבור <math>a>0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{a}\to 1</math> | ||
**<math>\sqrt[n]{n!}\to \infty</math> | **<math>\sqrt[n]{n!}\to \infty</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>Shmc2BtEGBE</videoflash> | ||
===חזקות של גבולות=== | ===חזקות של גבולות=== | ||
שורה 249: | שורה 338: | ||
**רעיון הוכחה: החל משלב מסויים <math>0\leq a_n^{b_n}\leq \frac{1}{m^{\frac{L}{2}}} </math> | **רעיון הוכחה: החל משלב מסויים <math>0\leq a_n^{b_n}\leq \frac{1}{m^{\frac{L}{2}}} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===סדרות מונוטוניות והמספר e=== | ||
+ | *כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי. | ||
+ | |||
+ | *דוגמא: נביט בסדרה <math>a_1>0,\ a_{n+1}=a_n^2+a_n</math> | ||
+ | **כיוון ש <math>a_{n+1}-a_n=a_n^2\geq 0</math> מדובר בסדרה מונוטונית עולה. | ||
+ | **אם הסדרה חסומה: | ||
+ | ***קיים לה גבול סופי <math>a_n\to L</math> | ||
+ | ***נחשב את גבול שני צידי המשוואה <math>a_{n+1}=a_n^2+a_n</math> | ||
+ | ***לכן <math>L=L^2+L</math> ולכן <math>L=0</math> | ||
+ | ***אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן <math>L\geq a_1</math> | ||
+ | ***כלומר <math>L=0<a_1\leq L</math> בסתירה. | ||
+ | **מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה <math>a_n\to\infty</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>pTVTkSlxJdI</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *[[המספר e]] (הוכחות בעזרת [[אי-שוויון הממוצעים]]). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>v7tyKNPU-7I</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>2<e<4</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>6TohAEqQwsk</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===תתי סדרות וגבולות חלקיים=== | ||
+ | ====הגדרת גבול חלקי==== | ||
+ | *לכל סדרת מקומות <math>k_n\in\mathbb{N}</math> המקיימת לכל <math>n</math> כי <math>k_n<k_{n+1}</math> נגדיר כי <math>a_{k_n}</math> הינה תת סדרה של הסדרה <math>a_n</math> | ||
+ | *שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לדוגמא: | ||
+ | **נביט בסדרה <math>a_n=(-1)^n</math> | ||
+ | **אזי <math>a_{2n}=(-1)^{2n}=1</math> היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים <math>k_n=2n</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *נגדיר ש<math>L</math> הוא גבול חלקי של הסדרה <math>a_n</math> אם קיימת תת סדרה <math>a_{k_n}</math> כך ש <math>a_{k_n}\to L</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *טענה - יהי <math>L</math> סופי או אינסופי, אזי: | ||
+ | **<math>a_n\to L</math> אם ורק אם לכל תת סדרה <math>a_{k_n}</math> מתקיים כי <math>a_{k_n}\to L</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>rvdm2_7g-7I</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====משפט בולצאנו-ויירשטראס==== | ||
+ | *לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>R491ZyCHhBs</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====גבול עליון וגבול תחתון==== | ||
+ | |||
+ | *תהי סדרה <math>a_n</math> | ||
+ | *נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup): | ||
+ | **אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלעיל אזי <math>\overline{\lim}a_n=\infty</math> | ||
+ | **אם <math>a_n</math> חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\overline{\lim}a_n</math> להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה | ||
+ | **אחרת, נגדיר <math>\overline{\lim}a_n=-\infty</math> | ||
+ | *נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf): | ||
+ | **אם <math>a_n</math> אינה חסומה מלרע אזי <math>\underline{\lim}a_n=-\infty</math> | ||
+ | **אם <math>a_n</math> חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את <math>\underline{\lim}a_n</math> להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה | ||
+ | **אחרת, נגדיר <math>\underline{\lim}a_n=\infty</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי: | ||
+ | *<math>\underline{\lim}a_n\leq L\leq \overline{\lim}a_n</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>n71Zy87PbEE</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>zF_5NdFJbAg</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לכל <math>-\infty\leq L\leq \infty</math> מתקיים כי <math>a_n \to L</math> אם ורק אם <math>\underline{\lim}a_n=\overline{\lim}a_n=L</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>j4C_2yvKpN0</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ====תתי סדרות המכסות סדרה==== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה. | ||
+ | *ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>Y0Jpalk44do</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===כלל הe=== | ||
+ | |||
+ | *תהי <math>0\neq a_n\to 0</math> אזי <math>(1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}\to e</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>y7yPjqyGOIg</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אם <math>a_n\to 1</math> אזי <math>a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}</math> | ||
+ | **<math>a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}</math>. | ||
+ | **<math>\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e</math> בין אם <math>a_n-1</math> שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל. | ||
+ | **שימו לב שאם <math>a_n=1</math>, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב<math>a_n-1</math> ששווה אפס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **<math>\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>5V4EmQIdE90</videoflash> | ||
===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)=== | ===חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)=== | ||
שורה 262: | שורה 475: | ||
**<math>0^\infty = 0</math> | **<math>0^\infty = 0</math> | ||
**אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף. | **אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף. | ||
− | |||
**יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי. | **יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי. | ||
**אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף. | **אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף. | ||
− | ** | + | **אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף |
− | ** | + | **סדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף. |
+ | **סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס. | ||
+ | |||
====המקרים הבעייתיים==== | ====המקרים הבעייתיים==== | ||
שורה 272: | שורה 486: | ||
**<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math> | **<math>\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty</math> | ||
+ | ===קריטריון קושי לסדרות=== | ||
− | + | *דוגמא: הסדרה <math>a_n=\sqrt{n}</math> מקיימת כי <math>a_{n+1}-a_n\to 0</math> אך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | * | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | * | + | *הגדרה: סדרה <math>a_n</math> מקיימת את '''קריטריון קושי''' (ונקראת '''סדרת קושי''') אם: |
− | * | + | *לכל מרחק <math>\varepsilon>0</math> קיים מקום <math>K\in\mathbb{N}</math> כך שאחריו לכל זוג מקומות <math>m>n>K</math> מתקיים כי <math>|a_m-a_n|<\varepsilon</math> (המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון). |
− | + | ||
− | + | ||
− | * | + | *משפט: בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי. |
− | + | ||
− | + | *תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי <math>|a_{n+1}-a_n|<\frac{1}{2^n}</math> אזי היא מתכנסת למספר סופי. | |
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>S56cCgc9U38</videoflash> | ||
==פרק 3 - טורים== | ==פרק 3 - טורים== | ||
+ | [https://youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-t4S3UxsuuifepjuWgbJ7_5 פלייליסט של כל טורים] | ||
+ | ===מבוא והגדרה=== | ||
+ | <videoflash>E3DLm1YxOko</videoflash> | ||
+ | |||
+ | *תהי סדרה <math>a_n</math>, נגדיר את '''סדרת הסכומים החלקיים''' (סס"ח בקיצור) של <math>a_n</math> ע"י | ||
+ | **<math>S_1=a_1</math> | ||
+ | **ולכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים <math>S_{n+1}=S_n+a_{n+1}</math> | ||
+ | *במילים אחרות, <math>S_n = \sum_{k=1}^n a_k</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הגדרת הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> | ||
+ | **אומרים כי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =L</math> אם <math>\lim S_n = L</math> | ||
+ | *אם לסס"ח יש גבול סופי אומרים כי הטור מתכנס, ואילו אם אין לה גבול סופי אומרים כי הטור מתבדר. | ||
+ | *שימו לב כי בעצם: | ||
+ | **<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, אזי <math>a_n\to 0</math> | ||
+ | *הוכחה: | ||
+ | **<math>S_n,S_{n+1}\to L</math> | ||
+ | **לכן <math>a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\to L-L=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\sum_{k=1}^\infty a_k = a_1 + \sum_{k=2}^\infty a_k</math> | ||
+ | *מסקנה: שינוי מספר סופי של איברי הטור לא משפיע על התכנסות, אבל '''כן משפיע''' על סכום הטור. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>v-qwJWYvuNY</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====חשבון טורים==== | ||
+ | |||
+ | *אם הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, ו<math>c\in\mathbb{R}</math> קבוע אזי | ||
+ | **<math>\sum_{k=1}^\infty c\cdot a_k = c\cdot \sum_{k=1}^\infty a_k</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *אם הטורים <math>\sum_{k=1}^\infty a_k,\ \sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנסים אזי | ||
+ | **<math>\sum_{k=1}^\infty (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^\infty a_k + \sum_{k=1}^\infty b_k</math> | ||
+ | |||
+ | ====הטור ההנדסי==== | ||
+ | *הטור <math>\sum_{k=0}^\infty x^k</math> מתכנס אם ורק אם <math>|x|<1</math> וכאשר הוא מתכנס מתקיים כי: | ||
+ | **<math>\sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}</math> וכמו כן <math>\sum_{k=1}^\infty x^k = \frac{x}{1-x}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>suDMRh69Lgc</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====טור מקל סלפי (טלסקופי)==== | ||
+ | |||
+ | *חישוב <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2 -k}</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *חישוב <math>\sum_{k=1}^\infty \ln\left(\frac{k}{k+1}\right)</math> על ידי הסס"ח הטלסקופי | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>uZHNxYO7S-Q</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====העשרה על סוגי סכימה==== | ||
+ | |||
+ | <videoflash>54MQXVhM9vU</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===התכנסות בהחלט=== | ||
+ | *משפט: אם טור הערכים המוחלטים <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס, אזי גם הטור המקורי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הגדרה: | ||
+ | **הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בהחלט''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתכנס | ||
+ | **הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתכנס בתנאי''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אך <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר | ||
+ | **הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא '''מתבדר''' אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתבדר וגם <math>\sum_{k=1}^\infty |a_k|</math> מתבדר | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>OFcOpUNprTo</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *משפט: (הכללת אי שיוויון המשולש) יהי טור מתכנס בהחלט, אזי: | ||
+ | *<math>\left|\sum_{k=0}^\infty a_k\right|\leq \sum_{k=0}^\infty |a_k|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הוכחה: | ||
+ | *לפי אי שיוויון המשולש, לכל n סופי מתקיים כי | ||
+ | *<math>\left|\sum_{k=0}^n a_k\right|\leq \sum_{k=0}^n |a_k|</math> | ||
+ | *ולכן גם הגבול של הסדרה השמאלית קטן או שווה לגבול של הסדרה הימנית, וזו התוצאה שרצינו. | ||
+ | |||
+ | ===מבחני התכנסות לטורים חיוביים=== | ||
+ | |||
+ | ====הקדמה והטור ההרמוני==== | ||
+ | *הגדרה: טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> נקרא טור חיובי אם לכל n מתקיים כי <math>a_n\geq 0</math>. | ||
+ | *סדרת הסכומים החלקיים של טור חיובי היא מונוטונית עולה, לכן הטור מתכנס אם ורק אם היא חסומה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לסס"ח של הטור ההרמוני <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}</math> יש תת סדרה ששואפת לאינסוף, ולכן הטור מתבדר: | ||
+ | **<math>\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}</math> | ||
+ | **<math>S_1 =1\geq \frac{1}{2}</math> | ||
+ | **<math>S_2 =1+\frac{1}{2}\geq 2\cdot \frac{1}{2}</math> | ||
+ | **<math>S_4 =1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\geq 3\cdot \frac{1}{2}</math> | ||
+ | **... | ||
+ | **באופן כללי <math>S_{2^{n-1}}\geq n\cdot \frac{1}{2}\to\infty</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>M3B6018c-4g</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====מבחני ההשוואה==== | ||
+ | |||
+ | *מבחן ההשוואה הראשון- | ||
+ | *תהיינה סדרות כך ש <math>0\leq a_n\leq b_n</math> לכל n. אזי: | ||
+ | ** אם הטור הגדול יותר <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס בוודאי הטור הקטן יותר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס. | ||
+ | ** נובע מכך לוגית שאם הטור הקטן מתבדר, הטור הגדול מתבדר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **<math>\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n^2-n}</math> | ||
+ | **ראינו שהטור החיובי <math>\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2-k}</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור החיובי <math>\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math> מתכנס | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מבחן ההשוואה הגבולי- | ||
+ | *תהיינה סדרות <math>0\leq a_n,b_n</math> כך ש <math>\frac{a_n}{b_n}\to c</math> אזי: | ||
+ | ** אם <math>c=\infty</math> אזי <math>a_n>b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס | ||
+ | ** אם <math>c=0</math> אזי <math>a_n<b_n</math> החל משלב מסויים, ולכן אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס גם <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס | ||
+ | ** אחרת, <math>0<c\in\mathbb{R}</math> והטורים '''חברים''' <math>\sum_{k=1}^\infty a_k ~ \sum_{k=1}^\infty b_k</math>, כלומר <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty b_k</math> מתכנס | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\left(\sqrt[k]{k!}\right)^2} \sim \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>DDOups05oms</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====מבחני השורש והמנה==== | ||
+ | |||
+ | *יהי טור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מבחן המנה - | ||
+ | **אם <math>\overline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט''' | ||
+ | **אם <math>\underline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מבחן השורש - | ||
+ | **אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}<1</math> אזי הטור '''מתכנס בהחלט''' | ||
+ | **אם <math>\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}>1</math> אזי <math>a_n\not\to 0</math> ולכן הטור '''מתבדר''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *שימו לב - במבחן השורש לוקחים את הגבול העליון בשני המקרים, ובמבחן המנה צריך שהעליון יהיה קטן מאחד, או התחתון גדול מאחד. זו לא טעות... | ||
+ | |||
+ | <videoflash>Y7k-a29_03g</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====מבחן העיבוי==== | ||
+ | |||
+ | *מבחן העיבוי- | ||
+ | **תהי <math>0\leq a_n</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס אם ורק אם <math>\sum_{k=1}^\infty 2^k \cdot a_{(2^k)}</math> מתכנס | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הוכחה: | ||
+ | ** ראשית, נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=1}^n 2^{k-1}a_{2^k} \leq \sum_{k=2}^{2^n} a_k</math> כלומר | ||
+ | **<math> a_2 + 2\cdot a_4 +4\cdot a_8+... = a_2 + a_4 + a_4 +a_8 + a_8 + a_8 + a_8 + ... \leq a_2 + a_3 + a_4 +a_5 + a_6 +a_7 +a _8 +...</math> | ||
+ | **כעת נוכיח באינדוקציה כי <math>\sum_{k=0}^{n-1} 2^k a_{2^k}\geq \sum_{k=1}^{2^n-1}a_k</math> | ||
+ | *סה"כ אם הטור האחד מתכנס, הסס"ח של השני חסומה ולכן גם השני מתכנס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>UozGPSlW8fM</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =====הטור ההרמוני המוכלל===== | ||
+ | |||
+ | *הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^a}</math> מתכנס אם ורק אם <math>a>1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמאות: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k\cdot\ln(k)}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\sum_{k=2}^\infty\frac{1}{\ln(k!)}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|עוד דוגמאות]] | ||
+ | |||
+ | ===מבחני התכנסות לטורים כלליים=== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ====מבחן דיריכלה==== | ||
+ | |||
+ | *תהי סדרה <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס | ||
+ | *תהי סדרה <math>b_n</math> כך ש'''הסס"ח''' שלה חסומה, כלומר קיים <math>M>0</math> כך שלכל n מתקיים <math>|S_n|=\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|<M</math> | ||
+ | *אזי הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> מתכנס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמאות: | ||
+ | **<math>\sum\frac{\sin(n)}{n}</math> | ||
+ | **<math>\sum\frac{|\sin(n)|}{n}</math> | ||
+ | |||
+ | <videoflash>m5kFinYjG8A</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *הוכחה: | ||
+ | *נסמן ב<math>D_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</math> וב<math>S_n</math> את סדרת הסכומים החלקיים של <math>b_n</math>. | ||
+ | *יהיו <math>m>n\in\mathbb{N}</math> | ||
+ | **<math>D_m-D_n = \sum_{k=n+1}^m a_kb_k = \sum_{k=n+1}^m a_k(S_k -S_{k-1}) = \sum_{k=n+1}^m a_kS_k - \sum_{k=n}^{m-1} a_{k+1}S_k = a_mS_m -a_{n+1}S_n + \sum_{k=n+1}^{m-1} S_k(a_k-a_{k+1})</math> | ||
+ | **<math>|D_m-D_n|\leq |a_m||S_m| + |a_{n+1}| |S_n| +\sum_{k=n+1}^{m-1} |S_k||a_k-a_{k+1}|</math> | ||
+ | **כעת נשתמש בעובדה כי <math>|S_n|<M</math> לכל n, <math>a_n</math> סדרה חיובית, וכן <math>a_n - a_{n+1}\geq 0</math> לכל n. | ||
+ | **<math>|D_m-D_n|\leq M\left(a_m + a_{n+1} +\sum_{k=n+1}^{m-1} a_k-a_{k+1}\right)= 2Ma_{n+1}\to 0</math> | ||
+ | *לכן <math>D_n</math> סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול סופי, כלומר הטור מתכנס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>Ou3ixbIVfYI</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====מבחן לייבניץ==== | ||
+ | |||
+ | *תהי <math>a_n\to 0</math> סדרה '''מונוטונית''' יורדת לאפס. אזי: | ||
+ | ** הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math> מתכנס. | ||
+ | **<math>\left|\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k\right|\leq a_1</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הוכחה: | ||
+ | **כיוןן שהסס"ח של <math>(-1)^{n+1}</math> חסומה הטור מתכנס לפי מבחן דיריכלה. | ||
+ | **נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של הטור <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}a_k</math>. | ||
+ | **כיוון שהסדרה <math>a_n</math> יורדת, ניתן להוכיח באינדוקציה כי: | ||
+ | ***<math>S_{2n}\geq 0</math> | ||
+ | ***<math>S_{2n-1}\leq a_1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>nJU3b5zvURQ</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===סיכום בדיקת התכנסות 🖖=== | ||
+ | |||
+ | *כיצד נבחן אם הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר? | ||
+ | |||
+ | #אם ניתן להראות כי <math>a_n\not\to 0</math> הטור מתבדר | ||
+ | # נבצע מבחני ספוק 🖖 | ||
+ | ##אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי. | ||
+ | ##אם במבחן המנה או השורש הגבול גדול מ1 הטור מתבדר, אם קטן מ1 הטור מתכנס בהחלט ואם שווה ל1 צריך לנסות משהו אחר. | ||
+ | ##אם במבחן העיבוי הטור <math>\sum |a_n|</math> אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי. | ||
+ | #אם לא מצאנו התכנסות בהחלט, נבצע מבחנים על טורים כלליים בשביל לבדוק התכנסות בתנאי | ||
+ | ##מבחן לייבניץ | ||
+ | ##מבחן דיריכלה | ||
+ | ##עבודה ישירה על סדרת הסכומים החלקיים (טור טלסקופי למשל) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===סכום האיברים החיוביים, וסכום האיברים השליליים=== | ||
+ | *תהי סדרה <math>a_n</math> ונגדיר את: | ||
+ | **<math>a_n^+=\begin{cases}a_n & a_n\geq 0\\ 0 & a_n<0\end{cases}</math> | ||
+ | **<math>a_n^-=\begin{cases}0 & a_n\geq 0\\ -a_n & a_n<0\end{cases}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math> | ||
+ | *<math>|a_n|=a_n^++a_n^-</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בהחלט אם ורק אם הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם. | ||
+ | *אם הטור <math>\sum a_k</math> מתכנס בתנאי אזי הטורים <math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתבדרים שניהם ושואפים לאינסוף. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כפי שהוכחנו בעבר בדרך שונה, אם הטור מתכנס בהחלט נובע ש<math>\sum a_k^+, \sum a_k^-</math> מתכנסים שניהם, וביחד עם העובדה ש<math>a_n=a_n^+-a_n^-</math> נובע שהטור מתכנס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>XEl8ZykrNcw</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===שינוי סדר הסכימה=== | ||
+ | |||
+ | *תהי <math>f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</math> פונקציה הפיכה ותהי סדרה <math>a_n</math> אז נאמר ש<math>p_n=a_{f(n)}</math> היא שינוי סדר של הסדרה <math>a_n</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תרגיל - אם <math>a_n\to L</math> גם שינוי הסדר מקיים <math>p_n\to L</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא: | ||
+ | **<math>a_n=1,-1,1,-1,...</math> | ||
+ | **<math>f(n)=1,3,2,5,7,4,9,11,6,...</math> | ||
+ | **<math>p_n=a_{f(n)}=1,1,-1,1,1,-1,...</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *בדוגמא האחרונה: | ||
+ | *נסמן ב<math>S_n</math> את הסס"ח של <math>a_n</math> ומתקיים כי: | ||
+ | **<math>S_n=1,0,1,0,...</math> | ||
+ | *נסמן ב<math>D_n</math> את הסס"ח של שינוי הסדר <math>p_n</math>, מתקיים כי: | ||
+ | **<math>D_n =1,2,1,2,3,2,3,4,3,...</math> | ||
+ | *שינוי הסדר אמנם הותיר את הטור מתבדר, אך הפך את סדרת הסכומים החלקיים מחסומה לשואפת לאינסוף. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>ASXMi-rBCv0</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====משפט רימן==== | ||
+ | *משפט רימן - יהי טור מתכנס בתנאי <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> אזי לכל <math>-\infty\leq S \leq \infty</math> קיים שינוי סדר כך ש <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math> | ||
+ | *כלומר, אם הטור מתכנס בתנאי, ניתן לגרום לו להתכנס לכל ערך שנרצה (ואף לשאוף לפלוס או מינוס אינסוף), על ידי שינוי סדר איברי הסדרה. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>e_tBsPs5vq4</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ====שינוי סדר הסכימה של טור מתכנס בהחלט==== | ||
+ | *יהי טור מתכנס בהחלט <math>\sum_{k=1}^\infty a_k =S</math> אזי לכל שינוי סדר <math>p_n</math> מתקיים כי <math>\sum_{k=1}^\infty p_k=S</math> | ||
+ | *כלומר, שינוי סדר איברי הסדרה אינו משפיע על סכום הטור. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>GG76LdzRvKo</videoflash> | ||
==פרק 4 - פונקציות ורציפות== | ==פרק 4 - פונקציות ורציפות== | ||
===מבוא לגבולות=== | ===מבוא לגבולות=== | ||
− | *מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית). | + | |
+ | <videoflash>OMJWXoSIlX0</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים). | ||
**<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math> | **<math>\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}</math> | ||
**<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math> | **<math>\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}</math> | ||
שורה 311: | שורה 821: | ||
===הגדרת הגבול לפי קושי=== | ===הגדרת הגבול לפי קושי=== | ||
+ | |||
+ | * <math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סביבה של L בציר y קיימת סביבה של <math>x_0</math> בציר x, כך שלכל ערכי x בסביבה של <math>x_0</math> פרט אולי ל<math>x_0</math> עצמו, ערכי ציר y כלומר <math>f(x)</math> נמצאים בסביבה של L בציר y. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמאות: | ||
+ | **<math>\lim_{x\to 3} 2x+1=7</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0\neq |x-3|<\delta</math> מתקיים <math>|2x+1-7|<\varepsilon </math> | ||
+ | **<math>\lim_{x\to 2^-}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}=-\infty</math> אם לכל <math>M>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>2-\delta<x<2</math> מתקיים כי <math>\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}<-M</math> | ||
+ | **<math>y=a</math> אסימפטוטה אופקית מימין של <math>f(x)</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>K>0</math> כך שלכל x המקיים <math>x>K</math> מתקיים כי <math>|f(x)-a|<\varepsilon</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>YTA4sI56t1Y</videoflash> | ||
===הגדרת הגבול לפי היינה=== | ===הגדרת הגבול לפי היינה=== | ||
+ | |||
+ | *<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0\neq a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math> | ||
+ | *<math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0< a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math> | ||
+ | *<math>\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס <math>x_0> a_n\to x_0</math> סדרת המספרים על ציר y מקיימת <math>f(a_n)\to L</math> | ||
+ | |||
+ | הגדרה זו שקולה להגדרה של קושי, כלומר הגבול שווה לL לפי קושי אם ורק אם הוא שווה לL לפי היינה. | ||
*מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות | *מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות | ||
− | *אם | + | *<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=L</math> אם ורק אם <math>\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L</math> |
− | + | ||
+ | |||
+ | <videoflash>KKFyEBxM9yo</videoflash> | ||
===הפונקציות הטריגונומטריות=== | ===הפונקציות הטריגונומטריות=== | ||
שורה 328: | שורה 857: | ||
+ | <videoflash>gnUkKM9PgPQ</videoflash> | ||
שורה 346: | שורה 876: | ||
*שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף. | *שימו לב ש<math>\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0</math>, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | <videoflash>YIU0hc8xe7I</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===רציפות=== | ||
*רציפות. | *רציפות. | ||
שורה 357: | שורה 887: | ||
*טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>. | *טענה: אם f רציפה ב<math>x_0</math> אזי לכל סדרה <math>x_n\to x_0</math> (גם אם אינה שונה מ<math>x_0</math>) מתקיים כי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>9y7T2Nmpv24</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>76vmO8IBYKQ</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות. | ||
+ | **<math>f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0</math> מתקיים כי <math>\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0</math> אבל <math>\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
*הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>. | *הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב<math>x_0</math> ותהי g רציפה ב<math>f(x_0)</math>. אזי <math>g\circ f</math> רציפה ב<math>x_0</math>. | ||
**הוכחה: | **הוכחה: | ||
**תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math> | **תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math> אזי <math>f(x_n)\to f(x_0)</math> | ||
**לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>. | **לפי הטענה הקודמת, <math>g(f(x_n))\to g(f(x_0))</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>FA_XRcitd64</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה). | ||
+ | **פונקציה <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל | ||
+ | **הפונקציה ההופכית היא <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> ומתקיים כי <math>f(x)=y</math> אם"ם <math>x=f^{-1}(y)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *טענה: אם <math>f:[a,b]\to [c,d]</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>, אזי <math>f^{-1}:[c,d]\to[a,b]</math> רציפה בקטע <math>[c,d]</math>. | ||
+ | **הוכחה: | ||
+ | **תהי <math>y_0\neq y_n\to y_0</math>, צ"ל ש <math>f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)</math> | ||
+ | **יהי גבול חלקי <math>x_n=f^{-1}(y_n)\to L</math>. | ||
+ | **אזי <math>f(x_n)=y_n\to y_0</math>. | ||
+ | **מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים <math>f(x_n)\to f(L)</math>. | ||
+ | **לכן <math>f(L)=y_0</math> ולכן <math>L=f^{-1}(y_0)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>qjSueXDanYs</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===אי רציפות=== | ||
שורה 368: | שורה 935: | ||
**קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה. | **קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה. | ||
**עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי. | **עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>3zwjxNNr5tc</videoflash> | ||
==פרק 5 - גזירות== | ==פרק 5 - גזירות== | ||
שורה 376: | שורה 946: | ||
===הגדרת הנגזרת=== | ===הגדרת הנגזרת=== | ||
*<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> | *<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> | ||
− | *<math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> | + | *<math>\displaystyle{\lim{h\to 0}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> |
**הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל: | **הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל: | ||
**נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך. | **נניח כי <math>\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)</math> ונוכיח כי <math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)</math>, והוכחה דומה בכיוון ההפוך. | ||
שורה 388: | שורה 958: | ||
**<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים. | **<math>(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}</math> וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים. | ||
**ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס. | **ניתן לשים לב גם ש<math>|x|=\sqrt{x^2}</math>, וכמו כן נראה בהמשך כי<math>\sqrt{x}</math> אינה גזירה באפס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>nukvxlHm2kQ</videoflash> | ||
===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות=== | ===הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות=== | ||
שורה 395: | שורה 968: | ||
**באופן דומה <math>(cos(x))'=-sin(x)</math> | **באופן דומה <math>(cos(x))'=-sin(x)</math> | ||
*לוג: | *לוג: | ||
− | **<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)</math> | + | **<math>\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e) |
+ | </math> | ||
***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה. | ***המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה. | ||
***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>.) | ***(בפרט נובע כי <math>\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>.) | ||
שורה 404: | שורה 978: | ||
**<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math> | **<math>(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)</math> | ||
***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>. | ***בפרט נובע כי <math>(e^x)'=e^x</math>. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <videoflash>pBYSLhpsz9g</videoflash> | |
− | *<math>( | + | |
+ | |||
+ | <videoflash>NkPt_CFvuhY</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *ישר: | ||
+ | **<math>(x)'=\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h} = 1}</math> | ||
+ | |||
+ | ===חוקי הגזירה=== | ||
+ | |||
+ | *תהיינה f,g גזירות ב<math>x_0</math> אזי: | ||
+ | **<math>(cf)'(x_0)=cf'(x_0)</math> | ||
+ | **<math>(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)</math> | ||
+ | **<math>(f\cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>iiF0siIWius</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | תהי g גזירה ב<math>x_0</math> ותהי f הגזירה ב<math>g(x_0)</math>: | ||
+ | *<math>(f\circ g)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}</math> | ||
*תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>. | *תהי סדרה <math>x_0\neq x_n\to x_0</math>. | ||
− | *רוצים לומר ש<math>\frac{ | + | *רוצים לומר ש<math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{g(x_n)-g(x_0)}\cdot \frac{g(x_n)-g(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>. |
− | *אמנם <math> | + | *אמנם <math>g(x_n)\to g(x_0)</math> בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש<math>g(x_n)\neq g(x_0)</math> ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס. |
− | *אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math> | + | *אם יש תת סדרה <math>a_n</math> של <math>x_n</math> עבורה <math>g(a_n)=g(x_0)</math> אזי <math>\frac{g(a_n)-g(x_0)}{a_n-x_0}=0</math> ולכן <math>g'(x_0)=0</math>. |
− | *לכן <math> | + | *לכן <math>f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)=0</math>. |
− | *כמו כן, <math>\frac{ | + | *כמו כן, <math>\frac{f(g(a_n))-f(g(x_0))}{a_n-x_0}=0</math>. |
− | *לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{ | + | *לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{f(g(x_n))-f(g(x_0))}{x_n-x_0}\to f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math> |
− | *סה"כ <math>( | + | *סה"כ <math>(f\circ g)'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)</math>. |
+ | |||
+ | <videoflash>uMPXs9PwxZ4</videoflash> | ||
===נגזרת של חזקה=== | ===נגזרת של חזקה=== | ||
*עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math> | *עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *עבור חזקות בהן הביטוי מוגדר, <math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> גם עבור <math>x\leq 0</math> (לפי תכונות של פונקציות זוגיות ואי זוגיות, ובאפס לפי חישוב ישיר). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *חזקה: | ||
+ | **<math>(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}</math> לכל <math>\alpha\in \mathbb{R}</math>, הוכחה בהמשך. | ||
+ | *בפרט: | ||
+ | **<math>(1)'=0</math> | ||
+ | **<math>(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}</math> | ||
+ | **<math>(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math> | ||
+ | ** עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(\sqrt[3]{x})'=(x^{\frac{1}{3}})'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}</math> וכיוון שהפונקציה אי זוגית נובע שהנגזרת שווה לביטוי הזה גם לשאר ערכי x. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>UQnqIRrf12E</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
*דוגמא: חישוב הנגזרת של <math>x^x</math> | *דוגמא: חישוב הנגזרת של <math>x^x</math> | ||
שורה 434: | שורה 1,041: | ||
− | + | <videoflash>Iag0TdjdFnM</videoflash> | |
− | + | ===פונקציות הופכיות ונגזרתן=== | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
שורה 467: | שורה 1,062: | ||
*<math>tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}</math> | *<math>tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}</math> | ||
*<math>arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}</math> | *<math>arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הנגזרות של <math>arcsin,arccos</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>n9WMYrhb-6I</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>sryeJtePu_U</videoflash> | ||
==פרק 6 - חקירה== | ==פרק 6 - חקירה== | ||
− | |||
− | + | ||
+ | ===משפט ערך הביניים=== | ||
+ | *תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> כאשר <math>a<b\in\mathbb{R}</math>. | ||
+ | *עוד נניח כי <math>f(a)\leq 0</math> וכן <math>f(b)\geq 0</math>. | ||
+ | *אזי קיימת נקודה <math>c\in[a,b]</math> כך ש <math>f(c)=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
*תהי f רציפה ב<math>[0,1]</math> כך ש<math>f(1)=2</math>, הוכיחו שקיימת נק' <math>c\in [0,1]</math> עבורה <math>f(c)=\frac{1}{c}</math> | *תהי f רציפה ב<math>[0,1]</math> כך ש<math>f(1)=2</math>, הוכיחו שקיימת נק' <math>c\in [0,1]</math> עבורה <math>f(c)=\frac{1}{c}</math> | ||
**נעביר אגף ונביט בפונקציה <math>h(x)=f(x)-\frac{1}{x}</math> שצריך למצוא שורש שלה. | **נעביר אגף ונביט בפונקציה <math>h(x)=f(x)-\frac{1}{x}</math> שצריך למצוא שורש שלה. | ||
שורה 480: | שורה 1,089: | ||
− | + | <videoflash>WdKVN6R0NfU</videoflash> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | * | + | <videoflash>pZXEn6KWtMY</videoflash> |
− | **אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס. | + | |
− | + | ||
− | + | ===משפטי ויירשטראס=== | |
− | **פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בקטע הפתוח. | + | *פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה. |
− | + | *פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום. | |
− | + | ||
− | **פונקציה רציפה | + | |
− | *משפט לגראנז' המוכלל | + | <videoflash>FPlpOmNQiAE</videoflash> |
− | * | + | |
+ | |||
+ | ===משפט פרמה=== | ||
+ | *אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס. | ||
+ | *ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>Vlsum5uohMo</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===משפט רול=== | ||
+ | **תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=0</math> | ||
+ | *כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>hmdp_jj9fx0</videoflash> | ||
+ | |||
+ | ===משפט לגראנז' ותחומי עלייה וירידה=== | ||
+ | |||
+ | *פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math> | ||
+ | *פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל <math>x_1<x_2\in A</math> מתקיים כי <math>f(x_1)\geq f(x_2)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> | ||
+ | *כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי הנקודות בקצוות הקטע. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *תהי f רציפה ב<math>[a,b]</math> וגזירה ב<math>(a,b)</math> אזי f עולה בקטע <math>[a,b]</math> אם ורק אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> | ||
+ | *כמו כן, באותם תנאים, אם <math>f'(x)\geq 0</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אזי <math>f(a)<f(b)</math> או שהפונקציה קבועה ב<math>[a,b]</math> ונגזרתה שווה אפס בקטע <math>(a,b)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>3DXDneBUnK8</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא | ||
+ | *יהי <math>a\in\mathbb{R}</math> מצאו כמה פתרונות יש למשוואה <math>sin(x)=x+a</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>zX9XkY_mdDQ</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===משפט קושי (לגראנז' המוכלל)=== | ||
+ | |||
+ | *תהיינה f,g רציפות ב<math>[a,b]</math> וגזירות ב<math>(a,b)</math> כך ש<math>g'\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math>. | ||
+ | *אזי קיימת נקודה <math>c\in(a,b)</math> כך ש <math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math> | ||
שורה 504: | שורה 1,157: | ||
**עבור <math>g(x)=x</math> נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל. | **עבור <math>g(x)=x</math> נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל. | ||
− | === | + | |
− | * | + | <videoflash>PTtcansFGJQ</videoflash> |
− | * | + | |
+ | ===[[כלל לופיטל]]=== | ||
+ | *תהיינה פונקציות כך ש <math>f,g\to 0</math> או <math>f,g\to \infty</math> ונניח כי <math>\frac{f'}{g'}\to L</math> אזי גם <math>\frac{f}{g}\to L</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>PaDFSrtsOE4</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====משפט סדרי הגודל==== | ||
+ | |||
+ | *לכל <math>0<a,b</math> מתקיים כי: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{(e^x)^b} =0} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x^a}{\ln^b(x)} =\infty} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====דוגמאות נוספות==== | ||
+ | |||
+ | *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{\sin(\pi x)} =-\frac{1}{\pi}} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{x}{sin(x)+2+x} =1} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} xe^{\frac{1}{x}} =\infty} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \sqrt[x]{x} =1} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x\ln(x) =0} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} x^x =1} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}+\ln(x) =\infty} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\displaystyle{\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \left(\sin(x)\right)^{\tan^2(x)} =\frac{1}{\sqrt{e}}} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\displaystyle{\lim_{x\to(-\infty)} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} =-1} </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ====הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים==== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>bqLDkGRLUYI</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>0RjBoccpjo8</videoflash> | ||
+ | |||
− | + | אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על [[חדוא 2 - ארז שיינר|חדו"א 2]]! | |
− | + | ||
− | + |
גרסה מ־09:31, 30 בינואר 2023
אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על חדו"א 2!
תוכן עניינים
- 1 תרגילי הכנה למבחן ופתרונותיהם
- 2 מבחנים ופתרונות
- 3 סרטוני ותקציר ההרצאות
- 3.1 פרק 1 - מספרים וחסמים
- 3.2 פרק 2 - סדרות
- 3.2.1 הגדרת הגבול
- 3.2.2 שאיפה לאפס
- 3.2.3 משפטי סנדביץ'
- 3.2.4 מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- 3.2.5 אינדוקציה
- 3.2.6 חזקת אינסוף
- 3.2.7 כלל המנה
- 3.2.8 חזקות של גבולות
- 3.2.9 סדרות מונוטוניות והמספר e
- 3.2.10 תתי סדרות וגבולות חלקיים
- 3.2.11 כלל הe
- 3.2.12 חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- 3.2.13 קריטריון קושי לסדרות
- 3.3 פרק 3 - טורים
- 3.4 פרק 4 - פונקציות ורציפות
- 3.5 פרק 5 - גזירות
- 3.6 פרק 6 - חקירה
תרגילי הכנה למבחן ופתרונותיהם
מבחנים ופתרונות
מערכי תרגול עם פתרונות
מבחנים של מתמטיקה
- מבחן מועד א' החממה תשפ"א, פתרון
- מבחן מועד ב' החממה תשפ"א, פתרון
- פתרון מבחן לדוגמא החממה תשפ"א
- מבחן מועד א תשע"ט, פתרון
- מבחן דמה תשע"ז, פתרון
- מבחן מועד א' תשע"ז, פתרון
- מבחן מועד ב' תשע"ז, פתרון
- מבחן מועד א' תשע"ו, פתרון המרצה, פתרון המתרגלים, פתרון ארז שיינר
- מבחן מועד א' תשע"ג, פתרון
- מבחן מועד ב' תשע"ג, פתרון חלקי
- מבחן דמה למתמטיקאים תשע"ב, פתרון
- מבחן דמה נוסף תשע"ב, פתרון
- מועד מיוחד תשע"ב, פתרון
- מועד א' תשע"ב, פתרון
- מועד ב' למתמטיקאים תשע"ב כולל פתרון
- מבחן מועד א' החממה תשע"א פתרון
- מבחן מועד ב' החממה תשע"א פתרון
- פתרון תשס"ב, מועד א
- פתרון תשס"ג, מועד ב
- פתרון תשנ"ט, מועד ב
- פתרון תש"נ, אין מועד
- פתרון תשנ"ו, מועד ב'
מבחנים של מדמ"ח
- מועד א' סמסטר קיץ תשפ"א
- מועד ב' סמסטר קיץ תשפ"א
- מבחן לדוגמא תשפ"א, פתרון מבחן לדוגמא תשפ"א
- מועד א' תשפ"א, פתרון מועד א' תשפ"א
- מועד ב' תשפ"א, פתרון מועד ב' תשפ"א
- מועד ג' תשפ"א, פתרון מועד ג' תשפ"א
- מבחן לדוגמא תש"ף, פתרון מבחן לדוגמא תש"ף
- מבחן מועד א' תש"ף, פתרון מבחן מועד א' תש"ף
- פתרון מבחן מועד ג' תשע"ז
- מועד א' תשע"ג פתרונות בלבד
- מבחן דמה תשע"ג, פתרון מבחן דמה תשע"ג
- מבחן מדמ"ח מועד א' תשעב ופתרונו.
מבחנים של הנדסה
- מבחנים בחדו"א 1 של הנדסה - שאלות 2,6 אינן רלונטיות לקורס זה
מבחנים של אנליזה למורים
- מבחנים בקורס אנליזה 1 למורים - אמנם כלל השאלות רלוונטיות, אולם הרמה הכולל של המבחנים נמוכה יותר מקורס זה
הצעות פתרון למבחנים מהשנים תשע"ה-תשפ"ב (תיכוניסטים)
ע"י לירן מנצורי ויונתן סמידוברסקי
- מבחן תשפ"ב מועד א'
- מבחן תשפ"א מועד א' (XI)
- מבחן תשפ"א מועד א' (XI)
- מבחן תשע"ט מועד ב'
- מבחן תשע"ט מועד א'
- מבחן תשע"ח מועד ב'
- מבחן תשע"ח מועד א'
- מבחן תשע"ז מועד ב'
- מבחן תשע"ז מועד א'
- מבחן תשע"ו מועד ב'
- מבחן תשע"ו מועד א'
- מבחן תשע"ה מועד ב'
- מבחן תשע"ה מועד א'
מבחנים מאוניברסיטאות שונות
סרטוני ותקציר ההרצאות
פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א
פרק 1 - מספרים וחסמים
קבוצות מספרים
- הטבעיים
- השלמים
- הרציונאליים
- הממשיים , כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים
- העשרה: בנייה של שדה הממשיים באמצעות חתכי דדקינד
- לא קיים כך ש .
- במילים פשוטות, אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).
חזקות ולוגריתמים
- לכל מספר ממשי ולכל מספר טבעי נגדיר כפל n פעמים
- לכל מספר ממשי אי שלילי ולכל מספר טבעי נגדיר כלומר המספר האי שלילי שבחזקת n שווה לx.
- לכל מספר ממשי אי שלילי ולכל זוג מספרים טבעיים נגדיר
- לכל מספר ממשי נגדיר
- מה לגבי חזקות ממשיות אי רציונליות?
- נגדיר אותן באמצעות גבול של חזקות רציונאליות
- לכל מספר ממשי ולכל חזקה ממשית שלילית נגדיר
- לכל נגדיר את להיות המספר שa בחזקתו שווה לx.
- חוקי לוגים:
- אם ורק אם
חסמים
- תהי אזי:
- נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלעיל של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל מתקיים כי
- נקרא חסם מלרע של A אם לכל מתקיים כי
- כמו כן:
- אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן
- אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן
- בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
- בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.
- תהי ויהי אזי:
- M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר קיים מספר כך ש
- דוגמא: תהיינה חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי
שיטות הוכחה בסיסיות
- הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'
פרק 2 - סדרות
הגדרת הגבול
- הגדרת הגבול של סדרה:
- תהי סדרה ממשית ויהי מספר ממשי .
- הינו גבול הסדרה (מסומן או ) אם:
- לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
- לכל מרחק קיים מקום כך שאחריו לכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם לכל קיים כך שלכל מתקיים כי
- נגדיר ש אם
- טענה: תהי אזי
- טענה: תהי אזי
- אם וכן אזי
- סדרה המתכנסת לגבול סופי חסומה.
- בפרט, כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה.
- תהי סדרה המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל כי אזי
שאיפה לאפס
- תהי סדרה ויהי אזי אם ורק אם
- בפרט אם ורק אם
- תהי ותהי חסומה, אזי
- תהיינה אזי גם
משפטי סנדביץ'
- משפט הסנדביץ' -
- תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי
- כמו כן, יהי כך ש
- אזי
- חצי סנדביץ'-
- תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי
- כמו כן נתון כי
- אזי
- חצי סנדביץ' על הרצפה -
- תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי
- כמו כן נתון כי
- אזי
מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- תהיינה , אזי
- אם אזי
אינדוקציה
- משפט האינדוקציה המתמטית
- תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
- הטענה הראשונה נכונה.
- לכל אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
- אזי כל הטענות בסדרה נכונות
- אי שיוויון ברנולי: יהי אזי לכל מתקיים כי
חזקת אינסוף
- תהי אזי:
- אם מתקיים כי
- אם מתקיים כי
- שימו לב כי ייתכן ו, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.
כלל המנה
- כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על אי-שוויון הממוצעים).
- תהי סדרה המקיימת כי גבול המנה הוא אזי:
- אם מתקיים כי
- אם מתקיים כי
- מתקיים כי
- תהי סדרה המקיימת כי גבול המנה הוא אזי:
- דוגמאות:
- עבור מתקיים
חזקות של גבולות
- יהי ותהי אזי
- רעיון הוכחה: אם אזי והרי לפי כלל המנה
- יהי ותהי אזי
- רעיון הוכחה:
- תהי ותהי אזי
- רעיון הוכחה: לפי חשבון גבולות (כפל) שני הצדדים שואפים ל1. (אם אי השיוויון הפוך).
- תהי ותהי אזי
- רעיון הוכחה:
- תהי ותהי אזי
- רעיון הוכחה: החל משלב מסויים
סדרות מונוטוניות והמספר e
- כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.
- דוגמא: נביט בסדרה
- כיוון ש מדובר בסדרה מונוטונית עולה.
- אם הסדרה חסומה:
- קיים לה גבול סופי
- נחשב את גבול שני צידי המשוואה
- לכן ולכן
- אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן
- כלומר בסתירה.
- מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה
- המספר e (הוכחות בעזרת אי-שוויון הממוצעים).
- .
תתי סדרות וגבולות חלקיים
הגדרת גבול חלקי
- לכל סדרת מקומות המקיימת לכל כי נגדיר כי הינה תת סדרה של הסדרה
- שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים.
- לדוגמא:
- נביט בסדרה
- אזי היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים
- נגדיר ש הוא גבול חלקי של הסדרה אם קיימת תת סדרה כך ש
- טענה - יהי סופי או אינסופי, אזי:
- אם ורק אם לכל תת סדרה מתקיים כי
משפט בולצאנו-ויירשטראס
- לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.
- משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.
גבול עליון וגבול תחתון
- תהי סדרה
- נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):
- אם אינה חסומה מלעיל אזי
- אם חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
- אחרת, נגדיר
- נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf):
- אם אינה חסומה מלרע אזי
- אם חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
- אחרת, נגדיר
- לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:
- הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון).
- לכל מתקיים כי אם ורק אם
תתי סדרות המכסות סדרה
- אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה.
- ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה.
כלל הe
- תהי אזי
- אם אזי
- .
- בין אם שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
- שימו לב שאם , אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב ששווה אפס.
- דוגמא:
חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)
- אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
- חסומה כפול אפיסה = אפיסה
- חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
- אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
- יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
- אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
- אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף
- סדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף.
- סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס.
המקרים הבעייתיים
- המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
קריטריון קושי לסדרות
- דוגמא: הסדרה מקיימת כי אך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף.
- הגדרה: סדרה מקיימת את קריטריון קושי (ונקראת סדרת קושי) אם:
- לכל מרחק קיים מקום כך שאחריו לכל זוג מקומות מתקיים כי (המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון).
- משפט: בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי.
- תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי אזי היא מתכנסת למספר סופי.
פרק 3 - טורים
מבוא והגדרה
- תהי סדרה , נגדיר את סדרת הסכומים החלקיים (סס"ח בקיצור) של ע"י
- ולכל מתקיים
- במילים אחרות,
- הגדרת הטור
- אומרים כי אם
- אם לסס"ח יש גבול סופי אומרים כי הטור מתכנס, ואילו אם אין לה גבול סופי אומרים כי הטור מתבדר.
- שימו לב כי בעצם:
- אם הטור מתכנס, אזי
- הוכחה:
- לכן
- מסקנה: שינוי מספר סופי של איברי הטור לא משפיע על התכנסות, אבל כן משפיע על סכום הטור.
חשבון טורים
- אם הטור מתכנס, ו קבוע אזי
- אם הטורים מתכנסים אזי
הטור ההנדסי
- הטור מתכנס אם ורק אם וכאשר הוא מתכנס מתקיים כי:
- וכמו כן
טור מקל סלפי (טלסקופי)
- חישוב על ידי הסס"ח הטלסקופי
- חישוב על ידי הסס"ח הטלסקופי
העשרה על סוגי סכימה
התכנסות בהחלט
- משפט: אם טור הערכים המוחלטים מתכנס, אזי גם הטור המקורי מתכנס.
- הגדרה:
- הטור נקרא מתכנס בהחלט אם מתכנס וגם מתכנס
- הטור נקרא מתכנס בתנאי אם מתכנס אך מתבדר
- הטור נקרא מתבדר אם מתבדר וגם מתבדר
- משפט: (הכללת אי שיוויון המשולש) יהי טור מתכנס בהחלט, אזי:
- הוכחה:
- לפי אי שיוויון המשולש, לכל n סופי מתקיים כי
- ולכן גם הגבול של הסדרה השמאלית קטן או שווה לגבול של הסדרה הימנית, וזו התוצאה שרצינו.
מבחני התכנסות לטורים חיוביים
הקדמה והטור ההרמוני
- הגדרה: טור נקרא טור חיובי אם לכל n מתקיים כי .
- סדרת הסכומים החלקיים של טור חיובי היא מונוטונית עולה, לכן הטור מתכנס אם ורק אם היא חסומה.
- לסס"ח של הטור ההרמוני יש תת סדרה ששואפת לאינסוף, ולכן הטור מתבדר:
- ...
- באופן כללי
מבחני ההשוואה
- מבחן ההשוואה הראשון-
- תהיינה סדרות כך ש לכל n. אזי:
- אם הטור הגדול יותר מתכנס בוודאי הטור הקטן יותר מתכנס.
- נובע מכך לוגית שאם הטור הקטן מתבדר, הטור הגדול מתבדר.
- דוגמא:
- ראינו שהטור החיובי מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור החיובי מתכנס
- מבחן ההשוואה הגבולי-
- תהיינה סדרות כך ש אזי:
- אם אזי החל משלב מסויים, ולכן אם מתכנס גם מתכנס
- אם אזי החל משלב מסויים, ולכן אם מתכנס גם מתכנס
- אחרת, והטורים חברים , כלומר מתכנס אם ורק אם מתכנס
- דוגמא:
מבחני השורש והמנה
- יהי טור
- מבחן המנה -
- אם אזי הטור מתכנס בהחלט
- אם אזי ולכן הטור מתבדר
- מבחן השורש -
- אם אזי הטור מתכנס בהחלט
- אם אזי ולכן הטור מתבדר
- שימו לב - במבחן השורש לוקחים את הגבול העליון בשני המקרים, ובמבחן המנה צריך שהעליון יהיה קטן מאחד, או התחתון גדול מאחד. זו לא טעות...
מבחן העיבוי
- מבחן העיבוי-
- תהי סדרה מונוטונית יורדת אזי הטור מתכנס אם ורק אם מתכנס
- הוכחה:
- ראשית, נוכיח באינדוקציה כי כלומר
- כעת נוכיח באינדוקציה כי
- סה"כ אם הטור האחד מתכנס, הסס"ח של השני חסומה ולכן גם השני מתכנס.
הטור ההרמוני המוכלל
- הטור מתכנס אם ורק אם
- דוגמאות:
מבחני התכנסות לטורים כלליים
מבחן דיריכלה
- תהי סדרה סדרה מונוטונית יורדת לאפס
- תהי סדרה כך שהסס"ח שלה חסומה, כלומר קיים כך שלכל n מתקיים
- אזי הטור מתכנס.
- דוגמאות:
- הוכחה:
- נסמן ב את סדרת הסכומים החלקיים של הטור וב את סדרת הסכומים החלקיים של .
- יהיו
- כעת נשתמש בעובדה כי לכל n, סדרה חיובית, וכן לכל n.
- לכן סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול סופי, כלומר הטור מתכנס.
מבחן לייבניץ
- תהי סדרה מונוטונית יורדת לאפס. אזי:
- הטור מתכנס.
- .
- הוכחה:
- כיוןן שהסס"ח של חסומה הטור מתכנס לפי מבחן דיריכלה.
- נסמן ב את הסס"ח של הטור .
- כיוון שהסדרה יורדת, ניתן להוכיח באינדוקציה כי:
סיכום בדיקת התכנסות 🖖
- כיצד נבחן אם הטור מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?
- אם ניתן להראות כי הטור מתבדר
- נבצע מבחני ספוק 🖖
- אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
- אם במבחן המנה או השורש הגבול גדול מ1 הטור מתבדר, אם קטן מ1 הטור מתכנס בהחלט ואם שווה ל1 צריך לנסות משהו אחר.
- אם במבחן העיבוי הטור אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
- אם לא מצאנו התכנסות בהחלט, נבצע מבחנים על טורים כלליים בשביל לבדוק התכנסות בתנאי
- מבחן לייבניץ
- מבחן דיריכלה
- עבודה ישירה על סדרת הסכומים החלקיים (טור טלסקופי למשל)
סכום האיברים החיוביים, וסכום האיברים השליליים
- תהי סדרה ונגדיר את:
- הטור מתכנס בהחלט אם ורק אם הטורים מתכנסים שניהם.
- אם הטור מתכנס בתנאי אזי הטורים מתבדרים שניהם ושואפים לאינסוף.
- כפי שהוכחנו בעבר בדרך שונה, אם הטור מתכנס בהחלט נובע ש מתכנסים שניהם, וביחד עם העובדה ש נובע שהטור מתכנס.
שינוי סדר הסכימה
- תהי פונקציה הפיכה ותהי סדרה אז נאמר ש היא שינוי סדר של הסדרה .
- תרגיל - אם גם שינוי הסדר מקיים
- דוגמא:
- בדוגמא האחרונה:
- נסמן ב את הסס"ח של ומתקיים כי:
- נסמן ב את הסס"ח של שינוי הסדר , מתקיים כי:
- שינוי הסדר אמנם הותיר את הטור מתבדר, אך הפך את סדרת הסכומים החלקיים מחסומה לשואפת לאינסוף.
משפט רימן
- משפט רימן - יהי טור מתכנס בתנאי אזי לכל קיים שינוי סדר כך ש
- כלומר, אם הטור מתכנס בתנאי, ניתן לגרום לו להתכנס לכל ערך שנרצה (ואף לשאוף לפלוס או מינוס אינסוף), על ידי שינוי סדר איברי הסדרה.
שינוי סדר הסכימה של טור מתכנס בהחלט
- יהי טור מתכנס בהחלט אזי לכל שינוי סדר מתקיים כי
- כלומר, שינוי סדר איברי הסדרה אינו משפיע על סכום הטור.
פרק 4 - פונקציות ורציפות
מבוא לגבולות
- מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית, חילוק פולינומים).
הגדרת הגבול לפי קושי
- אם לכל סביבה של L בציר y קיימת סביבה של בציר x, כך שלכל ערכי x בסביבה של פרט אולי ל עצמו, ערכי ציר y כלומר נמצאים בסביבה של L בציר y.
- דוגמאות:
- אם לכל קיים כך שלכל x המקיים מתקיים
- אם לכל קיים כך שלכל x המקיים מתקיים כי
- אסימפטוטה אופקית מימין של אם לכל קיים כך שלכל x המקיים מתקיים כי
הגדרת הגבול לפי היינה
- אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס סדרת המספרים על ציר y מקיימת
- אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס סדרת המספרים על ציר y מקיימת
- אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס סדרת המספרים על ציר y מקיימת
הגדרה זו שקולה להגדרה של קושי, כלומר הגבול שווה לL לפי קושי אם ורק אם הוא שווה לL לפי היינה.
- מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות
- אם ורק אם
הפונקציות הטריגונומטריות
- הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
-
- עבור זוית שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
-
- כיוון ש בתחום , נובע לפי סנדוויץ' ש.
- כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
- כעת בתחום הקוסינוס חיובית ולכן ונובע כי .
- נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
- לפי כלל הסנדביץ
- כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.
- ראינו ש.
- שימו לב ש, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.
רציפות
- רציפות.
- הגדרה:
- פונקציה f נקראית רציפה בקטע אם f רציפה בכל נקודה בקטע ובנוסף וגם
- טענה: אם f רציפה ב אזי לכל סדרה (גם אם אינה שונה מ) מתקיים כי .
- גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
- מתקיים כי אבל .
- הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב ותהי g רציפה ב. אזי רציפה ב.
- הוכחה:
- תהי סדרה אזי
- לפי הטענה הקודמת, .
- פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
- פונקציה הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
- הפונקציה ההופכית היא ומתקיים כי אם"ם
- טענה: אם רציפה בקטע , אזי רציפה בקטע .
- הוכחה:
- תהי , צ"ל ש
- יהי גבול חלקי .
- אזי .
- מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים .
- לכן ולכן .
אי רציפות
- מיון אי רציפות.
- רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
- סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
- קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
- עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.
פרק 5 - גזירות
הגדרת הנגזרת
-
- הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
- נניח כי ונוכיח כי , והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
- תהי נגדיר את הסדרה .
- כיוון ש נובע כי .
- אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
- צ"ל
- לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל
- לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי
- פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
- וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
- ניתן לשים לב גם ש, וכמו כן נראה בהמשך כי אינה גזירה באפס.
הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות
- טריגו:
- באופן דומה
- לוג:
-
- המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
- (בפרט נובע כי .)
-
- בפרט נובע כי
-
- אקספוננט:
-
- בפרט נובע כי .
-
- ישר:
חוקי הגזירה
- תהיינה f,g גזירות ב אזי:
תהי g גזירה ב ותהי f הגזירה ב:
- תהי סדרה .
- רוצים לומר ש.
- אמנם בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
- אם יש תת סדרה של עבורה אזי ולכן .
- לכן .
- כמו כן, .
- לכן בכל מקרה קיבלנו כי
- סה"כ .
נגזרת של חזקה
- עבור מתקיים
- עבור חזקות בהן הביטוי מוגדר, גם עבור (לפי תכונות של פונקציות זוגיות ואי זוגיות, ובאפס לפי חישוב ישיר).
- חזקה:
- לכל , הוכחה בהמשך.
- בפרט:
- עבור מתקיים וכיוון שהפונקציה אי זוגית נובע שהנגזרת שווה לביטוי הזה גם לשאר ערכי x.
- דוגמא: חישוב הנגזרת של
נגזרת מנה
תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש :
- נזכור כי
- אזי בנקודה x מתקיים:
פונקציות הופכיות ונגזרתן
- טענה: תהי הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק' כך ש .
- אזי גזירה בנק' ומתקיים כי
- או בנוסח אחר-
- הוכחה:
- תהי ונסמן .
- אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי
- דוגמא חשובה:
- הפיכה וההופכית שלה נקראית .
- הנגזרות של
פרק 6 - חקירה
משפט ערך הביניים
- תהי f רציפה בקטע כאשר .
- עוד נניח כי וכן .
- אזי קיימת נקודה כך ש
- תהי f רציפה ב כך ש, הוכיחו שקיימת נק' עבורה
- נעביר אגף ונביט בפונקציה שצריך למצוא שורש שלה.
- .
- ולכן קיימת נקודה עבורה .
- לפי משפט ערך הביניים בקטע קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.
משפטי ויירשטראס
- פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
- פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.
משפט פרמה
- אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
- ההפך אינו נכון, ייתכן שהנגזרת תתאפס אך בנקודה לא יהיה קיצון ואף לא פיתול.
משפט רול
- תהי f רציפה ב וגזירה ב כך ש אזי קיימת נקודה כך ש
- כלומר, פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח.
- לפולינום מדרגה n יש לכל היותר n שורשים שונים.
משפט לגראנז' ותחומי עלייה וירידה
- פונקציה f נקראת עולה בתחום A אם לכל מתקיים כי
- פונקציה f נקראת יורדת בתחום A אם לכל מתקיים כי
- תהי f רציפה ב וגזירה ב אזי קיימת נקודה כך ש
- כלומר קיימת נקודה בה השיפוע שווה לשיפוע המיתר בין שתי הנקודות בקצוות הקטע.
- תהי f רציפה ב וגזירה ב אזי f עולה בקטע אם ורק אם לכל
- כמו כן, באותם תנאים, אם לכל אזי או שהפונקציה קבועה ב ונגזרתה שווה אפס בקטע
- דוגמא
- יהי מצאו כמה פתרונות יש למשוואה
משפט קושי (לגראנז' המוכלל)
- תהיינה f,g רציפות ב וגזירות ב כך ש בקטע .
- אזי קיימת נקודה כך ש
- הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
- ראשית, כיוון ש בקטע נובע לפי רול כי ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
- ולכן לפי רול קיימת נק' עבורה וזה מה שרצינו להוכיח.
- (שימו לב שמותר לחלק ב.)
- עבור נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.
כלל לופיטל
- תהיינה פונקציות כך ש או ונניח כי אזי גם
משפט סדרי הגודל
- לכל מתקיים כי:
דוגמאות נוספות
הוכחת כלל לופיטל בשני המקרים
אהבתם חדו"א 1? אז תעופו על חדו"א 2!